【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题11 指数与指数函数（讲）.zip

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二、考点梳理
1．分数指数幂
(1)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
概念方法微思考
1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.
2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．
提示 当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当01的解集为{x|x<0}．
三、考点剖析
考点一：指数幂的运算
【例1】计算2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12)＝________.
【答案】 6
【解析】 原式＝2×
【变式练习1】计算(a>0，b>0)＝________.
【答案】 eq \f(8,5)
【解析】 原式＝＝eq \f(8,5).
【变式练习2】若＝3，则＝________.
【答案】 eq \f(1,3)
【解析】 由＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴＝eq \f(1,3).
考点二、指数函数图像及应用
【例2】函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
【答案】 B
【解析】 函数y＝a|x|(a>1)是偶函数，当x≥0时，y＝ax，又已知a>1，故选B.
【变式练习】函数y＝的图象大致是( )
【答案】 C
【解析】 易知函数f (x)为偶函数，因此排除A，B；
又因为f (x)＝>0，故排除D，因此选C.
考点三、指数函数的性质与应用
【例3】已知a＝，b＝，c＝，则下列关系中正确的是( )
A．cC．a【答案】B
【解析】 因为b＝，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上为减函数，eq \f(4,3)>eq \f(2,3)>eq \f(1,3)，所以<<，
即b【变式练习】已知0A．>(1－a)b B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b D．(1－a)a>(1－b)b
【答案】 D
【解析】 ∵y＝(1－a)x是减函数，
∴(1－a)a>(1－a)b，
又y＝xb在(0，＋∞)上是增函数，1－a>1－b，
∴(1－a)b>(1－b)b，
∴(1－a)a>(1－b)b.D对，其余皆错．
【例4】函数f (x)＝的单调减区间为________．
【答案】 (－∞，1]
【解析】 设u＝－x2＋2x＋1，
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u在R上为减函数，
∴函数f (x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f (x)的减区间为(－∞，1]．
【变式练习】若函数f (x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f (1)＝eq \f(1,9)，则f (x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】 B
【解析】 由f (1)＝eq \f(1,9)，得a2＝eq \f(1,9)，
所以a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,3)(舍去)，即f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
【例5】函数的值域是________．
【答案】 [－1，＋∞)
【解析】 设t＝2x(t>0)，则
y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．
当t＝1时，ymin＝－1，无最大值．
∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．
【变式练习】若函数f (x)＝有最大值3，则a＝________.
【答案】1
【解析】令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))h(x)，
由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，
即当f (x)有最大值3时，a的值为1.
考试内容
考试要求
1.指数幂的运算
2.指数函数图象及其性质
3.指数函数的综合应用
掌握
掌握
掌握
y＝ax
a>1
0图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0(5)当x>0时，0当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数