云南省昆明市呈贡区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份云南省昆明市呈贡区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ）
A．0.1B．0.17C．0.3D．0.5
3．（3分）宋国有个农民，他的田地中有一截树桩，一天，一只跑得飞快的野兔撞在了树桩上，扭断了脖子死了．于是，农民便放下他的农具日日夜夜守在树桩子旁边，希望能再得到一只兔子．然而野兔是不可能再次得到的，而他自己也被后人所耻笑．这就是家喻户晓的守株待兔的典故，“守株待兔”这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件
C．随机事件D．不可能事件
4．（3分）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．70°
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E，F分别是A，B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则∠F等于（ ）
A．70°B．40°C．60°D．50°
7．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB＝22.5°，AB＝12，则CD的长为（ ）
A．3B．6C．6D．6
9．（3分）习近平总书记高度重视粮食问题，他强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．我们的饭碗应该主要装中国粮，”他提醒我们：“保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．”因此，某农科实验基地，大力开展有种实验，让农民能得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，若培育的种子平均每年的增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是（ ）
A．100（1﹣2x）＝64B．64（1+2x）＝100
C．100（1﹣x）2＝64D．64（1+x）2＝100
10．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥4B．m≤4C．m≠0D．m≠4
11．（3分）楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一．彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作．现要制作一个六角月琴，需计算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形ABCDEF，若已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径是1，则正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于点，对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y2＞y3；④5a+4c＝0；其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）
13．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是 ．
14．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 ．
15．（2分）若a是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个根，则2a2+6a﹣1的值是 ．
16．（2分）若一个扇形的面积为120π，弧长为20π，则这个扇形的半径为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）
17．（6分）解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）x（x﹣6）＝3（x﹣6）．
18．（7分）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．
19．（7分）12月13日是南京大屠杀死难者国家公祭日，某校为了纪念历史，缅怀先烈，举行以“悼念死难者，缅怀先烈”为主题的电影观后感活动，校团委将有关南京大屠杀的四部电影《南京梦魇》、《幸存者见证南京》、《南京 Naking》、《外国人眼中的南京大屠杀》制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和影片名字外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上影片名字，然后放回．学生根据自己所抽取的卡片，利用周末观看卡片上相应的电影，并写电影观后感．
（1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小华和小红抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数；
（2）求小华和小红抽到的两张卡片恰好是同一部影片的概率．
20．（5分）如图，已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．若BC为⊙O的直径，AB＝6，求BD，AC的长．
21．（8分）推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
22．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
24．（8分）二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若函数y1的图象经过点（2，m），且x1+x2＝2时，求m的最大值；
（2）若一次函数y2＝kx+b（k，b是常数，k≠0），它的图象与y1的图象都经过x轴上同一点，且x1﹣x2＝2．当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ）
A．0.1B．0.17C．0.3D．0.5
【分析】利用频率估计概率，由概率求解即可．
【解答】解：小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近≈0.17．
故选：B．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
3．（3分）宋国有个农民，他的田地中有一截树桩，一天，一只跑得飞快的野兔撞在了树桩上，扭断了脖子死了．于是，农民便放下他的农具日日夜夜守在树桩子旁边，希望能再得到一只兔子．然而野兔是不可能再次得到的，而他自己也被后人所耻笑．这就是家喻户晓的守株待兔的典故，“守株待兔”这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件
C．随机事件D．不可能事件
【分析】根据生活中的常识进行解题即可．
【解答】解：由题可知，守株待兔是靠运气的，
故“守株待兔”这个事件是随机事件．
故选：C．
【点评】本题考查随机事件，掌握随机事件的定义进行解题即可．
4．（3分）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位可得y＝（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y＝（x﹣2）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．70°
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CBA＝40°，
∴∠D＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E，F分别是A，B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则∠F等于（ ）
A．70°B．40°C．60°D．50°
【分析】在Rt△ABC中，易求得∠ABC的度数，根据旋转的性质知：∠ABC、∠F相等，∠A、∠E相等，BC＝FC，由此可得∠CBF的度数，进而求得∠F的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，
∴BC＝FC，∠ABC＝∠F，∠A＝∠E，
∴∠F＝∠FBC，
∵∠A＝∠E＝40°，∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠F＝∠FBC＝90°﹣40°＝50°，
故选：D．
【点评】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及了三角形的外角性质等知识，首先得出BC＝FC，进而得出∠F＝∠FBC＝50°是解题关键．
7．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
【解答】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14
∴2（BE+CE）＝10
∴BC＝5
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB＝22.5°，AB＝12，则CD的长为（ ）
A．3B．6C．6D．6
【分析】连接OC，求出∠COB＝45°，根据垂径定理求出CD＝2CE，根据勾股定理求出CE即可．
【解答】解：连接OC，则OC＝AB＝＝6，
∵OA＝OC，∠CAB＝22.5°，
∴∠CAB＝∠ACO＝22.5°，
∴∠COB＝∠CAB+∠ACO＝45°，
∵AB⊥CD，AB过O，
∴CD＝2CE，∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝∠COB＝45°，
∴OE＝CE，
∵CE2+OE2＝OC2，
∴2CE2＝62，
解得：CE＝3，
即CD＝2CE＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE＝OE是解此题的关键．
9．（3分）习近平总书记高度重视粮食问题，他强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．我们的饭碗应该主要装中国粮，”他提醒我们：“保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．”因此，某农科实验基地，大力开展有种实验，让农民能得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，若培育的种子平均每年的增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是（ ）
A．100（1﹣2x）＝64B．64（1+2x）＝100
C．100（1﹣x）2＝64D．64（1+x）2＝100
【分析】根据“培育的种子平均每年的增长率为x”可得相应的方程．
【解答】解：根据题意得：64（1+x）2＝100．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题干信息找出等量关系并分析列出方程是解题的关键．
10．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥4B．m≤4C．m≠0D．m≠4
【分析】根据判别式的意义得到△≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m≥0，
解得m≤4．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．（3分）楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一．彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作．现要制作一个六角月琴，需计算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形ABCDEF，若已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径是1，则正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，根据正六边形的性质求出∠COD＝60°，得到△COD为等边三角形，根据等边三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出OH，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥CD于点H，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD＝OC＝1，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝，
∴OH＝＝，
∴正六边形ABCDEF的面积为：×1××6＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形与圆，掌握正六边形的中心角的求法、等边三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于点，对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y2＞y3；④5a+4c＝0；其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＞0，b＜0，c＜0，
则abc＞0．
故①正确．
当x＝﹣1时，函数值大于零，
则a﹣b+c＞0．
故②正确．
因为抛物线的开口向上，
所以抛物线上的点，离对称轴越远的点，其函数值越大．
因为1﹣（﹣3）＝4，1﹣0＝1，3﹣1＝2，且4＞2＞1，
所以y1＞y3＞y2．
故③错误．
因为抛物线经过点（），
所以，
即a﹣2b+4c＝0．
又因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
则b＝﹣2a，
所以a﹣2（﹣2a）+4c＝0，
即5a+4c＝0．
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）
13．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是 （﹣4，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的两个点的纵横坐标均互为相反数，可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，掌握关于原点对称的两点坐标之间的关系是正确解答的前提．
14．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 （3，1） ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点评】主要考查了二次函数的性质，关键是根据抛物线顶点式的运用解答．
15．（2分）若a是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个根，则2a2+6a﹣1的值是 9 ．
【分析】由题可得a2+3a＝5，再将所求的代数式变形为2（a2+3a）﹣1，再将a2+3a＝5整体代入即可．
【解答】解：a是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个根，
∴a2+3a﹣5＝0，即a2+3a＝5，
∴2a2+6a﹣1
＝2（a2+3a）﹣1
＝2×5﹣1
＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握整体的数学思想是解题的关键．
16．（2分）若一个扇形的面积为120π，弧长为20π，则这个扇形的半径为 12 ．
【分析】根据扇形面积公式S＝lr计算即可．
【解答】解：∵S＝lr，
∴120π＝×20π×r，
解得，r＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，掌握S＝lr是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）
17．（6分）解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）x（x﹣6）＝3（x﹣6）．
【分析】（1）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣45＝0，
∴（x﹣9）（x+5）＝0，
则x﹣9＝0或x+5＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣5；
（2）∵x（x﹣6）＝3（x﹣6），
∴x（x﹣6）﹣3（x﹣6）＝0，
则（x﹣6）（x﹣3）＝0，
∴x﹣6＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝6，x2＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（7分）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，O，B的对应点A1，O1，B1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A2，O2，B2即可；
（3）利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求；
（2）如图，△A2O2B2即为所求；
（3）在Rt△AOB中，，
∴．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19．（7分）12月13日是南京大屠杀死难者国家公祭日，某校为了纪念历史，缅怀先烈，举行以“悼念死难者，缅怀先烈”为主题的电影观后感活动，校团委将有关南京大屠杀的四部电影《南京梦魇》、《幸存者见证南京》、《南京 Naking》、《外国人眼中的南京大屠杀》制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和影片名字外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上影片名字，然后放回．学生根据自己所抽取的卡片，利用周末观看卡片上相应的电影，并写电影观后感．
（1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小华和小红抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数；
（2）求小华和小红抽到的两张卡片恰好是同一部影片的概率．
【分析】（1）根据列表法求出所有等可能结果数；
（2）根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表如下：
小华和小红抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数为16；
（2）其中小华和小红抽到的两张卡片恰好是同一部影片的结果有4种，
所以小华和小红抽到的两张卡片恰好是同一部影片的概率为．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意放回实验还是不放回实验是解题的关键．
20．（5分）如图，已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．若BC为⊙O的直径，AB＝6，求BD，AC的长．
【分析】利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5．
【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8，
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴CD＝BD，
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴BD＝CD＝5．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
21．（8分）推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润，得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（30，100），（40，80）代入一次函数关系式得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160），
＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x＝55时，w有最大值，此时w＝1250．
∴销售单价定为55元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
【点评】本题考查了二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
【分析】（1）先解方程，求出方程的两根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
（2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）该方程是“方正方程”，理由如下：
∵3x2﹣5x+2＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣1）＝0，
3x﹣2＝0，x﹣1＝0，
，
∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”；
（2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c，
b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c，
＝c2+8c+25
＝（c+4）2+9
∵（c+4）2≥0，
∴（c+4）2+9≥9
∴b2﹣2 的最小值为9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义，并能利用解决问题．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，可得结论；
（2）根据图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD可得结论．
【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：
∵∠ABC＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，
∴BA⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，
∵AO＝OB，AB＝4，
∴S△ABD＝•AB•OD＝×4×2＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD
＝×4×4﹣×4﹣
＝8﹣2﹣π
＝6﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，扇形的面积，等腰三角形的性质．解题的关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用等腰三角形的性质解决问题．
24．（8分）二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若函数y1的图象经过点（2，m），且x1+x2＝2时，求m的最大值；
（2）若一次函数y2＝kx+b（k，b是常数，k≠0），它的图象与y1的图象都经过x轴上同一点，且x1﹣x2＝2．当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值．
【分析】（1）将已知条件代入解析式中，得到m关于x1的函数关系式，利用二次函数的性质，配方法解答即可得出结论；
（2）利用分类讨论的思想方法分别得到y关于x1，x2的解析式，再利用待定系数法和已知条件解答即可．
【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（2，m），
∴m＝2×22﹣4（x1+x2）+2x1x2＝8﹣4（x1+x2）+2x1x2，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴m＝8﹣4×2+2x1•（2﹣x1）
＝﹣2+4x1
＝﹣2+2，
∵﹣2＜0，
∴当x1＝1时，m有最大值为2．
∴m的最大值为2；
（2）由题意：二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，
①若两函数的图象都经过x轴上同一点（x1，0），
∴0＝kx1+b，
∴b＝﹣kx1，
∴y2＝kx﹣kx1．
∵y＝y1+y2，
∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx1
＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx1．
∵函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝0．
即＝0，
整理得：＝0，
∴k＝﹣2（x1﹣x2）．
∵x1﹣x2＝2，
∴k＝﹣2×2＝﹣4；
②若两函数的图象都经过x轴上同一点（x2，0），
∴0＝kx2+b，
∴b＝﹣kx2，
∴y2＝kx﹣kx2．
∵y＝y1+y2，
∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx2
＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx2．
∵函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝0．
即﹣4×2（2x1x2﹣kx2）＝0，
整理得：＝0，
∴k＝2（x1﹣x2）．
∵x1﹣x2＝2，
∴k＝2×2＝4．
综上，当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，k的值为4或﹣4．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，数形结合法，利用待定系数法和分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70