2022-2023学年广东省佛山市南海区石门实验中英文学校九年级（上）潜能大赛数学试卷（二）（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市南海区石门实验中英文学校九年级（上）潜能大赛数学试卷（二）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a为实常数，则下列结论正确的是( )
A. 关于x的方程a|x|=a的解是x=±1
B. 关于x的方程|a|x=|a|的解是x=1
C. 关于x的方程|a|x=a的解是x=1
D. 关于x的方程(|a|+1)|x|=|a|+1的解是x=±1
2.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦−秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a=5，b=6，c=7，则△ABC的面积为( )
A. 6 6B. 6 3C. 18D. 192
3.a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数，如2的差倒数为11−2=−1，−1的差倒数11−(−1)=12，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2021的值是( )
A. 45B. −14C. 43D. 5
4.已知直线y=−43x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是( )
A. y=−12x+8
B. y=−13x+8
C. y=−12x+3
D. y=−13x+3
5.如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s(阴影部分)，则s与t的大致图象为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题6分，共42分。
6.已知关于x的方程x2−6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足1x1+1x2=3，则k的值是______．
7.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，图象如图所示，给出以下结论：①b2>4ac；②abc>0；③2a−b=0；④9a−3b+c>0；正确的结论______ ．
8.在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0，常数k>0)的图象经过点A(1,2)，B(m,n)(m>0)，过点B作y轴的垂线，垂足为C.若△ABC的面积为2，则点B的坐标为______ ．
9.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，csC=35.则AB边的长为______．
10.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是______．
11.设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为______．
12.如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=43，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是______ s.
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题8分)
在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．
如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式；
(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；
(3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界(排球压线属于没出界)，请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．
14.(本小题8分)
如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．
(1)求证：AD=NE
(2)求证：①DM=MF；②DM⊥MF．
15.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：在方程a|x|=a中，当a=0时，x为任意实数，当a≠0时，x=±1，故选项A错误；
在方程|a|x=|a|中，当a=0时，x为任意实数，当a≠0时，x=1，故选项B错误；
在方程|a|x=a中，当a=0时，x为任意实数，当a>0时，x=1，当a0)图象上，确定k=2，而B(m,n)在函数y=2x图象上，则mn=2，再根据面积公式得到12⋅m⋅(2−n)=2，即2m−mn=4，即可求出m和n，从而得到点B的坐标．
本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值．
9.【答案】165
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=2，csC=35，
∴CHAC=35，
∴CH=65，
∴AH= AC2−CH2= 22−(65)2=85，
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AH=165，
故答案为165．
如图，作AH⊥BC于H.解直角三角形求出AH，再根据AB=2AH即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】2
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC/​/BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=12CF=12BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：2．
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
11.【答案】12
【解析】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE=a，OF=b，由抛物线解析式为y=x2，
则AE=a2，BF=b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D(0,m)，
∵DG/​/BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴DGBH=AGAH，即m−a2b2−a2=aa+b．
化简得：m=ab．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴AEOF=EOBF，
即a2b=ab2，
化简得ab=1．
则m=ab=1，说明直线AB过定点D，D点坐标为(0,1)．
∵∠DCO=90°，DO=1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为12DO=12时，点C到y轴的距离最大．
故答案为：12．
分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE=a，OF=b，由抛物线解析式可得AE=a2，BF=b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D(0,m)，易证△ADG∽△ABH，所以DGBH=AGAH，即m−a2b2−a2=aa+b.可得m=ab.再证明△AEO∽△OFB，所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，可得ab=1.即得点D为定点，坐标为(0,1)，得DO=1.进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即12时最大．
本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．
12.【答案】649
【解析】解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH//AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA=DHEH=43，
设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间=5x1.25=4(s)
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=4m1=4(s)，
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH的最小值为AG的长，
当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，则A(−1,0)，B(3,0)，
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=COOB=43，
∴OC=4，则C(0,4)，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B(3,0)，C(0,4)代入得3k+b=0b=4，解得k=−43b=4，
∴直线BE的解析式为y=−43x+4，
解方程组y=x2−2x−3y=−43x+4得x=3y=0或x=−73y=649，则E点坐标为(−73,649)，
∴AG=649，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间=6491=649(s)，
即蚂蚁从A到E的最短时间为649s.
故答案为649．
过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA=DHEH=43，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AG的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AG的长，然后计算爬行的时间．
本题考查了二次函数与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．
13.【答案】解：(1)由题意可得抛物线的顶点F的坐标为(6,2.8)，
设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+2.8，
将点C(0,2)代入，得：36a+2.8=2，
解得：a=−145，
∴y=−145(x−6)2+2.8；
(2)当x=9时，y=−145(9−6)2+2.8=2.6>2.24，
当x=18时，y=−145(18−6)2+2.8=−0.42.32，
∴h≥83
答：球既能过网又不会出界的h的取值范围是h≥83．
【解析】(1)利用抛物线的顶点F的坐标为(6,2.8)，将点(0,2)代入解析式求出即可；
(2)利用当x=9时，y=−145(x−6)2+2.8=2.6，当y=0时，−145(x−6)2+2.8=−0.4，分别得出即可；
(3)设抛物线解析式为y=a(x−6)2+h，由点C(0,2)得解析式为y=2−h36(x−6)2+h，再依据x=18时y≤0即可得h的范围．
此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
14.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠BCD=90°，AD=CD，
∴∠MAD=∠MEN，
又∵M是AE的中点，
∴AM=EM
在△ADM和△ENM中，
∵∠MAD=∠MENAM=EM∠AMD=∠EMN，
∴△ADM≌△ENM(ASA)，
∴AD=EN；
(2)证明：连接FD、FN，
∵CE是正方形CGEF的对角线，
∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠2=∠1=∠FEN=45°，
在△CDF和△ENF中，
∵CD=EN∠2=∠NEFCF=EF，
∴△CDF≌△ENF(SAS)
∴∠3=∠4，DF=FN，
又∵∠CFN+∠4=90°，
∴∠CFN+∠3=90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
又∵△ADM≌△ENM，
∴DM=NM，
∴FM=DM，FM⊥DM．
【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，易得AD//BC，∠BCD=90°，AD=CD，即可得∠MAD=∠MEN，又由M是线段AE的中点，利用ASA，即可判定△ADM≌△ENM，则可得AD=NE；
(2)首先连接FD、FN，易证得△CDF≌△ENF(SAS)，即可证得△DFN是等腰直角三角形，又由△ADM≌△ENM，即可证得：①DM=MF；②DM⊥MF．
此题考查了正方形的性质、全等三角新的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
15.【答案】解：(1)不妨令4x−12=2x2−8x+6，解得：x1=x2=3，
当x=3时，4x−12=2x2−8x+6=0．
∴y=ax2+bx+c必过(3,0)，
又∵y=ax2+bx+c过(−1,0)，
∴a−b+c=09a+3b+c=0，解得：b=−2ac=−3a，
∴y=ax2−2ax−3a，
又∵ax2−2ax−3a≥4x−12，
∴ax2−2ax−3a−4x+12≥0，
整理得：ax2−2ax−4x+12−3a≥0恒成立，
∴a>0且△≤0，
∴(2a+4)2−4a(12−3a)≤0，
∴(a−1)2≤0，
∴a=1，b=−2，c=−3．
∴该二次函数解析式为y=x2−2x−3．
(2)令y=x2−2x−3中y=0，得x=3或x=−1，则A点坐标为(3,0)；
令x=0，得y=−3，则点C坐标为(0,−3)．
设点M坐标为(m,m2−2m−3)，N(n,0)，
根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当AC为对角线时，xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，
即3+0=m+n0−3=m2−2m−3+0，解得：m1=0(舍去)，m2=2，
∴n=1，即N1(1,0)．
②当AM为对角线时，xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN，
即3+m=0+n0+m2−2m−3=−3+0，解得：m1=0(舍去)，m2=2，
∴n=5，即N2(5,0)．
③当AN为对角线时，xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，
即3+n=0+m0+0=−3+m2−2m−3，解得：m1=1+ 7，m2=1− 7，
∴n= 7−2或−2− 7，
∴N3( 7−2,0)，N4(−2− 7,0)．
综上所述，N点坐标为(1,0)或(5,0)或( 7−2,0)或(−2− 7,0)．
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的的联系，根的判别式，对于平行四边形的存在性要注意分类讨论求解．
(1)令4x−12=2x2−8x+6，解之可得x=3，则二次函数必过(3,0)，又过(−1,0)，则把两点坐标代入解析式可得y=ax2−2ax−3a，又ax2−2ax−3a≥4x−12，整理可得ax2−2ax−4x+12−3a≥0，所以a>0且△≤0，则可得a=1，从而求得二次函数解析式；
(2)由题意可得A(3,0)，C(0,−3)，设点M坐标为(m,m2−2m−3)，N(n,0).根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC为对角线则有xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN；②AM为对角线则有xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN；③AN为对角线则有xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM．