八下人教版期末真题精选（基础60题40个考点分类专练：二次根式、平行四边形、勾股定理、一次函数、数据分析）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版）

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A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
则x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
二．二次根式的性质与化简（共1小题）
2．（2023春•福清市期末）计算：＝ 7 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：＝＝7．
故答案是：7．
【点评】本题考查了二次根式的性质，理解算术平方根的定义是关键．
三．最简二次根式（共2小题）
3．（2022秋•伊川县期末）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝＝2，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4．（2022春•江汉区期末）二次根式化成最简二次根式是 4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
四．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2022春•元阳县期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而判断即可．
【解答】解：A．÷＝，故此选项不合题意；
B．+无法合并，故此选项不合题意；
C．2×3＝18，故此选项不合题意；
D．﹣＝﹣，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
五．函数的概念（共1小题）
6．（2022春•惠阳区期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】解：显然A、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
B、对于x＞0的任何值，y都有二个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
六．函数自变量的取值范围（共1小题）
7．（2022秋•靖西市期末）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥1且x≠0C．x＞1且x≠0D．x≠0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x≠0，
解得：x≥1，
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
七．函数的图象（共1小题）
8．（2022春•恩施市期末）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】①根据函数图象由工作效率＝工作总量÷工作时间就可以得出结论；
②根据函数图象由工作效率＝工作总量÷工作时间就可以得出结论；
③根据函数图象求出乙队完成的时间就可以求出结论；
④由甲的工作效率就可以求出2天时的工作量为200米，乙队是300米．6天时甲队是600米，乙队是500米得出300﹣200＝600﹣500＝100米故得出结论．
【解答】解：①根据函数图象得：
甲队的工作效率为：600÷6＝100（米/天），故正确；
②根据函数图象，
得乙队开挖两天后的工作效率为：（500﹣300）÷（6﹣2）＝50（米/天），故正确；
③乙队完成任务的时间为：2+（600﹣300）÷50＝8（天），
∴甲队提前的时间为：8﹣6＝2（天）．
∵2≠3，
∴③错误；
④当x＝2时，甲队完成的工作量为：2×100＝200（米），
乙队完成的工作量为：300米．
当x＝6时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米．
∵300﹣200＝600﹣500＝100（米），
∴当x＝2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．故正确．
正确的有：①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，工程问题的数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间的运用，解答时分析清楚一次函数的图象的意义是关键．
八．动点问题的函数图象（共1小题）
9．（2022春•惠城区校级期末）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（）B．（3，3+）C．（2，2+2）D．（，2）
【分析】先根据图2得出正方形边长，再根据点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，则此时y取得最小值，根据勾股定理求出y，再根据△EHF∽△ABF，得出EH＝3HF，BF＝4HF，由BF＝2，得HE＝，即可得最低点的坐标．
【解答】解：由图2知，当点E和点B重合时，EF+EC＝BF+CB＝CB+CB＝8，
∴BC＝6，
即正方形的边长为6，
如图，点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，
根据点的对称性，EA＝EC，
则y＝EF+EC＝EF+EA＝AF为最小，
∵AB＝6，BF＝2，
∴AF＝＝2，
过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∵EH∥AB，
∴△EHF∽△ABF，
∴＝＝＝3，
∴EH＝3HF，
∴BF＝4HF，
∵BF＝2，
∴HE＝，
∴图象上最低点的坐标是（，2），
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，涉及正方形的性质，相似三角形的性质以及勾股定理等知识，关键是从图2中读取信息，求出正方形的边长．
九．一次函数的定义（共2小题）
10．（2022春•灌阳县期末）已知函数y＝（m+3）x+2是一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠﹣3B．m≠1
C．m≠0D．m为任意实数
【分析】根据一次函数的定义，可得m+3≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
m+3≠0，
∴m≠﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
11．（2022春•香河县期末）下列函数中是一次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+1B．y＝5x2﹣4x+1C．y＝D．y＝﹣3﹣x
【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），即可解答．
【解答】解：A、y＝﹣2x+1，不是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝5x2﹣4x+1，是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝，是反比例函数，故C不符合题意；
D、y＝﹣3﹣x，是一次函数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
一十．正比例函数的定义（共2小题）
12．（2022春•丰南区期末）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴，
解得k＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，即形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数．
13．（2022春•凤山县期末）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2C．y＝D．y＝3x+1
【分析】根据正比例函数的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：y＝2x是正比例函数，因此选项A符合题意；
y＝x2是二次函数，因此选项B不符合题意；
y＝是反比例函数，因此选项C不符合题意；
y＝3x+1是一次函数，并非正比例函数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查正比例函数的定义，掌握“形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数是正比例函数”是正确判断的关键．
一十一．一次函数的图象（共1小题）
14．（2022春•北辰区期末）一次函数y＝x+1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：一次函数y＝x+1，k＝1＞0，b＝1＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
一十二．正比例函数的图象（共1小题）
15．（2022春•曲阳县期末）如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 k＞m＞n ．（按从大到小的顺序用“＞”连接）
【分析】根据函数图象所在象限可判断出k＞0，m＞0，n＜0，再根据直线上升的快慢可得k＞m，进而得到答案．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y＝mx的图象在一、三象限，
∴k＞0，m＞0，
∵y＝kx的图象比y＝mx的图象上升得快，
∴k＞m＞0，
∵y＝nx的图象在二、四象限，
∴n＜0，
∴k＞m＞n，
故答案为：k＞m＞n．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象的性质：
它是经过原点的一条直线，
当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
一十三．一次函数的性质（共2小题）
16．（2022春•抚顺期末）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3，k＝﹣2＜0，b＝3＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意一次函数的性质，知道当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
17．（2022春•平潭县校级期末）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜2即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，且﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
一十四．正比例函数的性质（共1小题）
18．（2022春•晋江市期末）点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4）的对称轴是（ ）
A．直线y＝xB．x轴C．y轴D．原点
【分析】利用已知两点横纵坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4），
∴P，Q关于x轴对称．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同与纵坐标互为相反数．
一十五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
19．（2022春•临颍县期末）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
一十六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
20．（2022春•望城区期末）已知，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）根据勾股定理求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（6，0），
点B的坐标为（0，3）；
（2）如图：
（3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
一十七．一次函数图象与几何变换（共1小题）
21．（2022秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3B．2C．﹣2D．3
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝2x+b+3，然后把（0，0）代入解得即可．
【解答】解：将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后得到y＝2x+b+3，
∵经过原点，
∴b+3＝0，
解得b＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
一十八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
22．（2022春•石河子期末）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点（3，1）．
（1）求一次函数表达式；
（2）在坐标系中画出该一次函数的图象；
（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）令x＝0，求得y的值，令y＝0求出x值，根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象；
（3）结合图象，利用三角形的面积公式可得结果．
【解答】解：（1）一次函数y＝2x+b的图象经过点（3，1），
∴1＝2×3+b，
解得b＝﹣5，
∴一次函数的表达式为y＝2x﹣5．
（2）在y＝2x﹣5中令x＝0时，y＝﹣5；令y＝0，则2x﹣5＝0，解得x＝，
∴函数图象过点（0，﹣5）和（ ，0），
画出函数图象如图所示．
（3）∵直线与坐标轴的交点是（0，﹣5）和（ ，0），
∴直线与两坐标轴所围成的三角形面积是：＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的图象，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
一十九．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
23．（2022春•南岗区期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为 y＝x ．
【分析】根据正比例的概念设出解析式，利用待定系数法计算．
【解答】解：设y＝kx，当x＝5时，y＝6，
可得：5k＝6，
解得：k＝，
则y与x的函数解析式为y＝x，
故答案为：y＝x．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．
二十．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
24．（2022春•灞桥区校级期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞1D．x＜1
【分析】根据一次函数图象即可确定不等式的解集．
【解答】解：根据图象可知，不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
二十一．根据实际问题列一次函数关系式（共1小题）
25．（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（ ）
A．y＝7.6x（0≤x≤20）B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20）D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价．
【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，
则0≤x≤20．
故选：B．
【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围．
二十二．一次函数的应用（共1小题）
26．（2022春•岳池县期末）甲、乙两名同学骑自行车从A地出发，沿同一条路前往风山公园游玩，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，给出下列说法：
①甲、乙两名同学从A地到凤山公园所用的时间相同；
②甲、乙两名同学同时到达凤山公园；
③甲同学中途停留前、后的骑行速度相同；
④乙同学的骑行速度是12km/h；
⑤在此过程中，甲同学骑行的平均速度大于乙同学骑行的平均速度．
其中正确的说法是（ ）
A．①③④B．①④C．②④⑤D．①②③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲同学从A地到凤山公园所用的时间为1.5h，
乙同学从A地到凤山公园所用的时间为2﹣0.5＝1.5（h），
∴甲、乙两名同学从A地到凤山公园所用的时间相同，
故①正确；
甲比乙先到达B地，
故②错误；
甲停留前的速度为：10÷0.5＝20（km/h），
甲停留后的速度为：（18﹣10）÷（1.5﹣1）＝16（km/h），
故③错误；
乙的骑行速度为：18÷（2﹣0.5）＝12（km/h），
故④正确；
整个过程中甲的平均速度是18÷1.5＝12（km/h），
故⑤错误．
∴正确的有①④．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二十三．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
27．（2022春•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ 50 °．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝50°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝50°．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝50°．
故答案是：50．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
二十四．勾股定理（共3小题）
28．（2022春•灌阳县期末）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．
【解答】解：在直角三角形中，
根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，
∴斜边长＝＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的根据两直角边求斜边的长是解题的关键．
29．（2022春•中宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长（ ）
A．4B．2C．1D．
【分析】根据三角形外角的性质得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD是腰AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴CD＝AC＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，求出∠DAC＝30°是解题的关键．
30．（2022春•通榆县期末）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是 76 ．
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，
∴由勾股定理得：AB＝＝10，
∴正方形的面积是10×10＝100，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×6×8＝24，
∴阴影部分的面积是100﹣24＝76，
故答案是：76．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
二十五．勾股定理的逆定理（共2小题）
31．（2022春•麒麟区期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
32．（2022春•潼关县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
二十六．勾股数（共2小题）
33．（2022春•南宁期末）下列4组数据中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．6，7，8
【分析】利用勾股数定义进行分析即可．
【解答】解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意；
D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
34．（2022春•那坡县期末）如果一个三角形的三边分别为8，10，6，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：∵82+62＝102，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即若一个三角形的三边满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形．
二十七．勾股定理的应用（共4小题）
35．（2022春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
36．（2022春•武威期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 x2+62＝（10﹣x）2 ．
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+62＝（10﹣x）2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
37．（2022春•兴国县期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
38．（2022春•合阳县期末）如图，在电线杆AB上的点C处，向地面拉有一条12m长的钢缆CD，地面固定点D到电线杆底部的距离BD＝8m，AB⊥BD于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为2m，求电线杆的高度AB．
【分析】利用勾股定理求出BC的长，即可得出AB．
【解答】解：在Rt△BCD中，由勾股定理得，
，
∴．
∴电线杆的高度AB为（4+2）m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题的关键．
二十八．三角形中位线定理（共2小题）
39．（2022春•振兴区校级期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线，从而求得结论．
【解答】解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵F是CB的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∵BD＝16，
∴EF＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
40．（2022春•海安市期末）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝10，则DE＝ 5 ．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出DE的长．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵BC＝10，
∴DE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
二十九．平行四边形的性质（共2小题）
41．（2022春•宁都县期末）将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），则顶点D的坐标是（ ）
A．（4，3）B．（1，3）C．（1，2）D．（4，2）
【分析】根据平行四边形的性质得，CD＝AB，CD∥AB，从而得出CD＝AB，即可得出答案．
【解答】解：由平行四边形的性质得，CD＝AB，CD∥AB，
∵顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），
∴CD＝AB＝4，
∴D（1，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
42．（2022春•沙坪坝区期末）点O为▱ABCD对角线AC与BD的交点，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．OA＝OBB．∠DEO＝∠CFOC．CD＝ODD．AE＝CF
【分析】利用平行四边形的性质，可得AD∥BC，OA＝OC，从而利用AAS证明△AOE≌△COF，得AE＝CF．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三十．平行四边形的判定（共1小题）
43．（2022春•遂川县期末）已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和②B．①③和④C．②和③D．②③和④
【分析】由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出①不正确；
由平行线的性质和添加条件得出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，②正确；
由平行线得出△AOB∽△COD，得出对应边成比例，证出BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，③正确；
先证出AO＝BO，在证明△AOB∽△COD，得出对应边成比例得出CO＝DO，因此四边形ABCD不一定是平行四边形，得出④不正确．
【解答】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴①不正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴②正确，如图所示；
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO＝BO：DO，
∵AO＝CO，
∴BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴③正确；
∵∠DBA＝∠CAB，
∴AO＝BO，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO＝BO：DO，
∵AO＝BO，
∴CO＝DO，四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴④不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
三十一．菱形的性质（共2小题）
44．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）
A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝，
∴C（0，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
45．（2022春•罗庄区期末）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
三十二．菱形的判定（共3小题）
46．（2022春•通榆县期末）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB⊥BD
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形．
47．（2022春•沙依巴克区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：∠BAC＝∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题；
（2）先证明AD＝CD，根据已知可得AB＝AD＝CB＝CD，利用四边相等即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题
48．（2022春•新化县校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
三十三．菱形的判定与性质（共2小题）
49．（2022春•昭平县期末）下列语句正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．平行四边形是轴对称图形
【分析】菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；
【解答】解：A、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
B、错误．梯形有有两对邻角互补，不是平行四边形；
C、正确；
D、错误．平行四边形不一定是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题；
50．（2022春•白碱滩区期末）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．
【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
∴EO＝DC．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
三十四．矩形的性质（共1小题）
51．（2022春•庆云县期末）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（ ）
A．B．C．5D．4
【分析】由两点距离公式可求OB的长，由矩形的性质可得AC＝OB，即可求即解．
【解答】解：如图，连接OB，
∵点B的坐标为（2，3），
∴OB＝＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝OB＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，两点距离公式，掌握矩形的性质是解题的关键．
三十五．矩形的判定（共1小题）
52．（2022春•百色期末）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证：▱ABCD是矩形．
【分析】根据题意可求OA＝OB＝DO＝CO，于是得到AC＝DD，即结论可得．
【解答】解：∵△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三十六．矩形的判定与性质（共2小题）
53．（2022春•沂南县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【分析】（1）由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB＝DC，由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到EF＝AD＝6，进而求得BE＝CF＝2，BF＝8，由∠ABE＝60°可求得AB＝2BE＝4，由勾股定理可求得DF＝AE＝2，BD＝2，由平行四边形性质得OB＝OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
54．（2022春•泗阳县期末）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由CE∥BD、EB∥AC可得出四边形OBEC为平行四边形，由菱形的性质可得出∠BOC＝90°，进而可得出四边形OBEC为矩形，根据矩形的性质即可证出OE＝CB；
（2）设OC＝x，则OB＝2x，利用勾股定理可得出BC＝x，结合BC＝OE＝2，可求出x的值，进而可得出OC、OB的值，再利用菱形的面积公式即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB．
（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝x．
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2OC•OB＝16．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质，解题的关键是：（1）证出四边形OBEC为矩形；（2）利用勾股定理结合OE的长度，求出OB、OC的值．
三十七．正方形的性质（共2小题）
55．（2022秋•金牛区期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．
【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
56．（2022春•靖西市期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角互补B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．四边相等
【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形中，矩形四边不相等，错误．
【解答】解：A、菱形对角不互补，故本选项错误；
B、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．
三十八．正方形的判定（共1小题）
57．（2022春•农安县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ∠BAD＝90° ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
【分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD＝90°．
【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
三十九．众数（共1小题）
58．（2022春•唐县期末）抢微信红包已成为中国传统节日人们最喜爱的祝福方式，今年端午节期间，某人在自己的微信群中发出红包，一共有10名好友抢到红包，抢到红包的金额情况如表：
则10名好友抢到金额的众数、中位数分别是（ ）
A．4.5，5B．4.5，6C．8，4.5D．5，4.5
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【解答】解：由表可知4.5元出现的次数最多，
所以众数为4.5元，
∵第5、6个数据为5，5，
∴中位数为5元，
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
四十．方差（共2小题）
59．（2023春•拱墅区期末）若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为8，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…xn﹣3，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为8，方差为1B．平均数为5，方差为1
C．中位数变小，方差不变D．众数不变，方差为4
【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断．
【解答】解：∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为8，方差为4，
∴样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均数为5，方差为4，众数和中位数变小．
故选：C．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．
60．（2022春•南丹县期末）在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75，成绩最稳定的是（ ）
A．甲．B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．金额（元）
4
4.5
5
5.5
6
8
人数（人）
1
3
2
1
2
1