【精编精校卷】2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考（三）数学试题（解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则在复平面对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 若的展开式中共有个有理项，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 函数有最小值
B. 函数有最大值
C. 函数有且仅有三个零点
D. 函数有且仅有两个极值点
4. 已知函数是定义在上的奇函数，且，有成立，若，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）

A. B. 24C. 32D.
7. 已知角，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（ ）
A. 47B. 48C. 57D. 58
二､多选题（本大题共4个小题，每小题5.分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 为了解某贫困地区实施精准扶贫后成果，现随机抽取了该地区三个县市在2021年建档立卡人员年人均收入提升状况.经统计，A县建档立卡人员年人均收入提升状况用饼状图表示，B县建档立卡人员年人均收入提升状况用条形图表示，C县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122（百元），方差为4，A，B，C三县建档立卡人数比例为3∶4∶5，则下列说法正确的有（ ）
A. A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122
B. B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6
C. 估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元
D. C县精准扶贫的效果最好
10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则（ ）

A. ，，，四点共面
B.
C. 直线平面
D. 三棱锥体积为
11. 已知圆和圆，分别是圆，圆上动点，则下列说法正确的是（ ）
A 圆与圆有四条公切线
B. 的取值范围是
C. 是圆与圆的一条公切线
D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得
12. 已知函数，若存在直线，使得是曲线与曲线的公切线，则实数的取值可能是（ ）
A B. C. 2D. 3
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________.
14. 已知边长为的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为，则四棱锥的体积为__________.
15. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.
16. 如图，矩形中， 分别为线段上的动点，且满足.点关于原点的对称点为，直线与交于点，则点到直线的最小距离为__________.

四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
18. 在锐角中，角的对边分别为，且满足.
（1）求证：；
（2）设的周长为，求的取值范围.
19. 北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
20. 如图､四边形与四边形是全等的矩形，为上的点.
（1）若为的中点，求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
21. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论在上的单调性；