湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题（原卷及解析版）

这是一份湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题（原卷及解析版），文件包含精品解析湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题原卷版docx、精品解析湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题4个选项中只有一个正确答案.
1. 复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )
A. B.
C. D.
5. 在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，且，数列满足，，则的最小值为（ ）．
A. B. 5C. D.
7. 已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题4个选项中有多项符合要求.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 随机变量服从正态分布，，则
B. 随机变量服从，若，，则
C. 将一组数据的每个数据都乘以一个数，再加上一个数后，这组数据的方差变为原来的倍
D. 样本相关系数绝对值越接近于，成对样本数据的线性相关程度越强
10. 已知直线与曲线相交于两点，与相交于两点，的横坐标分别为，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. B. 是周期函数
C. 在单调递减D.
12. 如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ）

A. 四点，，，共面
B. ∥
C 与平面相交
D. 若，则正方体外接球的表面积为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中，项的系数为_________．
14. 已知，，且，则的最小值为__________.
15. 已知满足，则最小值为__________.
16. 如图，已知球的表面积为，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
18. 在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）若平面，且，，求二面角的余弦值.
19. 已知等差数列的前n项和为，且，，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20. 已知函数且曲线 在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数 m的取值范围．
21. 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
（1）求椭圆标准方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
22. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．