重庆市江津区五校联考2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市江津区五校联考2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）
1．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，则AB边上的高是（ ）
A．ADB．CEC．DCD．AE
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．a5﹣a4＝aC．（a2）3＝a5D．a2×a4＝a6
3．（4分）下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形是（ ）
A．1，2，3B．2，4，7C．3，4，8D．2，3，4
4．（4分）若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（ ）
A．5B．8C．9D．10
5．（4分）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠P′O′Q′＝∠POQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△AOB≌△A′O′B′的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
6．（4分）已知x﹣y＝7，xy＝5，则（x+1）（1﹣y）的值为（ ）
A．13B．3C．﹣11D．﹣13
7．（4分）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．x2+1＝x（x+）
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）
D．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1
8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜19
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，且AD＝CD，若∠CBD＝a，则∠ADC一定等于（ ）
A．3aB．90°+2aC．135°﹣2aD．180°﹣2a
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF．
下列结论：①AB＝2BD；②图中有4对全等三角形；③BD＝BF；④若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；⑤S四边形DFOE＝S△AOF，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，共32分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ．
13．（4分）因式分解：2x2﹣18＝ ．
14．（4分）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为 ．
15．（4分）若x2﹣mx+25是完全平方式，则m＝ ．
16．（4分）已知实数a、b满足，|a+b﹣3|+（ab﹣2）2＝0，则a2+b2值为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC＝7，AE：AD＝4：3，则AE长为 ．
18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足+＝，那么称这个四位数为“共和数”．例如：四位数1235，∵12+23＝35，∴1235是“共和数”；又如：四位数3824，38+82≠24，3824不是“共和数”，若一个“共和数”为m268，则m的值为 ；若一个“共和数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数bcd的差，再减去2a，结果能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，第20-26题各10分，共78分）
19．（8分）计算．
（1）xy2•（﹣2xy）3；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
20．（10分）尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC．
（1）用尺规完成以下基本作图：
作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，求证：AD＝CE；请完善下面的证明过程．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ．
∵AF∥BC．
∴∠CBE＝ ．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴ ．
在ACE和△BDA中，
．
∴△ACE≌△BDA．
∴AD＝CE．
21．（10分）先化简，再求值：，其中a、b满足（a+1）2+b2+9＝6b．
22．（10分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数．
23．（10分）已知a﹣b＝7，ab＝6．
（1）求a2+b2的值；
（2）求a4b2﹣a3b3+a2b4的值．
24．（10分）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．
（1）求证：△ABC≌△DEA；
（2）∠ACB＝30°，∠ADE＝20°，求∠BAD的度数．
25．（10分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知，x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
2023-2024学年重庆市江津区五校联考八年级（上）期中数学答案
一、选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）
1．
解析：解：如图，AB边上的高为CE．
故选：B．
2．
解析：解：A、x2与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a5与﹣a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、a2×a4＝a6，故D符合题意；
故选：D．
3．
解析：解：A、1+2＝3，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+4＜7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、2+3＞4，故能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．
解析：解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：B．
5．
解析：解：由尺规作图可知，OA＝OB＝O'A'＝O'B'，AB＝A'B'，
∴△AOB≌△A′O′B′（SSS）．
故选：A．
6．
解析：解：（x+1）（1﹣y）
＝x﹣xy+1﹣y
＝x﹣y﹣xy+1，
∵x﹣y＝7，xy＝5，
∴原式＝7﹣5+1＝3，
故选：B．
7．
解析：解：A．x2+1＝x（x+），等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故选项不符合题意；
C．x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．
解析：解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝7，
∴AE＝7+7＝14，
∵14+5＝19，14﹣5＝9，
∴9＜CE＜19，
即9＜AB＜19．
故选：D．
9．
解析：解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝∠BFD＝∠DFC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠ABD＝∠CBD＝α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADC＝∠CDF+∠ADF＝∠ADE+∠ADF＝∠EDF，
∵∠EDF＝360°﹣∠E﹣∠BFD﹣∠ABC＝180°﹣2α，
∴∠ADC＝180°﹣2α，
故选：D．
10．
解析：解：∵AB＝CB，BO⊥AC，∠ABC＝90°，
∴AO＝CO＝BO，∠ABO＝∠BAO＝∠C＝∠CBO＝45°，
∵把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，
∴△ABD≌△AED，
∴∠ABD＝∠AED＝90°，BD＝DE，AB＝AE，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴DE＝EC，
∴CD＝DE＝BD，
∴AB＝BC＝BD+CD＝（1+）BD，故①错误，
在△ABO和△CBO中，
，
∴△ABO≌△CBO（SAS），
∵△ABD≌△AED，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
在△BDF和△EDF中，
，
∴△BDF≌△EDF（SSS），
∴图中共有4对全等三角形，故②正确；
∵∠AFO＝90°﹣∠FAO，∠ADB＝90°﹣∠BAD，
∴∠ADB＝∠AFO＝∠BFD，
∴BF＝BD，故③正确；
∵△BDF≌△EDF，
∴∠FBD＝∠FED＝45°，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴将△DEF沿EF折叠，则点D一定落在AC上，故④错误；
连接CF，
∵AO＝CO，
∴S△AFO＝S△CFO，
∵∠AEF＝∠ACB＝45°，
∴EF∥BC，
∴S△EFD＝S△EFC，
∴S四边形OEDF＝S△CFO，
∴S四边形OEDF＝S△AFO，故⑤正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，共32分）
11．
解析：解：原式＝1﹣4
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．
解析：解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故答案为：10．
13．
解析：解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
14．
解析：解：∵AM是△ABC的中线，△ABC的面积为10，
∴S△ACM＝S△ABC＝5，
当MP⊥AC时，MP的值最小，
∴＝5，
∵AC＝4，
∴＝5，
∴MP＝2.5，
根据垂线段最短可知，
MP的最小值2.5．
故答案为：2.5．
15．
解析：解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故答案为：±10
16．
解析：解：由题意得，a+b﹣3＝0，ab﹣2＝0，
所以a+b＝3，ab＝2，
所以a2+b2＝（a+b）2+2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5．
故答案为：5．
17．
解析：解：如图，在BC上截取BH＝BE，连接OH，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ACE＝∠BCE，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠DBC+∠BCE＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
在△BOE和△BOH中，
，
∴△BOE≌△BOH（SAS），
∴∠EOH＝∠BOH＝60°，
∴∠COD＝∠COH＝60°，
在△COD和△COH中，
，
∴△COD≌△COH（ASA），
∴CD＝CH，
∴BE+CD＝BH+CH＝BC＝7，
∵△ABC周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AE+AD＝6，
∵AE：AD＝4：3，
∴AE＝，
故答案为：．
18．
解析：解：由题意，+26＝68，
∴10m+2＝42．
∴10m＝40．
∴m＝4；
∵+＝，
∴10a+b+10b+c＝10c+d．
∴10a+11b＝9c+d．
∵﹣﹣2a
＝100a+10b+c﹣100b﹣10c﹣d﹣2a
＝98a﹣90b﹣9c﹣d
＝98a﹣90b﹣（10a+11b）
＝88a﹣101b
＝84a+4a﹣105a+4b
＝7（12a﹣15b）+4（a+b），
又﹣﹣2a能被7整除，
∴4（a+b）是7的倍数．
∴（a+b）是7的倍数．
当a最小时，M最小；当a最大时，M最大．
又a，b，c，d均不为0，
∴a最小为1．
∴b＝6．
此时a+b＝7．
∴9c+d＝10+66＝76．这时c＝8，d＝4．（∵9c＜76，∴c＜9．又0＜d≤9，∴9c≥76﹣9＝67．∴c＞7．∴c＝8．∴d＝4．）
又∵+＝，
∴a＜c．
又∵+为两位数，
∴a+b≤10．
∴a+b＝7．
又b≠0，
∴a的最大值为6，此时b＝1．
∴10a+11b＝71＝9c+d．
又0＜d≤9，
∴62≤9c＜71．
∴7≤c＜8．
∴c＝7，d＝8．
∴M＝6178．
∴6178﹣1684＝4494．
故答案为：4；4494．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，第20-26题各10分，共78分）
19．
解析：解：（1）原式＝xy2•（﹣8x3y3）
＝﹣8x4y5；
（2）原式＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2
＝2a2+b2．
20．
（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵AF∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
在ACE和△BDA中，
，
∴△ACE≌△BDA（SAS），
∴AD＝CE．
故答案为：∠ABE，∠AEB，AE＝AB．
21．
解：
＝（9a2﹣4b2+4a2﹣4ab+b2﹣2ab+3b2）÷（﹣a）
＝（13a2﹣6ab）÷（﹣a）
＝﹣26a+12b，
∵（a+1）2+b2+9＝6b，
∴（a+1）2+b2﹣6b+9＝0，
∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴当a＝﹣1，b＝3时，原式＝﹣26×（﹣1）+12×3＝26+36＝62．
22．
解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
又AD为平分线，
∴∠DAC＝35°．
∵AE⊥BC，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝35°﹣20°＝15°．
23．
解：（1）∵a﹣b＝7，
∴（a﹣b）2＝49，
即a2﹣2ab+b2＝49，
又∵ab＝6，
∴a2﹣2×6+b2＝49，
∴a2+b2＝61；
（2）∵a4b2﹣a3b3+a2b4＝a2b2（a2﹣ab+b2），
又∵ab＝6，
由（1），得a2+b2＝61，
∴a2b2（a2﹣ab+b2）＝62×（61﹣6）＝1980，
∴a4b2﹣a3b3+a2b4＝1980．
24．
（1）证明：∵BC∥AD，
∴∠DAE＝∠BCA，
∵∠CED＝∠DAE+∠ADE，∠BAD＝∠DAE+∠CAB，
∵∠CED＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠CAB，
在△ABC与△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEA，
∴∠ACB＝∠DAE＝30°，∠CAB＝∠ADE＝20°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠CAB＝50°．
25．
解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）；
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
∴12＝4（x﹣2y）
解得：x﹣2y＝3；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝
＝．