2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高二（上）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高二（上）期末数学试卷（A卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列−1，12，−13，14，⋯的一个通项公式为an=( )
A. (−1)nnB. (−1)n+1nC. (−1)n+1n+1D. (−1)nn+1
2.直线l的一个方向向量为(−2,1,−1)，平面α的一个法向量为n=(3,3,−3)，则( )
A. l/​/αB. l⊥α
C. l/​/α或l⊂αD. l与α的位置关系不能判断
3.已知圆(x−2)2+(y+1)2=5，过点P(1,−3)作圆的切线.则该切线的一般式方程为( )
A. x+2y+5=0B. x−2y−7=0C. 2x−y−5=0D. 2x−y+1=0
4.如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为(结果精确到0.01)( )
A. 4.96
B. 5.06
C. 4.26
D. 3.68
5.函数f(x)=lnx+2x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A. y=3x−1B. y=5x−3C. y=−3x+5D. y=−5x+7
6.设直线l的方程为x+ycsθ+3=0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围( )
A. [0,π)B. [π4,π2)C. [π4,3π4]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
7.已知公差d≠0的等差数列{an}放n项和为Sn，满足S2000=S2024，则下列结论中正确的是( )
A. S2012=0B. S4024=0
C. S2012是Sn中的最大值D. S2012是Sn中的最小值
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F的直线l交C的右支于A，B两点.若存在直线l使得点M为△NAB的重心，则C的离心率为( )
A. 43B. 2C. 2D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=( )
A. −12B. 12C. −1D. 1
10.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，则( )
A. 直线l恒过定点(−1,1)
B. 当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 直线l与圆C有两个交点
D. 圆C与圆x2+y2−2x+8y+8=0恰有三条公切线
11.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1−2an(n∈N*)，数列{bn}满足bn=anan+1.记数列{bn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )
A. a3=−3B. 数列{1an}是等差数列
C. Sn<−12D. Sn≥−12
12.已知椭圆C：x25+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是( )
A. △PF1F2的周长为2 5+4
B. △PF1F2的面积的最大值为2
C. 若A(1,0)，则|PA|的最小值为 5−1
D. y0x0+4的最小值为− 1111
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线x+y+1=0是圆(x−a)2+y2=1的一条对称轴，则a= ______ ．
14.已知函数f(x)=excsx，则f(x)的导数f′(x)= ______ ．
15.抛物线y2=4x的焦点为F，点A(2,1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为___________．
16.定义：各项均不为零的数列{an}中，所有满足ai⋅ai+1<0的正整数i的个数称为这个数列{an}的变号数，已知数列{bn}的前n项和Sn=n2−6n+a(n∈N+,a≠5)，令an=1−4bn(n∈N+)，若数列{an}的变号数为2，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l过点(2,1)，且被曲线C截得的弦长为2 3，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=lg2an,n为奇数an,n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=1，AD=PA=2．
(1)求PC与AE所成角的大小；
(2)求PC与平面ACE所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x，且双曲线C的虚轴长为2 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点M、N，若△OMN的面积为2 2，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年(第1年)年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设绿洲面积为a1万平方千米，第n年绿洲面积为an万平方千米．
(1)求第n年绿洲面积an(单位：万平方千米)与上一年绿洲面积an−1(单位：万平方千米)之间的数量关系(n≥2)；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)至少经过n(n∈N*)年，绿洲面积可超过60%，求n的值.(参考数据：lg2≈0.301)
22.(本小题12分)
已知B(−2,0)，C(2,0)为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为3 6．
(1)求点P的轨迹Γ的方程；
(2)过C作不平行于坐标轴的直线交Γ于D，E两点，若DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，直线DN与EM交于点Q．
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求△DEQ面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，观察数列−1，12，−13，14，⋯
每个项的分母为n，其分子是−1，1交替出现，故分子可为(−1)n，
所以该数列的一个通项公式为an=(−1)nn．
故选：A．
根据题意，归纳数列的变化规律，分析可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，直线l的一个方向向量l=(−2,1,−1)，
平面α的一个法向量为n=(3,3,−3)，
则l⋅n=−2×3+1×3+(−1)×(−3)=0，
由空间线面关系，可得l/​/α或l⊂α．
故选：C．
由直线的方向向量和平面的法向量的位置关系与直线和平面的位置关系即可得解．
本题考查向量法判定空间线面关系，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：(x−2)2+(y+1)2=5的圆心为(2,−1)，半径为 5，
当过P(1,−3)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，
此时圆心(2,−1)到直线x=1的距离为2−1=1< 5，故x=1不是圆的切线，
当过P(1,−3)的直线斜率存在时，设直线方程为y+3=k(x−1)，
则|−1+3−k(2−1)| 1+k2= 5，解得k=−12，
则直线方程为y+3=−12(x−1)，化为一般式为x+2y+5=0．
故选：A．
考虑过P(1,−3)的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：如图，设抛物线的方程为x2=−2py，抛物线经过点(5,−6)，
所以25=12p，解得p=2512，所以抛物线顶点到焦点的距离为p2=2524，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为6−p2=6−2524≈4.96米．
故选：A．
建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点(5,−6)，把点(5,−6)代入抛物线方程即可求出p，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为6−p2，即可求出答案．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由f(x)=lnx+2x2，得f′(x)=1x+4x，
∴f′(1)=1+4=5．
∴函数f(x)=lnx+2x2在点(1,2)处的切线方程为y=5(x−1)+2，
即y=5x−3．
故选：B．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，当csθ=0时，l的方程化x+3=0，
此时，直线l的倾斜角α为90°；
当csθ≠0时，将直线化成斜截式：y=−1csθx−3csθ
直线x+ycsθ+3=0(θ∈R)的倾斜角为α，可得tanα=−1csθ
∵−1≤csθ≤1且csθ≠0
∴tanα=−1csθ∈(−∞,−1]∪[1,+∞)，
∵0°≤α<180°，∴结合正切函数的单调性，可得45°≤α≤135°，且α≠90°
综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围是：[π4,3π4]
故选：C．
根据题意，分csθ=0和csθ≠0两种情况加以讨论，结合余弦函数的值域和正切函数的单调性，即可得到直线l的倾斜角α的取值范围．
本题给出直线方程含有余弦函数系数的形式，求直线倾斜角范围，着重考查了余弦函数的值域和正切函数的单调性等知识，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意S2024−S2000=a2001+a2002+⋯+a2024=12(a2012+a2013)=0，即a2012=−a2013，
所以S4024=4024(a1+a4024)2=2012(a2012+a2013)=0，故B正确；
当d>0时，可得a10，此时S2012<0，S2012是Sn中的最小值，
当d<0时，可得a1>a2>⋯>a2011>a2012=−a2013>0，a2013<0，此时S2012>0，S2012是Sn中的最大值，
故ACD错误．
故选：B．
由题意S2024−S2000=12(a2012+a2013)=0，由下标和性质以及等差数列求和公式得B正确；对公差与0的大小关系讨论可得ACD错误．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：依题意，M(a,0)，N(0,b)．
点M为△NAB的重心时，AB中点P(3a2,−b2)．
设B(x1,y1)，A(x2,y2)，
则x12a2−y12b2=1，x22a2−y22b2=1．
两式作差得：(x1−x2)(x1+x2)a2=(y1−y2)(y1+y2)b2，
可得kBA⋅kOP=b2a2，其中，kOP=−b3a．
又∵B，A，F，P四点共线，
∴kBA=kFP=b2c−3a2．
故b2c−3a2⋅−b3a=b2a2，解得3c=4a，故e=43．
故选：A．
由已知得M(a,0)，N(0,b)，点M为△NAB的重心时，可得AB中点P(3a2,−b2).设B(x1,y1)，A(x2,y2)，然后利用点差法求得kBA⋅kOP=b2a2，再结合B，A，F，P四点共线，利用直线的斜率的关系列式求解．
本题考查双曲线的几何性质，训练了“点差法”的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意，a2+a3=2a4，由等比数列通项公式可得a2(1+q)=2a2q2，
由于等比数列每一项都不是0，故2q2−1−q=0，
即(2q+1)(q−1)=0，解得q=−12或q=1．
故选：AD．
根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解．
本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，直线 l：(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，可化为m(x+1)+x+2y−1=0，
令x+1=0x+2y−1=0，解得x=−1y=1，所以直线恒过定点(−1,1)，故A正确；
对于B，当m=0时，直线l为：x+2y−1=0，
则圆心C(−2,0)到直线l的距离为d=|−2+0−1| 12+22=3 55，
根据r−d=2−3 55<1，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误；
对于C，因为直线过定点(−1,1)，且(−1+2)2+12<4，
所以定点(−1,1)在圆内，直线与圆有两个交点，故C正确；
对于D，由圆的方程x2+y2−2x+8y+8=0，整理得(x−1)2+(y+4)2=9，
所以圆心为(1,−4)，半径为3，
此时两圆的圆心距等于 (1+2)2+(−4−0)2=5=2+3，即圆心距等于两圆半径的和，
所以两圆的位置关系是外切，可知两圆恰有三条公切线，故D正确．
故选：ACD．
对于A，将直线方程变形，求出直线经过的定点，即可判断正误；对于B，利用点到直线的距离公式进行计算，可作出判断；对于C，根据定点在圆内加以判断；对于D，利用圆心距与两圆半径之间的关系加以判断，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式、两圆的位置关系判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：由题意得1an+1=1−2anan=1an−2，即1an+1−1an=−2,(n∈N*)，
所以数列{1an}是以1a1=1为首项，d=−2为公差的等差数列，故B正确；
由以上可知1an=1−2(n−1)=3−2n，所以an=13−2n(n∈N*)，从而a3=−13，故A错误；
而bn=anan+1=13−2n⋅11−2n=1(2n−3)(2n−1)=12(12n−3−12n−1),(n∈N*)，
所以Sn=12(−1−1+1−13+⋯+12n−3−12n−1)=12(−1−12n−1)<−12,(n∈N*)，故C对D错．
故选：BC．
由B选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列{an}的通项公式验证A错误，由数列{bn}定义，可用裂项相消法求它的前n项和Sn，进而验证CD．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：A.△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2 5+4，故A正确；
B.∵点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，∴0<|y|≤1，∴△PF1F2的面积S△PF1F2=12|F1F2||y|=2|y|≤2，故B正确；
C.|PA|= (x0−1)2+y02= (x0−1)2+1−x025= 45(x0−54)2+34，∴|PA|min= 32，故C错误；
D.当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时，联立y=k(x+4)x25+y2=1，
化为(1+5k2)x2+40k2x+80k2−5=0，
∴Δ=(40k2)2−4(5k2+1)(80k2−5)=0，解得k=± 1111，
∴y0x0+4的最小值为− 1111，故D正确．
故选：ABD．
A.利用椭圆的定义即可判断出结论，进而判断出正误；
B.由点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，可得0<|y|≤1，利用三角形面积计算公式即可得出△PF1F2的面积的最值，进而判断出正误；
C.|PA|= (x0−1)2+y02= 45(x0−54)2+34，结合二次函数的单调性可得|PA|的最小值，进而判断出正误；
D.当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时，与椭圆方程联立化为(1+5k2)x2+40k2x+80k2−5=0，利用Δ=0，可得y0x0+4的最小值，进而判断出正误．
本题考查了椭圆的标准方程及定义、二次函数的单调性、方程的解法、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：圆(x−a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0)，
因为直线x+y+1=0是圆(x+a)2+y2=1的一条对称轴，所以圆心(a,0)在此直线上，
所以a+0+1=0，解得a=−1．
故答案为：−1．
将问题转化为直线过圆心，从而得解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，属基础题．
14.【答案】excsx−exsinx
【解析】解：因为f(x)=excsx，
则f′(x)=excsx−exsinx．
故答案为：excsx−exsinx．
由已知结合函数的求导公式及求导法则即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
15.【答案】3+ 2
【解析】【分析】
本题考查抛物线定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键，属于中档题．
求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．
【解答】
解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，
设点M在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为xA−(−1)=2+1=3，
∵|AF|= (2−1)2+(1−0)2= 2，
∴△MAF周长的最小值为3+ 2，
故答案为：3+ 2．
16.【答案】(−∞,5)∪(9,+∞)
【解析】解：依题意当n=1时，b1=S1=a−5，
∴a1=1−4b1=1−4a−5．
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=n2−6n+a−[(n−1)2−6(n−1)+a]=2n−7
∴an=1−4bn=1−42n−7=2n−112n−7, (n≥2)，
∴a2=73,a3=5,a4=−3,a5=−13,a6=15，且n≥6时，an>0，
∴a3⋅a4<0，a5⋅a6<0，
要使数列{an}的变号数为2，则a1=1−4a−5>0，解得a>9或a<5，即a∈(−∞,5)∪(9,+∞)．
故答案为：(−∞,5)∪(9,+∞)．
根据bn=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，求出{bn}的通项公式，即可得到{an}的通项公式，再列出前几项，得到a1>0，即可求出参数的取值范围．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设点P(x,y)，
∵动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2，
∴|PA||PB|=2，即|PA|=2|PB|，
则 (x−1)2+y2=2 (x−4)2+y2，
化简得x2+y2−10x+21=0，
所以动点P的轨迹C的方程为(x−5)2+y2=4；
(2)由(1)可知点P的轨迹C是以(5,0)为圆心，2为半径的圆，
∵直线被曲线C截得的弦长为2 3，
∴圆心(5,0)到直线l的距离d= 4−3=1，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时圆心到直线l的距离是3，不符合条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y−2k+1=0，
所以圆心(5,0)到直线l的距离d=|3k+1| k2+1=1，
化简得9k2+6k+1=k2+1，解得k=0或k=−34，
此时直线l的方程为y=1或3x+4y−10=0．
综上，直线l的方程是y=1或3x+4y−10=0．
【解析】(1)直接利用条件求出点P的轨迹方程，结合圆的定义即可求解；
(2)直线l的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)依题意，Sn=2an−1，
当n=1时，a1=2a1−1，得a1=1；
当n≥2时，由Sn=2an−1，得Sn−1=2an−1−1，
两式作差可得：an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，an=2an−1(n≥2)，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
得an=2n−1，验证a1也符合．
∴an=2n−1；
(2)由(1)及bn=lg2an,n为奇数an,n为偶数，得bn=n−1,n为奇数2n−1,n为偶数，
∴T2n=(0+2+4+⋯+2n−2)+(2+23+⋯+22n−1)
=0+2n−22×n+2(1−4n)1−4
=23×4n+n2−n−23
=13×22n+1+n2−n−23．
【解析】(1)根据an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2求得an；
(2)根据分组求和法求得正确答案．
本题考查由数列递推式求通项公式，训练了等差数列与等比数列的前n项和公式的应用，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
又因为PA⊥底面ABCD，AD、AB⊂底面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，
所以PC=(1,2,−2)，AE=(0,1,1)，
所以PC⋅AE=1×0+2×1−2×1=0，所以PC⊥AE，即PC与AE所成角的大小为π2；
(2)由(1)知PC=(1,2,−2)，AC=(1,2,0)，AE=(0,1,1)，
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC=x+2y=0n⋅AE=y+z=0，
取y=1，则x=−2，z=−1，所以n=(−2,1,−1)是平面ACE的一个法向量，
设PC与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|PC⋅n||PC||n|=23× 6= 69，
所以PC与平面ACE所成角的正弦值为 69．
【解析】(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出PC、AE，利用PC⋅AE=0可得答案；
(2)求出平面ACE的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案．
本题考查异面直线所成角和直线与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x，
所以a=b，
又因为双曲线C的虚轴长为2 2，
所以2b=2 2，
所以b= 2，
所以a= 2，
所以双曲线C的方程为x22−y22=1．
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
此时直线l与双曲线C没有交点，不合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
联立y=kx+2x22−y22=1，得(1−k2)x2−4kx−6=0，
所以1−k2≠0且Δ=(−4k)2−4(1−k2)×(−6)>0，
所以− 3设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
所以x1+x2=4k1−k2，x1x2=−61−k2，
所以|MN|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2 (4k1−k2)2−4×−61−k2= 1+k2⋅ 24−8k2(1−k2)2，
点O到直线l的距离d=2 1+k2，
所以S△OMN=12|MN|d=12× 1+k2⋅ 24−8k2(1−k2)2×2 1+k2=2 2，
解得k=± 2
所以直线l的方程为y=± 2x+2．
【解析】(1)根据题意可得a=b，2b=2 2，解得a，b，即可得出答案．
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C没有交点，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，则Δ>0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则可得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|MN|，点到直线的距离公式可得点O到直线l的距离d，则S△OMN=12|MN|d=2 2，解得k，即可得出答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得，an=(1−4%)an−1+(1−an−1)×16%=0.96an−1+0.16−0.16an−1=0.8an−1+0.16=45an−1+425；
(2)由(1)知，an=45an−1+425(n≥2,n∈N*)，可变形为：an−45=45(an−1−45)，
∴数列{an−1−45}是以a1−45=1×(1−70%)−45=−12为首项，45为公比的等比数列．
∴an−45=−12⋅(45)n−1，故an=−12⋅(45)n−1+45；
(3)由(2)知，an=−12⋅(45)n−1+45，
令an=−12⋅(45)n−1+45>1×60%，即(45)n−1<0.4，∴n−1>lg4525，
∵lg4525=lg2−lg52lg2−lg5=lg2−(1−lg2)2lg2−(1−lg2)=2lg2−13lg2−1≈4.1，即n−1>4.1，∴n>5.1，
∵n∈N*，∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%；
综上，an=45an−1+425，an=−12⋅(45)n−1+45，至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
【解析】(1)由题意，列出第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an−1的关系，即可得到答案；
(2)利用递推数列，构造新数列{an−1−45}是首项为−12，公比为45的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可；
(3)由题意，列出不等关系，然后利用指数与对数的运算性质求解即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
22.【答案】(1)解：因为P为△ABC的重心，且边AC，AB上的两条中线长度之和为6，
所以|PB|+|PC|=23×3 6=2 6>|BC|，
故由椭圆的定义可知P的轨迹Γ是以B(−2,0)，C(2,0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，
且a= 6,c=2，所以b= 2，
所以P的轨迹Γ的方程为x26+y22=1(x≠± 6)．
(2)证明：①依题意，设直线DE方程为x=my+2(m≠0)．
联立x=my+2x26+y22=1，得(m2+3)y2+4my−2=0，
易知Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0
设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则y1+y2=−4mm2+3，y1⋅y2=−2m2+3．
因为DM⊥x轴，EN⊥x轴，
所以M(x1,0)，N(x2,0)．
所以直线DN：y=y1x1−x2(x−x2)，
直线EM：y=y2x2−x1(x−x1)，
联立解得xQ=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+2)y2+(my2+2)y1y1+y2=2+2my1y2y1+y2=3．
从而点Q在定直线x=3上．
②解：因为S△DEQ=12|EN|⋅|xQ−x1|=12|y2|⋅|3−x1|=12|y2(3−x1)|
=12|3y2−(my1+2)y2|=12|y2−my1y2|，
又my1y2y1+y2=12，则S△DEQ=12|y1−y1+y22|=14|y1−y2|=14 (y1−y2)2= 62 m2+1m2+3，
设 m2+1=t>1，则S△DEQ= 62⋅tt2+2= 62⋅1t+2t≤ 34，
当且仅当t=2t，即m=±1时，等号成立，
故△DEQ面积的最大值为 34．
【解析】(1)根据椭圆的定义求解即可；
(2)①求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值．
本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的综合问题，属于难题．