2022届高三二轮练习卷 数学（二十一）导数与切线方程 答案版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（二十一）导数与切线方程 答案版，共18页。试卷主要包含了切线方程的求解，曲线过点的切线方程是，已知函数，若函数与函数的图象存在公切线，，已知函数，等内容，欢迎下载使用。

1．切线方程的求解
1．已知，则曲线在点处的切线方程为_________．
【答案】
【解析】∵点在上，
又，，
∴曲线在处的切线方程为，即．
故答案为．
2．曲线过点的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得点不在曲线上，
设切点为，
因为，所以所求切线的斜率，
所以．
因为点是切点，所以，
所以，即．
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为，故选B．
3．已知函数（且）．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
又，∴，
∴所求切线方程为．
（2）由题意知，函数的定义域为，
由（1）知，
∴，易知，
①当时，令，得或；令，得．
②当时，，令，得；令，得或．
③当时，．
④当时，，令，得；令，得或．
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
2．已知切线方程求参数的取值范围
1．已知，直线与曲线相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为直线与曲线相切，
所以设切点为，则，
因为，所以，
则切线方程为，
因为过点，代入可得．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且，所以切点为，
则，故选B．
2．已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．
【答案】
【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值是，故答案为．
3．公切线问题
1．若曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则________．
【答案】或
【解析】因为，所以，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
设与相切于点，
因为，所以，
则，，可得，从而，
故答案为．
2．已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．
【答案】2
【解析】根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
直线是与的公切线，则，可得，
则或，
故直线的方程为或，
则与的公切线条数是2条，故答案为2．
3．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设切线与曲线相切于点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
联立可得，
由题意可得且，可得，
令，其中，则．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，．
且当时，，当时，，如下图所示：
由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得，
故选D．
4．若函数与函数的图象存在公切线，
则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
联立，可得，
所以，，整理可得，
由可得，解得，
令，其中，则，
令，则，函数在上单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，，且当时，，
所以，函数的值域为，故，故选A．
5．若存在斜率为的直线与曲线与都相切，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直线与、的切点分别为、，
因为，，
所以，，
因为直线与、都相切，所以，解得，
则两切点重合，即，，，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
因为时，，
所以，，
实数的取值范围为，故选A．
6．已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，
且，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，
故的极大值为，没有极小值．
（2）设直线分别切，的图象于点，，
由可得，得的方程为，
即；
由可得，
得的方程，即．
比较的方程，得，
消去，得．
令（），则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以在上有一个零点；
由，得，
所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
4．其他
1．若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系与有关
【答案】D
【解析】设切点为，则，
所以切线方程为，
因为点在切线上，所以，
即，
令，则，
令，得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值 ，
因为过点可以作曲线且的两条切线，
所以，即，
所以与的大小关系与有关，故选D．
2．已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是________．
【答案】或
【解析】由题得，设切点坐标为，
则切线方程为，
又切线过点，可得，
整理得，
因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且，
若，则，为两个重根，不成立，
即满足，解得或，
故的取值范围是或，
故答案为或．
3．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则，
又，
的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得，与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍），可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为，故选B．
4．如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为________．
【答案】
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，
又，在定义域上分别单调递增、单调递减，
所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，
设动点，，当且仅当满足时，
取得最小值，
由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：，，
所以，，所以的最小值为，
故答案为．
5．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_______．
【答案】
【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小值，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴．
故答案为．
6．（多选）若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】ACD
【解析】当时，，当时，满足条件；
当时，恒成立，不满足条件；
当，时，，当，满足条件；
当时，，函数单调递增，且，，所以存在，，满足条件，
故选ACD．
7．（多选）已知函数，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】∵函数，定义域为，
∴，
∴，当且仅当时，取等号，
要使的图象存在两条相互垂直的切线，则，，
所以的值必有一正一负，
当时，，不合题意，
当时，，不合题意，
当时，，则，，
例如，，
故的值可以是，
当时，，则，，
例如，，
故的值可以是，
所以的值可以是或，故选AB．