2023-2024学年吉林省吉林七中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林七中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是cm．( )
A. 4B. 9C. 4或9D. 不能确定
3.下列运算正确的( )
A. a3−a2=aB. a2⋅a3=a6C. (a3)2=a6D. (3a)3=9a3
4.将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=( )
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
5.如图，∠A=∠D，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEF，还应给出的条件是( )
A. ∠E=∠B
B. AF=CD
C. AB=EF
D. ED=BC
6.如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2−∠1=( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______．
8.已知2a=3，2b=5，2c=15，那么a、b、c之间满足的等量关系是______ ．
9.边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为______．
10.将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______ ．
11.如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，则AB+AC= ______ cm．
12.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，则B点的坐标是______．
13.两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=4，DO=1，平移距离为2，则阴影部分面积为______ ．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E，P为直线DE上一点．若BC=2，则△BCP周长的最小值为______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
分解因式：4x2−8xy+4y2．
16.(本小题5分)
先化简，再求值：(a+b)(a−b)+a(2b−a)，其中a=3，b=−2．
17.(本小题5分)
如图，∠A=∠D，∠ACB=∠DBC.求证：△ABC≌△DCB．
18.(本小题5分)
尺规作图：经过已知直线外一点作已知直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
(3)分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
(4)作直线CF，连接CD、CE、EF、DF．
根据以上作法直线CF就是所求作的垂线．
19.(本小题7分)
如图，已知△ABC的顶点分别为A(−2,2)，B(−4,5)，C(−5,1)．
(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)若点P(a,b)是△ABC内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是 ．
(3)在x轴上找一点P，使得AP+CP最小(画出图形，找到点P的位置)．
20.(本小题7分)
如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AC=BD，AE=BF．
(1)求证：DE=CF；
(2)若CD=DE，∠A=25°，求∠AEC的度数．
21.(本小题7分)
如图，有一块长为(3a+4b)米，宽为(2a+3b)米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将建成一座边长为(a+b)米的正方形水池．
(1)用含有a，b的式子表示绿化部分面积；(结果要化简)
(2)若a=5，b=3，求出此时的绿化总面积．
22.(本小题7分)
如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
(1)试说明：BE=BF；
(2)若△ABC的面积为81，AB=15，DE=6，则BC的长为______ ．
23.(本小题8分)
如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD.AD与BE交于点N，BM⊥AD于点M．
求证：(1)△ABE≌△CAD；
(2)MN=12BN．
24.(本小题8分)
从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．

(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______ ；
(2)若9x2−16y2=30，3x+4y=6，求4y−3x的值；
(3)(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−1992)(1−11002)．
25.(本小题10分)
(1)如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF；
(2)如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF；
(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△ABC的面积为27，直接写出△ACF与△BDE的面积之和．
26.(本小题10分)
在△ABC中，AB=17，BC=15，点D为边CB的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线BA上运动，点Q在边AC上，设点P运动时间为t秒.(t>0)
(1)用含t的代数式表示线段AP的长；
(2)当AC=BC，点P在线段BA上.若△BPD和△AQP全等，求t的值；
(3)当∠CAB=56°，△AQP为等腰三角形时，请直接写出∠APQ的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的定义(如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形)对四个选项进行分析．
本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
2.【答案】B
【解析】解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4<9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
所以三角形的第三边为9cm，
故选：B．
分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，再根据三角形三边关系定理确定答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，能够进行分类讨论是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、a3与a2不是同类项，不能直接合并，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、(a3)2=a6，计算正确，故本选项正确；
D、(3a)3=27a3，原式计算错误，故本选项错误；
故选：C．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则，分别进行各选项的判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
4.【答案】D
【解析】解：如图，由题意可知，∠2=45°，∠4=30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3=90°−∠2=45°，
∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°，
故选：D．
如图(见解析)，先根据三角板可得∠2=45°，∠4=30°，再根据角的和差可得∠3=45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项不符合题意；
B、由AF=CD，可得AC=DF，根据ASA判定两三角形全等，故本选项符合题意；
C、AB=EF，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
D、不是对应边相等，故本选项不符合题意．
故选：B．
判定△ABC≌△DEF已经具备的条件是∠A=∠D，∠1=∠2，再加上一角的对边对应相等，就可以利用ASA来判定三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形的全等首先要找出已经具备哪些已知条件，即相等的边或相等的角，根据三角形的判定方法判定缺少哪些条件．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠1=∠ACD，
∵∠2−∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠2−∠1=90°．
故选：C．
利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
7.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形的稳定性解答即可．
此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
8.【答案】a+b=c
【解析】解：∵2a=3，2b=5，2c=15，
∴2a×2b=3×5=15=2c，即2a+b=2c，
∴a+b=c，
故答案为：a+b=c．
根据同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案．
本题考查整式运算，涉及同底数幂的乘法运算等知识，熟练掌握整式运算法则是解决问题的关键．
9.【答案】70
【解析】解：根据题意得：a+b=7，ab=10，
则a2b+ab2=ab(a+b)=70．
故答案为70．
先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
10.【答案】30°
【解析】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.【答案】12
【解析】解：∵l是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+AD+BD=12cm，
∴AB+AD+DC=12cm，
∴AB+AC=12cm，
故答案为：12．
根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC，然后根据三角形的周长可得AB+AD+BD=12cm，从而可得AB+AD+DC=12cm，进而可得AB+AC=12cm，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
12.【答案】(1,4)
【解析】解：如图，过A和B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，
∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，
∴CD=OD−OC=4，OE=CE−OC=3−2=1，
∴BE=4，
∴则B点的坐标是(1,4)，
故答案为：(1,4)．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线证明全等三角形．
过A和B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
13.【答案】7
【解析】解：由平移的性质知，BE=2，DE=AB=4，
∴OE=DE−DO=4−1=3，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+OE)⋅BE=12(4+3)×2=7．
故答案为：7．
根据平移的性质得出BE=2，DE=AB=4，则OE=3，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求△BCP周长的最小值为AB+BC=6．
【解答】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴A点与C点关于DE对称，
∴PC=PA，
∵PC+PB=PA+PB≥AB，
∴当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，
∵BC=2，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴△BCP周长的最小值为AB+BC=6，
∴△BCP周长的最小值为6，
故答案为6．
15.【答案】解：4x2−8xy+4y2
=4(x2−2xy+y2)
=4(x−y)2．
【解析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
16.【答案】解：(a+b)(a−b)+a(2b−a)
=a2−b2+2ab−a2
=−b2+2ab，
∵a=3，b=−2，
原式=−(−2)2+2×3×(−2)
=−4−12
=−16．
【解析】先按照平方差公式及单项式乘以多项式的运算法则展开化简，再将a=3，b=−2代入计算即可．
本题考查了整式的混合运算--化简求值，解题的关键是掌握整式是混合运算法则．
17.【答案】证明：在△ABC和△DCB中，
∠A=∠D∠ACB=∠DBCBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(AAS)．
【解析】根据AAS可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
18.【答案】解：由作法得CD=CE，FD=FE，
∴点C和点F都在DE的垂直平分线上，
即CF垂直平分DE，
∴CF为AB的垂线．
【解析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行解释．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知线段的垂直平分线).也考查了线段垂直平分线的性质定理逆定理．
19.【答案】(−a,b)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(−4,−5)；
(2)点P关于y轴对称的点的坐标是(−a,b)，
故答案为：(−a,b)；
(3)如图所示，点P即为所求．
(1)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)根据关于y轴对称点的坐标特点求解即可；
(3)连接A1C，与x轴的交点即为所求．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
20.【答案】(1)证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE=∠BCF=90°，
∵AC=BD，
∴AD=BC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
AD=BCAE=BF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)，
∴DE=CF．
(2)解：∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∵∠A=25°，
∴∠AEC=∠DCE−∠A=45°−25°=20°．
∴∠AEC的度数为20°．
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠ADE=∠BCF=90°，根据HL证明△ADE≌△BCF，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
(2)由等腰三角形的性质得出∠DCE=∠DEC=45°，然后由三角形外角的性质得出答案．
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识点．解题的关键是证明△ADE≌△BCF．
21.【答案】解：(1)长方形地块的面积=(3a+4b)(2a+3b)
=(6a2+17ab+12b2)平方米，
正方形的面积为：(a+b)2=(a2+2ab+b2)平方米，
则绿化面积S=(6a2+17ab+12b2)−(a2+2ab+b2)
=(5a2+15ab+11b2)平方米；
(2)∵a=5，b=3，
∴绿化总面积S=5a2+15ab+11b2
=5×52+15×5×3+11×32
=449(平方米)．
【解析】(1)绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积；
(2)将a=5，b=3代入求解．
本题主要考查了整式的乘法运算的应用，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
22.【答案】12
【解析】(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠BED=∠BFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
BD=BDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL)，
∴BE=BF；
(2)解：由(1)得：DE=DF=6，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD=81，
∴12AB×DE+12BC×DF=81，
∵AB=15，
∴12×15×6+12×BC×6=81，
∴BC=12．
(1)根据“HL”证明△BDE≌△BDF即可解决问题．
(2)利用S△ABC=S△ABD+S△BCD，构建方程即可解决问题．
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、面积法求线段长度，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)；
(2)∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴MN=12BN．
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得，AB=AC，∠BAE=∠C，然后利用SAS即可证得；
(2)根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质求得∠BNM=60°，然后根据直角三角形的30度角的性质即可证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，记住直角三角形的30度角的性质．
24.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：(1)上述过程所揭示的乘法公式是a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
(2)9x2−16y2=30，
∴(3x+4y)(3x−4y)=30，
∵3x+4y=6，
∴3x−4y=5，
∴4y−3x=−5；
(3)(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−1992)(1−11002)
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)⋅⋅⋅(1−199)(1+199)(1−1100)(1+1100)
=12×32×23×43×34×54×⋅⋅⋅×9899×10099×99100×101100
=12×101100
=101200．
(1)根据图形面积相等即可求解；
(2)根据平方差公式进行计算即可求解；
(3)根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了平方差公式与几何图形面积，掌握平方差公式是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAFAB=AC，
∴△ABD≌△CAF(AAS)；
(2)证明：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAF+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠ACF，
∴△ABE≌△CAF(ASA)；
(3)解：∵△ABC的面积为27，CD=2BD，
∴S△ABD=13S△ABC=9，
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAF+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠ACF，
∴△ABE≌△CAF(ASA)，
∴S△ABE=S△CAF，
∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=9．
【解析】(1)根据AAS证明三角形全等即可；
(2)根据ASA证明三角形全等即可；
(3)根据△ABC的面积为27，CD=2BD，得出S△ABD=13S△ABC=9，证明△ABE≌△CAF(ASA)，得出S△ABE=S△CAF，根据S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=9即可求出结果．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，余角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
26.【答案】解：(1)设点P运动时间为t秒，
∴BP=2t，
当0当t>8.5时，AP=2t−17；
(2)∵AC=BC，∴∠B=∠A，
由题意得BP=2t，AP=17−2t，
当△BPD≌△APQ时，BP=AP，BD=AQ，
可得：2t=17−2t，
解得：t=174，
当△BPD≌△AQP时，BP=AQ，BD=AP，
可得：152=17−2t，
解得：t=194，
综上所述，若△BPD和△CQP全等，则t的值为174或194；
(3)∵∠CAB=56°，△AQP为等腰三角形时，
当AP=AQ时，点P在点A左侧时，

∠APQ=180°−∠CPA2=180°−56°2=62°，
当AP=AQ，点P在点A右侧时，

∠APQ=180°−(180°−∠CAB)2=180°−124°2=28°，
当AP=PQ时，

∠APQ=180°−2∠CAB2=180°−2×56°2=34°，
当AQ=PQ时，

∠APQ=∠CAB=56°
∠APQ的度数为28°或56°或62°或34°．
【解析】(1)由图可知AP=AB−BP，求出线段BP即可；
(2)由△BPD和△AQP全等，可得AP=BP或AP=BD，BP=AQ两种情况，列出关于t的方程即可求解；
(3)由△AQP为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解．
本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键．