四川省达州市渠县第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份四川省达州市渠县第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案写在相应的位置上)
1．下列说法中正确的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
2．一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其主视图为（ ）
A．B．C．D．
3．已知反比例函数图象上有三点，，，且，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．B．4C．D．
5．在一个不透明的布袋中装有30个白球和若干黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能是（ ）
A．15B．20C．25D．30
6．在中，已知，则下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点，，C在上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．若，则 ．
12．学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
15．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ．
三、解答题（共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
(1)用配方法解方程：；
(2)用公式法解方程：．
17．中国共产党第二十次全国代表大会于10月16日至22日在北京举行，这是一次具有里程碑意义的大会，必将对中国和世界产生深远影响．某校积极组织学生学习二十大相关会议精神，并组织了二十大知识问答赛，将比赛结果分为A，B，C，D四个等级，根据如下不完整的统计图解答下列问题：
(1)求该校参加知识问答赛中C等级的学生人数，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中C级所对应的圆心角的度数；
(3)已知结果为A等级的这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，现准备从这4人中随机抽取两名同学参加二十大宣讲，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将绕点O顺时针旋转得到，请画出，并求出点C经过的路径长；
(2)以A为位似中心画，使它与相似，相似比为，并直接写出的坐标．
19．如图，在与中，已知，，，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
20．如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的面积等于，求的长
21．如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．

(1)求的长；
(2)求点E到地面的高度的长．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
23．我市某著名旅游“网红打卡地”景区在2021年国庆长假期间，共接待游客达26万人次，预计在2023年国庆长假期间，将接待游客达万人次．
(1)求该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率；
(2)该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件．2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润？
24．如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
25．在矩形中，，．分别以，边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)如图1，将沿对角线翻折，交于点P，求点P的坐标；
(2)如图2，已知H是上一点，且，于点，求四边形的面积；
(3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定；运用矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定可求解．
【详解】解：A、有一组对边平行的四边形是平行四边形不一定是平行四边形（如梯形），故该选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故该选项错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项错误；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其主视图左边是一个矩形，右边是一个正方形．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．先配方根据偶次方的非负性可得，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限；在每一象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，
即，
故选：D．
4．D
【分析】此题考查了一元二次方程的根的定义，熟记定义是解题的关键．将代入求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程即可求解．
【详解】解：设袋中有黑球x个，
由题意得：
，
解得：，
经检验：是方程的解；
则，布袋中黑球的个数可能有20个．
故选：B．
6．B
【分析】由∠1＝∠A+∠C，∠1＝∠A+∠ANM，易证得MN∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得答案，注意排除法的应用．
【详解】∵∠1＝∠A+∠C，∠1＝∠A+∠ANM，∴∠ANM＝∠C，∴MN∥BC，∴，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与平行线的判定．此题难度不大，解题的关键是注意比例线段的对应关系．
7．B
【分析】本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵点，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为，
∵与位似，位似比为2：1，
∴点坐标为 ，即点坐标为，
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，取的中点H，连接，
∵是的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．

9．A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【详解】解：设点，
则,
∵，
∴，
∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
故选：．
10．A
【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断①正确；根据30度的直角三角形的性质判断②正确；证明是等边三角形，根据菱形的判定定理可判断③正确；设，分别求得和，即可判断④正确．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∵将沿翻折，点C恰好与点O重合，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A
11．##
【分析】本题考查比例的性质，先得出，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．##
【分析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
13．且
【分析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出m的范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
14．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，
∴k＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
15．
【分析】连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，证明，可得，由条件可得，根据，即可得出的最小值．
【详解】解：连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形中，，O是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，以及三角形三条边的关系．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．
（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）利用求根公式来解方程．
【详解】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
∴，
∴，；
（2）解：，
，，，，
∴，
∴，．
17．(1)C级人数为12人，补全条形统计图见解析；
(2)
(3)
【分析】本题考查了统计和随机抽样的概率．根据题意求出总人数、正确画出树状图并按照公式求解是解题的关键．
（1）根据A在频数统计图数据除以扇形统计图中的数据可求得总人数，再求出C级人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以C的总人数所占的比例即可；
（3）画树状图，求出所有可能和符合条件数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：总人数为：（人）；
C级人数为：（人），
补全条形统计图如图：
；
（2）解：C级所对应的圆心角的度数为：
；
（3）解：画树状图如下：
从四人中随机抽取两名同学共有种可能，
恰好抽到的2名学生来自不同年级的有10种可能，
恰好抽到的2名学生来自不同年级的概率为：．
18．(1)见解析；点经过的路径长为
(2)作图见解析；的坐标为或
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点、、的位置，即可得到，然后求出，再利用弧长公式即可求出点经过的路径长；
（2）直接利用位似图形的性质作出，即可得出的坐标．
【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示：
由勾股定理得：，
则点经过的路径长为：；
（2）解：如图，当在点A的上方时，即为所求，此时的坐标为：．
如图，当在点A的下方时，即为所求，此时的坐标为：．
【点睛】此题主要考查了旋转变换、位似变换、勾股定理以及弧长公式的应用，正确得出对应点位置是解题关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
（1）由题意可知，又，从而证明结论；
（2）过A作于G，则是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而解决问题．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）过A作于G，
由（1）知，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由于知道了垂直平分，因此只要证出四边形是平行四边形即可得出是菱形的结论．
（2）利用菱形的面积公式求得的长，根据勾股定理得出的长，证明，进而利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：是对角线的垂直平分线，
，，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：∵，菱形的面积等于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理．解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在实际问题中抽象出相似三角形模型是解答本题的关键．
（1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定证明，，再利用三角形相似性质列出比例式，得到方程，即可求出答案；
（2）由可证，然后利用三角形相似的性质列出比例式，得到方程，即可求出答案．
【详解】（1）光在镜面反射中的反射角等于入射角，
，
，
，
，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）由题意可得：，
，
，
，
解得：，
答：点到地面的高度的长为．
22．（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
23．(1)该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为；
(2)当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额．
【分析】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用．
（1）设年平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每件售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为；
（2）解：设当每件售价定为元时，店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵让顾客获得最大优惠，
∴．
答：当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)或3
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得证；
（2）先证明和是等腰直角三角形，可得，证明，即可得证；
（3）连接，由全等的性质及等腰三角形的性质可得，设，则，，分两种情况讨论：①当时，②当时，在中，利用勾股定理，建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
四边形中，，
A、H、E、D共圆，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，，
，，
，
，
，
设，则，，
正方形的边长为6，点是线段的三等分点，
①当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
②当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
当点是线段的三等分点时，的长为或3．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)存在，或或
【分析】（1）先推出是等腰三角形，进而设，在中列方程可得；
（2）因为四边形的面积等于矩形的面积减去三角形和直角三角形的面积，所以根据，求得的面积即可；
（3）先根据，求得，进而得出点坐标，从而求出的函数关系式，设出点坐标，当是等腰三角形时，以、、、为顶点的四边形可以是菱形，因为在轴上方，所以分为和，三种情形，当时，可根据它列出方程，当时，可先判断得和点纵坐标，进而求得结果，当时，求得结果．
【详解】（1）解：如图1，
四边形是矩形，
，，∥，
，
，
，
，
设，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
；
（2）解：如图2，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的解析式是：，
，
，
，
设，
当时，
，
解之得，，（舍去），
当时，，
，
，
当时，
此时垂直平分，
，
，
，
，
当时，
，
，
，，
（舍去），，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理得运用，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识和基本方法．