2024年吉林省初中学业水平考试一模数学试题

这是一份2024年吉林省初中学业水平考试一模数学试题，共20页。

注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单选题(共6小题,每小题2分,满分12分)
1.−3的相反数是( )
A.3B.13C.−3D.−13
2.从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为( )
A.9×108B.9×109C.9×1010D.9×1011
3.如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( ).
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A.B.C.D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A.a2·a3=a6B.(3a)2=6a2
C.a6÷a3=a2D.3a2−a2=2a2
5.如图，在△ABC中，DE//BC，DE=2，BC=5，则S△ADE∶S△ABC的值是( )
‍
A.325B.425C.25D.35
6.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB⏜上的点C处，图中阴影部分的面积为( )
‍
A.3π−33B.3π−932C.2π−33D.6π−932
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
7.|−2023|= ．
8.不等式2x−1>5的解集为 ．
9.若◻÷(−2)=4，则“◻”内应填的数是 ．
10.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是 ．
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11.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 ．
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12.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺(1丈=10尺)，则木杆(从墙上)滑落至地上.问木杆是多长？设木杆长为x尺,根据题意，可列方程为 .
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13.如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB=30∘，则BC⌢的长为 ．
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14.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C′、D′处，若∠AFE=65∘，则∠C′EB= 度．
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三、解答题(每小题5分，共20分)
15. 以下是某同学化筒分式(x+1x2−4−1x+2)÷3x−2的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
16. 甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
17.如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF
(1)求证：∠ACB=∠DFE；
(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
18.某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
(1)请问A，B两种苗木各多少株？
(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19.如图,已知点O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,−1),(2,1)．
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(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2),得到△OB′C′,画出图形；
(2)分别写出B,C两点的对应点B′,C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出点M的对应点M′的坐标．
20.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10∘C，待加热到100∘C，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y(∘C)和通电时间x(min)成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20∘C，接通电源后，水温y(∘C)和通电时间x(min)之间的函数关系如图所示，回答下列问题：
‍
(1)分别求出当0≤x≤8和8(2)求出图中a的值；
(3)李老师这天早上7:30将饮水机电源打开，若他想在8:10上课前喝到不低于40∘C的开水，则他需要在什么时间段内接水？
21.如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30∘方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15∘的方向航行．
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(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？
(2)渔船到达距离小岛B最近的点后，按原航向继续航行206nmile到达点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
22.宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析.下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9.
乙品种：如图所示:
‍
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：a= ，b= ；
(2)若乙品种种植300棵，估计其产量不低于3.16kg的棵数；
(3)请从某一个方面简要说明哪个品种更好.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23.为加快乡村振兴建设步伐，某村需开挖两段河渠，现由甲、乙两个工程队分别同时开挖这两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘天数之间的关系如图所示.请根据图像所提供的信息解答下列问题：
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(1)甲队开挖到400m时，用了 天，开挖6天时，甲队比乙队少挖了 m.
(2)请你求出：
①甲队在2≤x≤6的时间段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在0≤x≤6的时间段内，y与x之间的函数关系式；
③当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相差100m？
24.在▱ABCD中，∠C=45∘，AD=BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.
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(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+2DP=DE；
(3)点P在射线CD上运动，若AD=32，AP=5，请直接写出线段BE的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25.已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB//CD，CD>AB，点C在EB上，∠ABC=∠EBF=90∘，AB=BE=8 cm，BC=BF=6 cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t(s)(0‍
解答下列问题：
(1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
(2)连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
(3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S( cm2)，求S与t的函数关系式；
(4)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26.如图，抛物线y=ax2+bx−3过A(1,0),B(−3,0)，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为−2，点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合)．
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(1)求直线AD及抛物线的解析式．
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单选题(共6小题,每小题2分,满分12分)
1.【答案】A
【解析】∵互为相反数相加等于0，
‍∴−3的相反数是3
故选：A.
2.【答案】B
【解析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．
解：9000000000=9×109.
故选：B．
3.【答案】A
【解析】由题意可得：该几何体的主视图为
‍
故选A．
4.【答案】D
【解析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键．
利用同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项法则解出答案．
解：a2·a3=a2×3=a5，故A错误；
‍(3a)2=32a2=9a2，故B错误；
‍a6÷a3=a6−3=a3，故C错误；
‍3a2−a2=(3−1)a2=2a2，故D正确．
故本题选：D．
5.【答案】B
【解析】∵DE//BC，
‍∴△ADE∽△ABC.
‍∵DE=2，BC=5，
‍∴S△ADE∶S△ABC=(DEBC)2=425.
故选B．
6.【答案】B
【解析】依题意：△ACB≌△AOB，AO=BO=3，
‍∴AC=BC=AO=BO=3，
‍∴四边形OACB是菱形，
‍∴AB⊥CO，
连接OC，
‍
∵OC=OB=3，
‍∴OC=OB=BC=3，
‍∴△OBC是等边三角形，
同理：△OAC是等边三角形，
故∠AOB=120∘，
由三线合一，在Rt△OBD中：∠OBD=12∠OBC=30∘，OD=12OB=32，
‍BD=3OD=323，
∵S菱形OACB=12×2BD×2OD
‍=12×2×332×2×32
‍=932，
‍S扇形OAB=120×π×32360=3π，
∴S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB=3π−932.
故选：B.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
7.【答案】2023
【解析】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
‍−2023的相反数是2023，
故|−2023|=2023，
故答案为：2023．
8.【答案】x>3
9.【答案】−8
10.【答案】垂线段最短
11.【答案】3
【解析】过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3．
故答案为：3．

12.【答案】102+(x−1)2=x2
【解析】如图，
‍
设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有(x−1)尺.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2，
‍∴102+(x−1)2=x2.
故答案为102+(x−1)2=x2.
13.【答案】2π
【解析】由圆周角定理,得∠AOB=2∠ADB=60∘,
‍∴∠BOC=180∘−60∘=120∘,
‍∴BC⌢的长=120·π·3180=2π.
14.【答案】50
【解析】利用矩形ABCD可知，AD/\/BC，所以∠FEC=∠AFE=65∘，又因为沿EF折叠，根据折叠的性质可知∠C′EB的度数．
解：∵AD/\/BC
∴∠FEC=∠AFE=65∘
又∵沿EF折叠，
∴∠C′EF=∠FEC=65∘，
∴∠C′EB=180∘−65∘−65∘=50∘．
故答案为：50∘．
本题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是掌握折叠前后图形的对应边和对应角相等，另外要熟练运用平行线的性质，难度一般．
15.【答案】(1)③
(2)解：原式＝[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23=x+1−x+2(x+2)(x−2)×x−23=3(x+2)(x−2)×x−23=1x+2
【解析】(1)第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；
(2)本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
16.【答案】解：由题意可得如下树状图：
‍
‍∴甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为P=28=14．
【解析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
根据树状图可进行求解概率．
17.【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；
(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．
【解析】(1)证△ABC≌△DEF(SSS)，再由全等三角形的性质即可得出结论；
(2)由(1)可知，∠ACB=∠DFE，则BC//EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
18.【答案】(1)解：设A种苗木的数量是x棵，则B种苗木的数量是y棵，根据题意，得x+y=6000，x=12y+600，解得{x=2400,y=3600.答：A种苗木的数量是2400棵，B种苗木的数量是3600棵.
(2)设安排a人种植A种苗木，则安排(350−a)人种植B种苗木，根据题意，得240050a=360030(350−a)，解得a=100，经检验，a=100是原方程的解，∴350−a=250，答：安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19.【答案】(1)解：延长BO，CO到点B′，C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC长度的2倍，顺次连接三点即可．如图．
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(2)B′(−6，2)，C′(−4，−2)
(3)点M的对应点M′的坐标为(−2x，−2y)
20.【答案】(1)解：当0≤x≤8时，设y=k1x+b(k1≠0)，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y=k1x+b(k1≠0)，得{b=20，8k1+b=100，解得{k1=10，b=20,∴当0≤x≤8时，y=10x+20.当8(2)将y=20代入y=800x，解得x=40，即a=40.
(3)∵当y=40时，x=80040=20，∴要想喝到不低于40∘C的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7:38到7:50之间接水.
21.【答案】(1)解：过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM=45∘，
则∠ABM=45∘，
在Rt△ABM中，∵∠BAM=45∘，AB=40nmile，
∴BM=AM=22AB=202(nmile)，
∴渔船航行202nmile距离小岛B最近．
(2)∵BM=202nmile，MC=206nmile，
∴tan∠MBC=MCBM=206202=3，
∴∠MBC=60∘，
∴∠CBG=180∘−60∘−45∘−30∘=45∘，
在Rt△BCM中，∵∠CBM=60∘，BM=202nmile，
∴BC=BMcs60∘=2BM=402(nmile)，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45∘的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是402nmile．
22.【答案】(1)3.2；3.5
(2)解：300×610=180(棵).答：估计其产量不低于3.16kg的大约有180棵.
(3)∵甲品种产量的方差为0.29，乙品种产量的方差为0.15，且0.29>0.15，
∴乙品种更好，产量稳定.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23.【答案】(1)2；200
(2)①设甲队在2≤x≤6的时间段内，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).∵点(2，400)，(6，700)在该函数图像上，∴2k+b=400，6k+b=700， 解得k=75，b=250，即甲队在2≤x≤6的时间段内，y与x之间的函数关系式为y=75x+250.②设乙队在0≤x≤6的时间段内，y与x之间的函数关系式为y=ax(a≠0).∵点(6，900)在该函数图像上，∴6a=900，解得a=150，即乙队在0≤x≤6的时间段内，y与x之间的函数关系式为y=150x.③当x=2时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相差400−150×2=100(m)；当x>2时，|150x−(75x+250)|=100，解得x=423(x=2不合题意，舍去).答：当x为2或423时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相差100m.
【答案】(1)解：连接BP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∵AD=BD，∴BC=BD，∴∠BDC=∠C=45∘，∴△BDC是等腰直角三角形，∵点P为CD的中点，∴DP=BP，∠BCP=∠CBP=45°，∴∠ADP=∠PBE=135∘，
∵PA⊥PE，∴∠APE=∠DPB=90∘，∴∠APD=∠BPE，∴△ADP≌△EBP(ASA)，∴PA=PE；
(2)证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF=∠APE=90∘，∴∠DPA=∠FPE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠DAB=45∘，AB//CD，又∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=∠C=∠CDB=45∘，∴∠ADB=∠DBC=90∘，∴∠PFD=45∘，∴∠PFD=∠PDF，∴PD=PF，∴∠PDA=∠PFE=135∘，∴△ADP≌△EFP(ASA)，∴AD=EF，在Rt△FDP中，∠PDF=45∘，∠DPF=90°，∴DF=2DP，∵DE=DF+EF，∴DA+2DP=DE；
(3)当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
则△ADG是等腰直角三角形，∴AG=DG=3，∴GP=4，∴PD=1，由(2)得，DA+2DP=DE；∴32+2=DE，∴DE=42，∴BE=DE−BD=42−32=2，当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
同理可得△ADP≌△EFP，∴AD=EF，∵PD=PG+DG=4+3=7，∴DF=2PD=72，∴BE=BD+DF−EF=DF=72，综上：BE的长为2或72
【解析】(1)连接BD，可知△BDC是等腰直角三角形，再证明△ADP≌△EBP(ASA)，得PA=PE；
(2)过点P作PF⊥CD交DE于点F，首先证明△ADP≌△EFP(ASA)，得AD=EF，再证明△DPF是等腰直角三角形，可得结论；
(3)分点P在线段CD和CD的延长线上两种情形，分别画出图形，利用△ADP≌△EFP，得AD=EF，从而解决问题．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25.【答案】(1)解：当t=32时，点M在线段CQ的垂直平分线上，理由为：由题意，CE=2，CM/\/BF，∴CMBF=CEBE，即：CM6=28，解得：CM=32，要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需QM=CM=32，∴t=32；
(2)如图，
∵∠ABC=∠EBF=90∘，AB=BE=8，BC=BF=6，∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=BCAC=35，cs∠PAH=ABAC=45，sin∠EFB=BEEF=45，在Rt△APH中，AP=2t，∴PH=AP·sin∠PAH=65t，在Rt△ECM中，CE=2,CM=32,由勾股定理得：EM=52，在Rt△QNF中，QF=10−t−52=152−t，∴QN=QF·sin∠EFB=(152−t)×45=6−45t， 四边形PQNH为矩形，∴PH=QN，∴65t=6−45t，解得：t=3；
(3)如图，过Q作QN⊥AF于N，由（2）中知QN=6−45t，AH=AP·cs∠PAH=85t，∴BH=GC=8−85t，∴GM=GC+CM=8−85t+32=192−85t，HF=HB+BF=14−85t，∴S=S梯形GHFM−S△QHF−S△CMQ=12·(GM+HF)×6−12·HF·QN−12·CM·(6−QN)=12·(192−85t+14−85t)×6−12·(14−85t)·(6−45t)−12·32·(6−6+45t)=−1625t2+15t+572，∴S与t的函数关系式为：S=−1625t2+15t+572；
(4)存在，t=72．证明：如图，延长AC交EF于T，∵AB=BF,BC=BF, ∠ABC=∠EBF=90∘，∴△ABC≌△EBF，∴∠BAC=∠BEF，∵∠EFB+∠BEF=90º，∴∠BAC+∠EFB=90º，∴∠ATE=90º即PT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PH=PT，在Rt△ECM中，CE=2，sin∠BEF=CTCE=BFEF=35，CT=CE·sin∠BEF =65，PT=10+65−2t=565−2t，又PH=65t，65t=565−2t，解得：t=72．
【解析】(1)要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；
(2)由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；
(3)分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；
(4)延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
26.【答案】(1)∵抛物线y=ax2+bx−3过A(1,0),B(−3,0)， ∴{a+b−3=0,9a−3b−3=0,解得{a=1,b=2, ∴该抛物线的解析式为：y=x2+2x−3. 当x=−2时，y=(−2)2+2×(−2)−3=−3， ∴D(−2,−3)． 设直线AD的解析式为y=kx+t， ∴{k+t=0,−2k+t=−3, 解得{k=1,t=−1, ∴直线AD的解析式为y=x−1.
(2)由题意得： P(m,m−1)，Q(m,m2+2m−3)，−2(3)以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形，可分如下情况讨论： 分类一：PD是平行四边形的对角线． 此时PQ∥RD且PQ=RD，点R在点D上方． ∵D(−2,−3)，要使R为整点， ∴线段RD长必须是整数． 又∵PQ=RD， ∴线段PQ长必须是整数． 由(2)知：PQ=−m2−m+2=−(m+12)2+94，−2解：原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23①
‍=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23②
‍=x+1−x−2(x+2)(x−2)×x−23③
‍…
解：

平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
a
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
b
0.15