阶段性检测2.2（中）（范围：集合至复数）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】集合为不等式的解集，集合为函数的定义域，分别求解即可.
【详解】由解得，
函数，由得，.
所以.
故选：A.
2．已知非零复数满足，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设复数，代入中化简，再利用复数相等的条件列方程组可求出，从而可求出复数，进而可求出的共轭复数
【详解】设复数，由，得
，化简得，
所以，解得（舍去），或，
所以，则，
故选：A
3．如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可.
【详解】因为平行四边形中，是的中点，，，
所以
.
故选：D．
4．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．牛奶的温度降至还需
D．牛奶的温度降至还需
【答案】D
【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可.
【详解】由，得，
故，AB错误；
又由，，得，
故牛奶的温度从降至需，
从降至还需.
故选：D
5．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求.
【详解】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，
所以，则，
所以，故.
故选：A
6．若：，则成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别解一元二次不等式、对数式不等式、指数式不等式、分式不等式即可判断充分性与必要性，即可得答案.
【详解】对于A，由可得，解得，所以“”是成立的一个既不充分也不必要条件，故A不符合；
对于B，可得，则，解得，所以“”成立的一个充分不必要条件，故B符合；
对于C，可得，则，解得，所以“”是成立的一个必要不充分条件，故C不符合；
对于D，由可解得或，故“”是成立的一个既不充分也不必要条件，故D不符合.
故选：B.
7．已知二次函数的两个零点为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】由，，得，，由，
由，解得，
．
，
故选：D
【点睛】关键点睛：根据已知不等式得到是解题的关键.
8．设，，，下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，，，设，分构造函数和函数，利用其单调性比较.
【详解】解：因为，，，
设，则构造函数，有，则单调递增，且，所以；
再构造函数，有，则单调递增，且，所以，
综上：．
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知为虚数单位，则（ ）
A．若复数的共轭复数为，则
B．若，则的充要条件是
C．若复数，则，
D．若复数，则
【答案】ACD
【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断B；由实数的运算性质判断C；由复数的四则运算及复数模公式判断D.
【详解】设，则，，故A正确；
由，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误；
复数，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则，，故C正确；
，则，故D正确.
故选：ACD．
10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象
【答案】AB
【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.
【详解】由题意可知，又，
故，
对于A项，，由诱导公式知，即函数为奇函数，故A正确；
对于B项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上单调递增，故B正确；
对于C项，易知，若，则与一个取得最大值，一个取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C错误；
对于D项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D错误.
故选：AB.
11．在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】在中，，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，
因为为内任意一点（含边界），且，设点，
，，
所以，，
为锐角，且，
因为，则，
由可得，由得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又因为，，则，
故选：BCD.
12．已知函数，的定义域均为R，且满足，，，则（ ）
A．4为的周期
B．为奇函数
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据函数的对称性，周期性判断A，根据与的关系及周期性判断B，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.
【详解】对于A，因为，所以的对称中心为，
因为，所以，又，
所以，所以，即，
所以，即的周期为4，
又，所以的周期也为4，故A正确；
对于B，因为，所以，
又由A知周期为4，即，所以，为偶函数，故B错误；
对于C，由对称中心为，得，
又因为直线为对称轴，所以，所以关于点对称，
所以和关于点对称，
所以，所以，
所以，故C错误；
对于D，由C得，因为，
所以，，，，
所以
，
又因为的周期为4，
所以，故D正确.
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列三个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
③甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【分析】根据图形及两点的斜率公式即可求解.
【详解】表示两点，连线斜率的相反数，
因此斜率越大，污水治理能力越弱．
由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，②正确；
甲企业在，，这三段时间中，在时对应的两点连线的斜率最小，因此在的污水治理能力最强，故③错误．
故答案为：①②.
14．已知函数在上单调递减，对任意，均有，记，，则函数的最小值为 ．
【答案】3
【分析】利用赋值法，函数的单调性以及基本不等式的性质求解即可.
【详解】设，则，
又，
∴，
∵在上单调递减，
∴，
得，
得，
得或（不合题意），
∴．
当且仅当时“=”成立．
故答案为：3.
15．设，，且，则 .
【答案】
【分析】对式子变形得，，再根据同角三角函数基本关系及两角和正弦公式求得，从而求出角.
【详解】由已知配方得，
解得，，又，，所以，，
所以，，所以.
故答案为：
16．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则 ； ．
【答案】 42
【分析】根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解.
【详解】根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知函数，，．
(1)若图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值；
(2)若在上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知．求、的值．
条件①：
条件②：是的一个零点；
条件③：
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据周期求出；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及零点可求出，从而求出的值，把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，从而求出，得到的值，同理求出的值．
【详解】（1）因为
，
又图象的相邻两条对称轴之间的距离为，，
即最小正周期，解得.
（2）由（1）可得，则，
若选条件①：，又，且在上单调递增，
所以在上单调递增，与在上单调递增矛盾，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：是的一个零点，又在上单调递增，且，
所以，则，解得，
所以，又，，解得，，
因为，所以，经检验符合题意，即、；
若选条件③：，又在上单调递增，且，
所以，
所以，则，解得，
所以，又，，解得，，
因为，所以，经检验符合题意，即、；
18．为虚数单位
(1)已知复数，求的虚部.
(2)在复数范围内解方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果；
（2）设，则，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数.
【详解】（1）解：，故的虚部为.
（2）解：设，则，
由可得，所以，，解得，
因此，或.
19．北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位：）是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为．
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：，．
【答案】(1)最大速度约为
(2)74
【分析】（1）由，代入已知公式计算；
（2）根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）当总质比为200时，，
∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为．
（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比变为，
要使火箭的最大速度至少增加，则需，
化简得，，
∴，整理得，∴，则，
由参考数据，知，
∴，
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74．
20．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；
（2）先利用余弦定理求得，进而可求面积；
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解.
【详解】（1）因为，
且，则，可得，
整理得，所以.
（2）由余弦定理，即，
解得或（舍去），
所以的面积.
（3）由正弦定理，可得，
则
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，
则，
所以的取值范围为.
21．在中，，，，.
(1)用向量和向量分别表示向量，；
(2)若，且角为直角，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据条件，结合向量加减法法则即可求解；
（2）根据、角是直角即可求解的值.
【详解】（1）
；
；
（2）由题意可知，，
，
因角是直角，则，
，化简为，
此时，
综上，的值是.
22．已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有三个根，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）求导，再分，，讨论求解；
（2）由方程有三个根，转化为有三个根，进而利用数形结合法，由与函数的图象有三个交点求解.
【详解】（1）解：由题意得函数的定义域为，
，
当时，，即在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在上单调递减，在和上单调递增；
当时，由得或，由得，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
（2）方程有三个根，即有三个根，
有三个根，显然不是方程的根，
则有三个根，即与函数的图象有三个交点，
，令，可得，
由，可得或，由，可得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
如图所示：

要使与函数的图象有三个交点，
只需，的取值范围是．