哈三中2023-2024学年度上学期高二学年期末考试数学试卷含答案

这是一份哈三中2023-2024学年度上学期高二学年期末考试数学试卷含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试说明：(1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分．考试时间为 120 分钟；
(2)第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷 (选择题, 共 60 分)
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
设an 是等比数列，且a1  a3  3 ， a3  a5  6 ，则a9  a11 
24B． 36C． 48D． 64
2
已知椭圆C : x
2
y
 1的左焦点为 F ， P 为C 上任意一点，则 PF
的最大值为
259
A． 5B． 9C．10D．18
1 x 2
若直线 y  mx  2m 和曲线 y 
有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是
0, 3 
  3 , 0
  3 , 3 

3, 3 
3 
3
33 

我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为 2n1 n  1, 2, ，若去除所有为1的项，依次构成数列2, 3, 3, 4, 6, 4, 5,10,10, 5, ……则此数列的前15 项之和为
A．114B．116C．124D．126
数列{an } 通项公式为 an  3n  27 ，则其前n 项和 Sn 的最小值为
105
108
115
118
已知点 P 为直线l : x  2 上任意一点，从点 P 作抛物线 y2  4x 的两条切线，切点
分别为 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1x2  y1 y2 
 4
y  x 1
4C．  3
x22
D． 3
已知直线
与双曲线C : y
m
 1 交于不同两点 A ，B ，O 为坐标原点．若
三角形 AOB 的重心在直线 2x  3y  0 上，则其离心率的值为
13B． 5
33
C． 15D． 13
39
数列a  中， a  3 ， a 1 1  a
 2n  2 ，若n  N  ，都有
n1n1
n  n
8
n9n  n
an

 0 恒成立，则实数的最小值为
8 8 7
 8 8
 8 9
39
A．B．15

C．17 
9

D．19 
9

二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
已知数列an的前 n 项和为 Sn ，下列说法正确的是
若点n, an  在函数 y  kx  b （ k ， b 为常数）的图象上，则an 为等差数列
n
若a  为等差数列，则3an 为等比数列
若an  为等差数列， S11  0 ， S12  0 ，则当 n  6 时， Sn 最大
nn
若 S  2n  3 ，则a  为等比数列
设O 为坐标原点，直线 y 
3 (x 1) 过抛物线C : y2  2 px( p  0) 的焦点，且与C
3
交于 A, B 两点， l 为C 的准线，则
p  1
| AB | 8
以 AB 为直径的圆与l 相切
SAOB  4
已知
为双曲线C : x2  y2  上一点， F , F 为其左右焦点，则
P8112
3
若F PF  60∘ ，则F PF 的面积为 4
1212
17
若F PF  90∘ ，则F PF 的周长为6  2
1212
双曲线C 上存在一点 R ，使得 RF1 , RO , RF2
成等差数列
PF1
PF2
+
5
PF2
PF1
有最大值
2
已知数列a  满足 a
 an  4, n为奇数， a
 1, a
 3 ， S 为数列a  的前 n
nn2
12nn
3an , n为偶数
项和，则下列说法正确的有
n2  n  3  
3 n1
S

当 n 为奇数时，
n2
n
n
n
设b  a2n1 ，则数列b  的前 n 项和 P 小于 3
a2n27
设c  a
cn
，则数列
 的前 n 项和T 小于 1
n2n
c 1c1n4

nn 1
设 d  a
1
，则数列
 的前 n 项和 R 小于 13

n2n 1
 d
n dn 1
1
n60
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分)
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
设 S 为等差数列{a } 的前 n 项和，且 a
 4048  a
，则 S．
nn1025
2023
999
2023
已知直线l : y = x + 2 ，圆O : x2 + y2 = 1 ，则圆O 上任意一点到直线l 的距离的最小值为．
nnnn20
已知数列a 的前项和为 S ，且 2S  a  n2 ，则 S ．
16 ． 已知点
P(3,1)
在椭圆 C : x
y2
 1 上， 直线 l 交椭圆 C 于
M , N
两点， 且
2
124
MPN =90，若 PQ  l ，垂足为Q ，则 PQ 的最大值为．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1 
5,0， F2 
5,0，
MF1  MF2
 4 ，动
点 M 的轨迹为C .
求C 的方程；
11
若直线l : y   3 x  t 交C 于 A, B 两点，且 AB  2
4
，求直线l 的方程．
18．(本小题满分 12 分)
已知数列an  的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn  3an  2n 1 ．
求数列an  的通项公式；
若b  a 2 ，求数列b  的前 n 项和T ．
nnnn
19．(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C :
x  y2  a  b  0 的离心率为
3
21
2
，
a2b2

且C 过点
3, 1  ．

2

求椭圆C 的方程；
设过点 P 0, 3 的直线l 与椭圆交于不同的两点 A, B ，且 PB  3 PA ，求直线
2
l 的斜率．
20．(本小题满分 12 分)
已知数列a 的首项 a = 1 ，对任意的 n  N * ，都有 a
 a 
2an ．
n1n1
n2n 1
求数列an 的通项公式；
若b  3n a ，求数列b  的前 n 项和 S ．
nnnn
21．(本小题满分 12 分)
已知数列an满足 an2  3an1  2an ，且 a1  1,a2  3 .
求证:数列an1  an 为等比数列，并求数列an的通项公式；
求证： 1  1
a1a2
 1  1
a3an
 5 ．
3
22．(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 C：x2  2 pyp  0 的焦点 F 与椭圆
2
y  x2
2
 1 的一个焦点重合，
A, B
是抛物线 C 上位于
y 轴两侧不对称的两动点，且
OA  OB  12 .
求证：直线 AB 恒过一定点 M ，并求出该点坐标；
若点 N 为 y 轴上一定点，且ANO  BNO ；
①求出 N 点坐标；
②当 F 为ABN 的内心时，求ABN 重心的坐标．
一．单选题
1. C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.C
二．多选题
9. ABC 10.CD 11.BD 12.ACD
三．填空题
2
13.202414.
四．解答题
115.21016.
3 2
2
17.（1）
x2 
4
y2  1
（2）
y   3 x  2 4
18.（1） an
 2  3n1 1 （2） T
 1  9n  2  3n  n  3
n
22
19.（1）
x2  2 
y
1
4
（2） 
5 2
4
20.（1） an  2n 1
（2） S  n 13n1  3
n
21.（1）证明： an2  an1  3an1  an ; a2  a1  2
an1  an 为首项为 2，公比为 2 的等比数列.
n
a  2n 1
（2）
法一： n  2 时，
n
a  4  2n2 1  3 2n2  2n2 1  3 2n2
1 1
n
a3 2n2
1  1
a1a2
 1  ...  1
a3an
 1 1 1 1  ...  1 
3 22n1 

 5  2  1  5

33 2n13
n  1 时，不等式成立.
综上， 1  1
a1a2
 1  ... 1  5
a3an3
法二： 1  1
a1a2
 1  ... 1
a3an
 1 1  1  ... 1
372n 1
 1 1  4  1  ...  4  1

37 22
7 2n1
 4  2 1 5
377  2n33
22. （1） M 0, 6
（2）① N 0, 6 ②  2 21 , 9 
3
