精品解析：吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A B. C. D.
3. 如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 椭圆上的点到左焦点的距离为2，N为的中点，则（O为坐标原点）的值为（ ）
A. 8B. 2C. 4D.
5. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
6. “”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，分别是双曲线左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（ ）
A B. C. D.
8. 在棱长为1的正方体中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知直线：，：，下列命题中正确的有（ ）
A. 当时，与重合B. 若，则
C. 当时，与相交D. 若，则
10. 设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. 则，，两两共面，但，，不可能共面；
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使；
D. 则，，一定能构成空间的一个基底
11. 已知数列的前n项积为，，则（ ）
A. B. 为递增数列
C. D. 的前n项和为
12. 已知为坐标原点，，，是抛物线上两点，为其焦点，则下列说法正确的有（ ）
A. 周长的最小值为
B. 若，则最小值为
C. 若直线过点，则直线，的斜率之积恒为
D. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一个质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为________．
14. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________．
15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______
16. 已知双曲线的右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，证明：
18. 已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
19. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）若，设函数，求的单调区间．
20. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求平面与平面所成角的余弦值．
21. 已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解.
22. 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.