山东省青岛市崂山区2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市崂山区2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. 0.385B. C. D. π
【答案】D
【解析】
【分析】无限不循环的小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：， 都是有理数，是无理数，
故不符合题意，符合题意；
故选：
【点睛】本题考查是无理数的识别，掌握无理数的概念是解题的关键．
2. 下面命题是真命题的是（ ）
A. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
B. 对顶角相等，两直线平行
C. 如果，那么
D. 三角形的一个外角大于任意一个内角
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念，平行线的判定，乘方的规律，三角形外角的相关定理，逐一判断即可解答．
【详解】解：如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数是1或0，故A不是真命题；
对顶角相等无法判断两直线平行，故B不是真命题；
如果，那么，故C是真命题；
三角形的一个外角不一定大于任意一个内角，故D不是真命题，
故选：C．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【点睛】本题考查了命题与定理，熟知算术平方根的该你那，平行线的判定条件，乘方的规律和三角形外角的相关定理是解题的关键．
3. 将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为( )
A. 75°B. 105°C. 135°D. 165°
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．
【详解】由三角形的外角性质得，∠1=45°+90°=135°，∠α=∠1+30°=135°+30°=165°．故选D．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质.
4. 已知点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用第二象限内的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，
点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是点的坐标，解答本题的关键是明确点到轴的距离是这点的纵坐标的绝对值，到轴的距离是这点的横坐标的绝对值．
5. 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）

A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断即可．
【详解】解：由折线统计图可知，甲、丙的平均成绩高于乙、丁的平均成绩，并且甲成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙成绩相对于平均成绩的波动幅度，
这四人中甲的成绩好又发挥稳定，
故选：A ．
【点睛】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
6. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x、y的二元一次方程组，继而求解．
【详解】解：设共有x辆车，y人，
根据题意得出：
故选A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7. 已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据为第四象限内的点，可得 ，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解．
【详解】解：∵为第四象限内的点，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限．
故选：A
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．
8. 如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解析：（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴
∴即平分
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
∴
，，所以④错误；
故答案为：C．
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9. 若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，即可得到答案．
【详解】解：，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的平方等于被开方数，是解题的关键．
10. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则______．

【答案】25
【解析】
【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
详解】解：，
．
，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
11. 已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，
解得：m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
12. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”）
【答案】＞
【解析】
【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD==，AB==，
∴BD+AD=+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键．
13. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为______m．（取3）

【答案】
【解析】
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U形池的侧面展开，进而根据两点之间线段最短，得出结论．
【详解】解：U形池的侧面展开图如图：

由题意，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路径问题，把U形池的侧面展开矩形，化曲面为平面是解题的关键．
14. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点为线段的中点，点分别为线段上的动点，当值最小时，点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】作点关于轴的对称点，过点作，垂足为，线段交轴于点，连接，由轴对称的基本性质可得，，此时直线外一点到已知线段的垂线段最短，此时值最小，根据直线求出点的坐标，从而得出，从而得出点、的坐标，再根据等腰直角三角形的性质得出点的坐标，用待定系数法求值直线的解析式，联立，进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作，垂足为，线段交轴于点，连接，由轴对称的基本性质可得，
，
，此时直线外一点到已知线段的垂线段最短，此时值最小，
在中，令，则，令，则，即，
，，
，
，
，
，
轴轴，
，
是等腰直角三角形，
，
点为线段的中点，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
直线解析式为：，
联立，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、垂线段最短、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质，是解题的关键．
三、作图题（本题满分6分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1坐标： ；
（3）△A1B1C1的面积是多少？

【答案】（1）见解析；（2）（2，﹣1）；（3）4.5
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据关于y轴的对称点的坐标特点即可得出；
（3）利用长方形的面积减去三个顶点上三个直角三角形的面积即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）由关于y轴的对称点的坐标特点可得，点C1的坐标为：（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1面积为：．
【点睛】本题考查了轴对称与坐标变化，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
四、解答题（本大题共9小题，共72分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）先约分，再化简二次根式即可得到答案；
（2）根据平方差公式先去括号，计算二次根式的乘法，再计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质进行化简、运用平方差公式进行计算、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17. 如图，在中，点分别在边上，．若，，求的度数．

【答案】的度数为
【解析】
【分析】由可得，由平行线的性质可得，最后由三角形外角的定义可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，三角形外角的定义，是解题的关键．
18. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学七、八年级共800名学生全部参加“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格，8分及以上为优秀）．八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．相关数据整理如下：
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______； ______； ______； ______；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数．
【答案】（1）7.5，8，8，
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为800人
【解析】
【分析】（1）由中位数、众数的定义，结合条形统计图以及八年级抽取的学生的竞赛成绩，即可求得答案；
（2）用800乘七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数所占的比例即可得到答案．
【小问1详解】
解：由七年级的条形统计图可得：
七年级的中位数，
由八年级抽取的学生的竞赛成绩可得：中位数，
8出现的次数最多，故众数，
七年级的合格率为：，
故答案为：7.5，8，8，；
【小问2详解】
解：根据题意得：
（人），
该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为800人．
【点睛】本题主要考查了中位数、众数的定义，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键．
19. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水A，B其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米， 千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路．请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路少多少千米．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）新路比原路少千米
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；
（2）在中根据勾股定理求得即可解答．
【小问1详解】
解：是，理由如下：
在中，∵，
即，
∴为直角三角形，且，
∴，
由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路；
【小问2详解】
解：设千米，则千米，
在中，，，，
由勾股定理得： 则，
解得，即，
故（千米），
答：新路比原路少千米．
【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
20. 中国共产党第二十次全国代表大会期间，某网店直接从工厂购进两款纪念中国共产党第二十次全国代表大会顺利召开的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
（1）网店第一次用8500元购进两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变）．已知第二次商品全部售完，请求出第二次利润（元）与购买款钥匙扣数量（件）的函数表达式；若款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润多少元？
【答案】（1）购进款钥匙扣200件，款钥匙扣100件
（2），若款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润为11100元
【解析】
【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，根据“用8500元购进两款钥匙扣共300件”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进款钥匙扣件，则购进款钥匙扣件，根据总利润（售价进价）数量，即可得到关于的表达式，根据款钥匙扣数量不超过500个可得出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
根据题意得：，
解得：，
购进款钥匙扣200件，款钥匙扣100件；
【小问2详解】
解：设购进款钥匙扣件，则购进款钥匙扣件，
根据题意得：，
，
款钥匙扣数量不超过500个，
，
，
随着的增大而增大，
当时，最大，，
若款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润为11100元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，得到关于的表达式，是解题的关键．
21. 探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．

阅读理解：
（1）图1中大正方形的边长为______，图2中点A表示的数为______；
迁移应用：
（2）将5个边长为1的小正方形如图3位置摆放，将其进行裁剪，拼成一个大正方形，请你参照上面的方法，在图3中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）．
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形的面积公式，即可解答；求得正方形的边长，图中长度即为正方形边长，据此即可解答；
（2）根据图3的图形面积为5，可得所拼大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼正方形即可．
【小问1详解】
解：由图可得，图1中大正方形的面积为，故其边长为；
点A到原点的距离为，且在原点左侧，故点A表示的数为，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：如图所示：
裁剪线为： ；
拼得的大正方形为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟知正方形边长即为正方形的面积的算术平方根是解题的关键．
22. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．

（1）直接写出乙地每天接种的人数及的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
【答案】（1）每天0.5万人，；（2）；（3）5万人
【解析】
【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．
（2）利用待定系数法求解．
（3）将代入（2）问中解析式得出，然后由．
【详解】解：（1）乙地接种速度为（万人/天），
，
解得．
（2）设，将，代入解析式得：
，
解得，
∴．
（3）把代入得，
（万人）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 阅读材料：如图1，已知中，，请用尺规作图在边上求作点，使得．
小明提出想法：如图2，假设点为所求作的点，连接，此时有，因为，所以，从而得到：．
由此想法得到如下作图方法：如图2，以点为圆心，为半径画弧，该弧与相交于点，则点即为所作的点．
根据以上材料，完成下面两个问题：
（1）请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在边上作点，使得；
（2）在（1）的条件下．
①若，求的长为______；
②当直角边长度发生变化时，的大小是否发生变化？若不变，请求出的度数；否则，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①4；②当直角边发生变化时，的度数不会发生变化，为
【解析】
【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，该弧与相交于点，则点即为所作的点；
（2）①由作图可得，由勾股定理可得，由求出的长，最后由即可得到答案；②利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求，
，
由作图可得：，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图所示，
，
由作图可得：，
，，
，
，
，
；
②由作图可得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当直角边发生变化时，的度数不会发生变化，为．
【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，是解题的关键．
24. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为______；
（2）若一次函数的“不动点”为，求的值；
（3）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）联立，求出的值即可得到答案；
（2）由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出的值；
（3）由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：联立，
解得：，
一次函数的“不动点”为；
【小问2详解】
解：一次函数的“不动点”为，
，
，
一次函数的“不动点”为，
，
解得：；
【小问3详解】
解：直线上没有“不动点”，
直线与直线平行，
，
，
当时，，
当时，，解得，
，，
，
设，
，
，，
，
，
，
解得：或，
或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键．年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
d
90%
类别价格
款钥匙扣
款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37