2023年湖北省随州市随县中考模拟数学试题（解析版）

这是一份2023年湖北省随州市随县中考模拟数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A、原式利用算术平方根定义计算得到结果，即可做出判断；
B、原式表示3平方的相反数，计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用绝对值的性质，计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用立方的法则，计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：A、，故本项错误；
B、，故本项错误；
C、，故本项正确；
D、，故本项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 在百度中搜索“神舟十五”时，百度显示信息：“百度为您找到相关结果约29300000个”，其中数据29300000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：数据29300000用科学记数法表示为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 已知直线∥，将一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵m∥n，
∴，
∵∠ABC＝60°，
∴∠2＋∠3＝60°，
∴∠2＝，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩90分，面试成绩85分，那么莫小贝的最后成绩是（ ）
A. 86分B. 87分C. 87.5分D. 88分
【答案】B
【解析】
【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：∵笔试按40%、面试按60%，
∴总成绩是（90×40%+85×60%）=87分，
故选：B
【点睛】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
5. 图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则俯视图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由主视图和左视图的高相等，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】∵，，且主视图和左视图的高相等，
∴俯视图的长为 ，宽为，
∴．
故选：C.
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
6. 甲、乙两车沿相同路线以各自速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【详解】①乙车比甲车先出发2小时，正确；
②乙车速度为80÷2=40千米/时，正确；
③A. B两地相距40×5=200千米，正确；
④甲的速度为200÷2=100千米/小时，
设甲车出发x分钟追上乙车,可得：100x=40(x+2)
解得：x=，小时=80分钟，故正确，
故选D．
点睛:本题考查了一次函数的应用, 观察图象，该函数图象表示的是路程与时间之间的函数关系，可知乙出发2小时后甲再出发，根据路程除以时间等于速度进行分析．
7. 如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E．动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则的周长为（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】先由当秒时，S有最大值8，当秒时，，得出的值，进而根据时，，得出的值，从而可进一步求得和的值；然后证明，利用相似三角形的性质可得和的值，从而的周长可求．
【详解】解：∵当秒时，S有最大值8，当秒时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，，
∴的周长为
故选：D
【点睛】本题考查动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质和三角形的面积计算，数形结合是解题的关键．
8. 我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如1，3，6，10…）和“正方形点数”（如1，4，9，16，…）．在小于300的点数中，设最大的“三角形点数”为m，最大的“正方形点数”为n，则m＋n的值为（ ）
A. 589B. 565C. 556D. 532
【答案】B
【解析】
【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此可以得出最大的三角形数和正方形数，即可以求得m和n的值，从而可以计算出m+n的值．
【详解】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=23时，=276＜300，当n=24时，=300，
所以最大三角形数m=276；
当n=17时，n2=289＜300，当n=18时，n2=324＞300，所以最大的正方形数n=289；
则m+n=276+289=565，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现三角形数和正方形数的变化特点，求出m、n的值．
9. 如图，△ABC中，AC＝BC，，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连接CD．下列结论：①；②AC+CE＝AB；③BD＝AE；④AC+AB＝AM．正确的个数是（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过E作EQ⊥AB于Q，由角平分线的性质和等腰直角三角形的判定可知②正确；作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，利用ASA可证明△ACN≌△BCD，得CN＝CD，再证△CND是等腰直角三角形，利用角度之间的转化可说明CN＝NE，从而得出点N为AE的中点，可说明①、③正确；过D作DH⊥AB于H，证明△DCM≌△DBH（AAS），得BH＝CM，由勾股定理得AM＝AH，则，由此可判断④错误．
【详解】解：如图，过E作EQ⊥AB于Q，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，则②正确；
作，交AD于N，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则①正确；
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，则③正确；
过作于，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，则④错误；
综上，正确的个数是3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10. 已知函数y＝4x2﹣4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），且（x1+x2）（4x12﹣5x1﹣x2）＝8，则该函数的最小值为（ ）
A. 2B. ﹣2C. 10D. ﹣10
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，由一元二次方程的解得4x12-4x1+m=0，由根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=，则4x12=4x1-m，接着由（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8得到（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，则1•（-m-1）=8，解得m=-9，所以抛物线解析式为y=4x2-4x-9，然后根据二次函数的性质求函数的最小值．
【详解】∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1•x2=，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1•（-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，
∵y=4（x-）2-10，
∴该函数的最小值为-10．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是利用一元二次方程的解的定义把4x12-5x1-x2降次．
二、填空题(共18分)
11. 计算：=__________．
【答案】7-
【解析】
【分析】首先利用绝对值的性质和二次根式、算术平方根、立方根的性质化简，然后再计算加减即可．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．
12. ⊙O 是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO＝38°，则∠C的度数为___________.
【答案】52°或128°
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由∠ABO＝38°，可得∠AOB=104°，则由圆周角定理可得∠C=52°，∠C’=128°.
【详解】解：如图，连接AO.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠ABO＝38°，
∴∠AOB=104°，
当点C在优弧上时，∠C=52°，
当点C在劣弧上时，∠C’=128°.
故答案为52°或128°.
【点睛】本题考查了圆周角定理和同弦所对的圆周角相等或互补，熟练掌握相关知识是解题关键.
13. 关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】设方程的另一个根为，由根与系数的关系可得出两根之积等于，即可得出关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∴，
解得：，
∴方程的另一个根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系以及解一元一次方程．若一元二次方程的两实数根为，，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=3cm，AB=2cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE=______cm．
【答案】1
【解析】
【分析】由平行四边形ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC=∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE=CD，由AD=BC=3cm，AB=CD=2cm，即可求出BE．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=∠CDE
∴CD=CE
∵CD=AB=2cm
∴CE=2cm
∵BC=AD=3cm
∴BE=BC-EC=3-2=1（cm）．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
15. 如图，在中，，点在反比例函数（，）的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC=OB，
∴OC=CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵，OC=OB，
∴，
∴，
∵OC=CE，
∴，
∴，
∵()，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，取的中点E，连接，由题意先判断出点H在以点E为圆心，为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，由即可算出的长度．
【详解】解：连接，取的中点E，连接，如下图：
∵，
∴点H在以点E为圆心，为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，取得最小值，
∵是直径，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
即：，
∵，
∴，
∵E为AD的中点，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
即：，
∵，
∴，
又∵，且点E为的中点
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题(共95分)
17. 化简或解方程：
（1）（x+2）（x﹣4）＝1；
（2）（1）．
【答案】（1）x1＝1，x2＝1
（2）2
【解析】
【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【小问1详解】
解：方程整理得：x2﹣2x﹣9＝0，
这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣9，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣9）＝4+36＝40＞0，
∴x1±，
解得：x1＝1，x2＝1；
【小问2详解】
原式＝[1]
＝（）•
•
＝2．
【点睛】本题考查解一元二次方程，分式混合运算，熟练掌握用公式法求解一元二次方程，分式运算法则是解题的关键．
18. 如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的周长为，，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得
（2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
，即 ，
，
∴四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接交于点；则于点，
，，
，
∵菱形的周长为，
，
在中，
，
由勾股定理可得：，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．
19. 为了了解初二男生的引体向上成绩情况，随机抽测了初二男生的引体向上项目，并测试得到成绩绘制了下面两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下面问题．
（1）写出扇形图中 ，并补全条形图．
（2）在抽测中，测得成绩的众数是 ，中位数是 ．
（3）该地区抽测引体向上的男生共1800人，引体向上达到6个以上（含6个）得满分，请你估计该区参加引体向上男生能获得满分的有多少人？
【答案】（1），见解析
（2）5；5 （3）810人
【解析】
【分析】（1）利用1减去其他人数所占的百分比即可得的值，再根据引体向上达到3个的条形统计图和扇形统计图求出这次调查的总人数，然后利用调查的总人数乘以引体向上达到6个所占的百分比可得引体向上达到6个的人数，据此补全条形统计图即可；
（2）根据中位数和众数的定义即可得；
（3）利用1800乘以引体向上达到6个和引体向上达到7个及以上的人数所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：，
故答案为：，
这次调查总人数为（人），
则引体向上达到6个的人数为（人）．
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：因为5出现了60次，次数最多，
所以众数是5，
因为，，
所以将这些数据按从小到大排序后，第100个数和第101个数的都是5，
所以中位数是，
故答案为：5；5．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该区参加引体向上男生能获得满分的有810人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、众数与中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
20. 2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，，∠ABD＝105°，求AD的长．
【答案】2()km
【解析】
【分析】作BE⊥AD于点E，根据∠CAB=30°，∠ABD=105°，可以求得∠ABE和∠DBE的度数以及BE、DE的长，进而求得AE的长，然后可求得AD的长．
【详解】作BE⊥AD于点E，

∵∠CAB=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABD=105°，
∴∠EBD=45°，
∴∠EDB=45°，
∵，
∴BE=DE=2km，
∴AE=，
∴AD=AE+DE=+2=2()km
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为 ；
（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若AC=4，BC=2，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．
【答案】（1）AF=BD，AF⊥BD（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由见解析；②DB的长度为22或22．
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质证明△ACF≌△DCB，得到AF=BD，∠CAF=∠CDB，再通过等量代换即可证明AF⊥BD，从而可得出AF与BD的数量关系和位置关系；
（2）①仍然利用正方形的性质证明△ACF≌△DCB，得到AF=BD，∠CAF=∠CDB，再通过等量代换即可证明AF⊥BD，从而可得出AF与BD的数量关系和位置关系；
②分两种情况：点F在线段AB上或点F在线段AB的延长线上，分别画出图形，利用正方形的性质，勾股定理及（1）种的结论求解即可．
【详解】（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF=BD，AF⊥BD．理由如下：
延长AF交BD于H，如图①所示：
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACF=∠DCB=90°，
∴∠CAF+∠AFC=90°，
在△ACF和△DCB中，，
∴△ACF≌△DCB(SAS)，
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
∵∠DFH=∠AFC，
∴∠CDB+∠DFH=∠CAF+∠AFC=90°，
∴∠DHF=90°，
∴AF⊥BD．
故答案为：AF=BD，AF⊥BD；
（2）①第（1）问的结论仍然成立．理由如下：
设AF交CD于点M，如图②所示：
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠FCB=90°，
∴∠CAF+∠AMC=90°，∴∠ACD+∠DCF=∠FCB+∠DCF，
即∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△DCB中，，
∴△ACF≌△DCB(SAS)，
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
∵∠DMH=∠AMC，
∴∠CDB+∠DMH=∠CAF+∠AMC=90°，
∴∠DHM=90°，∴AF⊥BD；
②分两种情况：
a、如图③所示：连接CG交BF于O．
∵四边形BCFG是正方形，
∴CB=FB，BF⊥CG，∠BGF=90°，OB=OF=OC=OG，
∴BF=CGBC24，OB=OF=OCBF=2，
∴AO2，
∴AF=AO+OF=22，
由（2）得：AF=DB，
∴DB=22；
b、如图④所示：连接CG交BF于O，
同上得：OB=OF=OCBF=2，AO2，
∴AF=AO﹣OF=22，
由（2）得：AF=DB，
∴DB=22；
综上所述：当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为22或22．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质及定理并分情况讨论是解题的关键．
22. 某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量y（单位：万包）和售价x（单位：元/包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如表所示：
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）若该零食礼包的生产成本是10.5元/包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少万元？此时周销售量是多少？
（3）在（2）条件下，该企业有A、B两种生产线若干条合作生产这种零食礼包，平均每条A种生产线每周可生产5万包，平均每条B种生产线每周可生产8万包，同时开通A、B两种生产线各多少条（数量均为整数），能够用一周的时间恰好生产出最大周销售利润时的周销售量？请直接写出使用A，B两种生产线数量之和最少的生产方案．
【答案】（1）；（2）定价为17元时，周销售利润最大为845万元，此时销售量为130万包；（3）A2条，B15条
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法设y与x的函数关系式为，代入（20，70）（19，90）得：，解方程组即可；
（2）设周销售利润w，利用每包利润×销量列函数得w=(x-10.5)y=，根据a=-20＜0，二次函数开口向下，函数有最大值，当x=17时，w最大=845万元，求出销量即可；
（3）设开通A生产线各m条、B两种生产线各n条，根据利润最大时销量列出5m+8n=130，求正整数解，再比较m+n不同值大小即可．
【详解】解：（1）∵周销售量y（单位：万包）和售价x（单位：元/包）成一次函数的关系，
设y与x的函数关系式为，代入（20，70）（19，90）得：
解得，
y与x的函数关系式为，
（2）设周销售利润w，
∴w=(x-10.5)y=，
∵a=-20＜0，二次函数开口向下，函数有最大值，当x=17时，w最大=845万元，
当x=17时，万包，
（3）设开通A生产线各m条、B两种生产线各n条，
∴5m+8n=130，
∴，
∵m,n均为整数，130能被5整除，5与8互质，
∴n为5的倍数，
当n=5，，
当n=10，，
当n=15，，
∵5+18=23,10+10=20,15+2=17,23＞20＞17，
使用A，B两种生产线数量之和最少的生产方案是A开2条生产线，B开15条生产线．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二元一次方程的整数解，掌握待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二元一次方程的整数解是解题关键．
23. 如图1，将矩形ABCD放置于平面直角坐标中，其中，C与O重合，B、D分别落在x轴、y轴上，对角线AC、BD相交于点M．现将该矩形按如下方式运动（形状、大小保持不变）：如图2，顶点B沿x轴正方向运动，与此同时，顶点D沿y轴正方向运动．当点B到达点O处时，运动停止．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规在图3中补全当点B到达点O处时的图形．
（2）请简要描述点M的运动路径，并直接写出运动停止时点M的坐标．
（3）在整个运动过程中，试探求：是否存在某一时刻，使得以O、M、C为顶点的三角形恰好为等边三角形？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）点M的坐标为（0，5）；
（3）点C的坐标为（3，）．
【解析】
【分析】（1）以O为圆心，OM长为半径画圆交y轴于M，以M为圆心，MO长为半径画圆，交y轴于点D，分别以B点和D点为圆心，AD长为半径画圆弧，交圆M于点C和点A，用直尺连接A、B、C、D即可；
（2）根据MO长度是定值确定M点的运动路径即可；
（3）根据BM=OM=MC=MD=5得知点B、O、C、D都在以M为圆心，5个单位长为半径的圆M上，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可计算出C点的坐标．
【小问1详解】
解：图1中，
四边形ABCD为矩形，，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，
∴AC=BD=10，
作图步骤：①以O为圆心，OM长为半径画圆交y轴于M，
②以M为圆心，MO长为半径画圆，交y轴于点D，
③分别以B点和D点为圆心，AD长为半径画圆弧，交圆M于点C和点A，
④用直尺连接A、B、C、D，
作图如下：
；
【小问2详解】
解：M为斜边BD的中点，且|BD|=10，
∴OM长度不变，|OM|=5，
∵到一定点的距离不变，构成圆，
∴M的运动路径为圆的一部分，即以O为圆心，5个单位长为半径的一段弧，
由图3可知点M的坐标为（0，5）；
【小问3详解】
解：由（2）可知OM长度不变，始终等于5，
∴|BM|=|OM|=|MC|=|MD|=5，
∴点B、O、C、D都在以M为圆心，5个单位长为半径的圆M上，如图：
∵△OMC为等边三角形，
∴∠OMC=60°，OM=OC=MC=5，
∴∠ODC=30°，
过点C作CH⊥OD于点H，
在Rt△CDH中，∠ODC=30°，CD=6，
∴CH=3，
在Rt△OCH中，OC=5，
∴OH=，
∴点C的坐标为（3，）．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E．

（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）2；（3）点D的坐标是（，）或（﹣，2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线顶点坐标；
（2）过点B作BH⊥AC于点H，构造直角和直角，利用勾股定理及两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角，设，则并由题意可知点D位于第二象限，由于是公共角，所以当与相似时，有2种情况：①，即，由锐角三角函数的定义列出比例式，即可得到D点坐标，②，即，由锐角三角函数的定义列出比例式，即可得到D点坐标.
【详解】解：（1）设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得：
，解得：
故抛物线解析式为：
由于
所以该抛物线的顶点坐标是；
（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H

∵，OA＝OC＝3
∴，
∵
∴
∴
∵在直角中，，AB＝4
∴
∴
∵
∴；
（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K

设，则．并由题意知点D位于第二象限
∴，
∵∠BAC是公共角
∴当与相似时，有2种情况：
①∠AOD＝∠ABC
∴
∴＝3，解得x1＝，x2＝，经检验当x1＝，x2＝时原分式方程有意义
∵点D位于第二象限
∴x2＝舍去
∴；
②∠AOD＝∠ACB
∴
∴＝2，解得，，经检验当，时原分式方程有意义
∵点D位于第二象限
∴舍去
∴
综上所述，当与相似时，求点D的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.售价x/（元/包）
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