2023年四川省乐山市五通桥区中考数学适应性试卷+

这是一份2023年四川省乐山市五通桥区中考数学适应性试卷+，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列数中最小的是（ ）
A．﹣B．0C．1D．
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史（ ）
A．B．
C．D．
3．体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ）
A．1632×104B．1.632×107C．1.632×106D．16.32×105
4．某次体育测试中，7名男生完成俯卧撑的个数为19，17，20，20，18，则这组数据的众数是（ ）
A．17B．18C．19D．20
5．如图，直线AB，CD被直线CE所截，∠C＝50°，则∠1的度数为（ ）
A．150°B．130°C．50°D．40°
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝15°（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
8．小杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．下列结论：
①小杰家到学校的距离是1500米；
②书店到学校的距离是1000米；
③本次上学途中，小杰一共行驶了2700米；
④本次上学途中，小杰买到书后再到学校的速度是450米/分；
⑤小杰本次上学比往常多用6.5分钟．
其中正确的结论有（ ）
A．①③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①③④⑤
9．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则∠AED的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点（ ）
A．B．6C．8D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解：x2﹣9＝ ．
12．如图，△ABC≌△DEF．如果AE＝10，BD＝2 ．
13．关于x的一元二次方程：3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一个根为x＝1，则这两根之积为 ．
14．某公司决定招聘员工一名，一位应聘者测试的成绩如下表：
将笔试成绩，面试成绩按7：3的比例计入总成绩，则该应聘者的平均成绩是 分．
15．如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，将纸片按图示方式折叠，使E A′恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），则A′G的长是 ．
16．若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 ；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，若c+d＝9，c≠0，当，M是 ．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）计算：（π﹣2023）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
18．（9分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4
19．（9分）先化简（1﹣），再从﹣1，0，中选取适合的数字求这个代数式的值．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.
20．（10分）如图1，将长为2a，宽为2a﹣1的矩形分割成四个全等的直角三角形
（1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长；
（2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值．
21．（10分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，解答下列问题：
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识
22．（10分）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
（1）求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
（2）商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0），点B在y轴上，OB＝2，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，点C的坐标为 （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）如图，平行四边形ABCD，E，F为BD上的点，AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若BE＝DF，AE2＝AG•AD，求证：BF•FG＝AF•DG；
（3）若P为BC中点，AB＝5，AE＝3
26．（13分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，求m的值；若不存在
2023年四川省乐山市五通桥区中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．下列数中最小的是（ ）
A．﹣B．0C．1D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣＜0＜3＜，
∴所给的数中最小的是﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ）
A．1632×104B．1.632×107C．1.632×106D．16.32×105
【分析】利用科学记数法表示数据的方法解答即可．
【解答】解：16320000＝1.632×107，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题的关键．
4．某次体育测试中，7名男生完成俯卧撑的个数为19，17，20，20，18，则这组数据的众数是（ ）
A．17B．18C．19D．20
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中19出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为19，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．如图，直线AB，CD被直线CE所截，∠C＝50°，则∠1的度数为（ ）
A．150°B．130°C．50°D．40°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEC+∠C＝180°，
∴∠1＝∠BEC＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：﹣x≥1，解得x≤﹣1；
解7﹣x＞0，得x＜3，
在数轴上表示都向左，故A符合提议，
故选：A．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝15°（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【分析】连接BD，由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠C，由直角三角形的性质即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠C＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，关键是连接BD，由圆周角定理得出∠B＝∠C．
8．小杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．下列结论：
①小杰家到学校的距离是1500米；
②书店到学校的距离是1000米；
③本次上学途中，小杰一共行驶了2700米；
④本次上学途中，小杰买到书后再到学校的速度是450米/分；
⑤小杰本次上学比往常多用6.5分钟．
其中正确的结论有（ ）
A．①③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①③④⑤
【分析】根据函数图象逐个判定对错．
【解答】解：根据函数图象：
①小杰家到学校的距离是1500米，故①正确；
②书店到学校的距离是1500﹣600＝900米，故②错误；
③本次上学途中，小杰一共行驶了1200+600+900＝2700米；
④本次上学途中，小杰买到书后再到学校的速度是，故④正确；
⑤往常用时1500÷（1200÷6）＝7.8（分钟），
14﹣7.5＝2.5（分钟），故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象，正确根据图象理解运动过程是关键．
9．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则∠AED的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答】解：如图，取格点K，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点（ ）
A．B．6C．8D．
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，可求圆C上点到直线的最短距离，由此求得答案．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，
∵直线与x轴、B两点，
∴令x＝0，则y＝﹣3，则x＝6；
∴点A为（4，0），﹣8），
∴；
∴OA＝4，BC＝1﹣（﹣3）＝3，
则由三角形面积公式得，×AB×CM＝，
∴5×CM＝16，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是×2×＝；
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离，属于中档题目．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+8）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．如图，△ABC≌△DEF．如果AE＝10，BD＝2 6 ．
【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵AE＝10，BD＝2，
∴AB+DE﹣2＝10，
∴AB＝3，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
13．关于x的一元二次方程：3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一个根为x＝1，则这两根之积为 ﹣ ．
【分析】先把x＝1代入方程求出m的值，再由根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程3x8﹣2x+m＝0的根，
∴3﹣2+m＝0，
∴m＝﹣2，
∴一元二次方程3x2﹣7x+m＝0可化为3x7﹣2x﹣1＝6，
∴两根之积为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程解的定义，熟知以上知识是解题的关键．
14．某公司决定招聘员工一名，一位应聘者测试的成绩如下表：
将笔试成绩，面试成绩按7：3的比例计入总成绩，则该应聘者的平均成绩是 83 分．
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该应聘者的平均成绩．
【解答】解：由题意可得，
＝83（分），
即该应聘者的平均成绩是83分，
故答案为：83．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15．如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，将纸片按图示方式折叠，使E A′恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），则A′G的长是 ．
【分析】连AC，过F作FH⊥DC于H，根据折叠的性质得∠EA′F＝∠EAF＝90°，FA′＝FA，由E A′恰好与⊙0相切于点A′，根据切线的性质得OA′⊥EA′，则点F、A′、O共线，即FG过圆心O；再根据正方形的性质得到AC经过点O，且OA＝OC，易证得△OAF≌△OCG，则OF＝OG，AF＝CG，易得FA′＝GN，设FA＝x，DC＝8，ON＝2，则FA′＝DH＝CG＝GN＝x，FG＝FA′+A′N+NG＝2x+4，HG＝DC﹣DH﹣CG＝8﹣2x，在Rt△FGH中，利用勾股定理得到FG2＝FH2+HG2，即（2x+4）2＝82+（8﹣2x）2，解出x＝，则可计算出A′G＝A′N+NG＝4+＝．
【解答】解：连AC，过F作FH⊥DC于H．
∵△AEF沿EF折叠得到△A′EF，
∴∠EA′F＝∠EAF＝90°，FA′＝FA，
∵E A′恰好与⊙0相切于点A′，
∴OA′⊥EA′，
∴点F、A′，即FG过圆心O，
又∵点O为正方形的中心，
∴AC经过点O，
∴OA＝OC，
易证得△OAF≌△OCG，
∴OF＝OG，AF＝CG，
∵OA′＝ON，
∴FA′＝GN，
设FA＝x，DC＝8，则FA′＝DH＝CG＝GN＝x，HG＝DC﹣DH﹣CG＝4﹣2x，
在Rt△FGH中，FG2＝FH6+HG2，
∴（2x+7）2＝84+（8﹣2x）4，解得x＝，
∴A′G＝A′N+NG＝5+＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了折叠和正方形的性质以及勾股定理．
16．若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 2024 ；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，若c+d＝9，c≠0，当，M是 8190或4536或4563 ．
【分析】（1）由“勾股和数”的定义可直接判断；
（2）由题意可知，10a+b＝c2+d2，且0＜c2+d2＜100，由c+d＝9，为整数，可得c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，由此可得出M的值．
【解答】解：（1）∵22+82＝8，2≠20，
∴2022不是“勾股和数”；
∵22+22＝13，13≠20，
∴2023不是“勾股和数”；
∵24+42＝20，
∴2024是“勾股和数”；
故答案为：2024；
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c4+d2，
∴0＜c3+d2＜100，
∵c+d＝9，
∴＝为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为6的倍数，
∴cd为3的倍数．
又c≠0，
∴①c＝2，d＝0；
②c＝3，d＝3或c＝6，此时M＝4536或4563．
即M的值为8190或4536或4563．
故答案为：8190或4536或4563．
【点评】本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）计算：（π﹣2023）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊角的函数值算乘法、化简绝对值，最后加减．
【解答】解：（π﹣2023）0﹣2tan45°+|﹣7|+
＝1﹣3×1+2+8
＝1﹣2+2+3
＝4．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零次幂的意义、特殊角的函数值、二次根式的化简及绝对值的意义是解决本题的关键．
18．（9分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4
【分析】由∠3＝∠4可以得出∠ABD＝∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠ABD+∠4＝180°∠ABC+∠3＝180°，且∠5＝∠4，
∴∠ABD＝∠ABC，
在△ADB和△ACB中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴BD＝BC．
【点评】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19．（9分）先化简（1﹣），再从﹣1，0，中选取适合的数字求这个代数式的值．
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再从﹣1，0，中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1﹣）
＝•
＝•
＝x+8，
∵x＝﹣1或0时，原分式无意义，
∴x＝，
当x＝时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.
20．（10分）如图1，将长为2a，宽为2a﹣1的矩形分割成四个全等的直角三角形
（1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长；
（2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值．
【分析】（1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差；
（2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可．
【解答】解：（1）图2中小正方形的边长为（2a﹣4）﹣a＝a﹣1；
（2）由题得：（2a﹣8）2+a2＝13（a﹣6）2，
化简得：4a2﹣11a+6＝0，
（a﹣2）（4a﹣3）＝2，
∴a＝2或a＝．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解决问题的关键是依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列出一元二次方程进行计算．
21．（10分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，解答下列问题：
（1）n的值为 60 ，a的值为 6 ，b的值为 12 ；
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 144 °；
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，7，12；
（2）补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
（1）求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
（2）商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
【分析】（1）设购买一个甲商品需x元，则购买一个乙商品需（x﹣6）元，由题意：花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种商品a个，则购买乙种商品（40﹣a）个，由题意：甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，列出一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，即可解决问题．
【解答】解：（1）设购买一个甲商品需x元，则购买一个乙商品需（x﹣6）元，
由题意得：＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝8是原方程的解，
则x﹣6＝7﹣6＝2，
答：购买一个甲商品需5元，一个乙商品需2元；
（2）设购买甲种商品a个，则购买乙种商品（40﹣a）个，
由题意得：，
解得：30≤a≤31，
∵a为整数，
∴a＝30或31．
∴超市有2种购买方案：
①购买甲商品30个，乙商品10个；
②购买甲商品31个，乙商品9个；
∵260＜266，
∴方案①费用最低．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0），点B在y轴上，OB＝2，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 （0，2） ，点D的坐标为 （1，0） ，点C的坐标为 （m+1，2） （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【解答】解：（1）由题意得：B（0，2），6），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（2，2），0），6）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2（m+3），
∴m＝1，
∴A（1，5），2），
∴k＝1×5＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO＝90°，即OE⊥CE即可；
（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB＝，然后根据勾股定理求得AC＝，同理知DE＝1；
方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2＝OE2+CE2，即＝r2+3，从而易得r的值；
方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．
【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC；
又∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE；
连接OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC＝90°
∴∠AE0+∠DEC＝90°
∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE．
又OE是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切．…（7分）
（2）∵tan∠ACB＝＝，BC＝7，
∴AB＝BC•tan∠ACB＝，
∴AC＝；
又∵∠ACB＝∠DCE，
∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，
∴DE＝DC•tan∠DCE＝1；
方法一：在Rt△CDE中，CE＝＝，
连接OE，设⊙O的半径为r，CO3＝OE2+CE2，即＝r2+5  
解得：r＝
方法二：AE＝AD﹣DE＝3，过点O作OM⊥AE于点MAE＝
在Rt△AMO中，OA＝＝÷＝
【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）如图，平行四边形ABCD，E，F为BD上的点，AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若BE＝DF，AE2＝AG•AD，求证：BF•FG＝AF•DG；
（3）若P为BC中点，AB＝5，AE＝3
【分析】（1）连接AC，交BD于O，证明△AOE≌△COE（SSS），可得∠AOE＝∠COE，然后利用平角定义即可解决问题；
（2）根据菱形的性质证明△AFG∽△ADF，可得∠AFD＝∠AGF，然后证明△ABF∽△FGD，即可解决问题；
（3）根据P为BC中点，O为AC中点，得E为△ABC重心，所以OE：OB＝1：3，设OE＝x，则OB＝3x，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，
∵平行四边形ABCD，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
又∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠AOE＝∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，∠ABD＝∠ADB，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴AE＝AF，
又∵AE2＝AG•AD，
∴AF2＝AG•AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠DAF，
∴△AFG∽△ADF，
∴∠AFD＝∠AGF，
∴∠AFB＝∠DGF，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴△ABF∽△FGD，
∴，
∴，
（3）解：∵P为BC中点，O为AC中点，
∴E为△ABC重心，
∴OE：OB＝5：3，
设OE＝x，则OB＝3x，
由AB＝7，AE＝3得，
56﹣（3x）2＝22﹣x2，
解得   ，
∴．
【点评】此题属于四边形综合题，考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质定理是解题的关键．
26．（13分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，其坐标为 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，求m的值；若不存在
【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为（±，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，
∵横坐标x＝±＝±6，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（8．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±＝±，
∴该点的坐标为（﹣，n﹣4）或（．
∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，
∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣7），m），
∴＝m，
∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝6，
∴m＝1+2+7＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．
【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y＝x2﹣的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代数式表示出m的值．测试项目
笔试
面试
测试成绩（分）
80
90
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
测试项目
笔试
面试
测试成绩（分）
80
90
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b