河北省邢台市平乡县第五中学2022-2023学年八年级下学期月考数学试题（解析版）

这是一份河北省邢台市平乡县第五中学2022-2023学年八年级下学期月考数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共16个小题．1~10小题每题3分，11~16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一般的，我们把形如“”的式子叫二次根式，据此解答即可．
【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不符合题意；
B、是二次根式，故本选项符合题意；
C、不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意．
D、由于，则它无意义，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
2. 二次根式的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性求解即可．
【详解】解：∵≥0，
∴的最小值为0，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质≥0是解题的关键．
3. 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理，逐一计算较短的两边平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故A不符合题意；
B、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故B不符合题意；
C、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故C符合题意；
D、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0，可得，解不等式即可．
【详解】∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
5. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合成如图2所示的四边形．若，，则的长为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，，是直角三角形，可以求得的值，再根据勾股定理可以求得的值．
【详解】解：解：∵，，是直角三角形，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
6. 若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（ ）
A. 2021B. C. 2025D.
【答案】B
【解析】
【分析】最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，即被开方数相同，即，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴ 与是同类二次根式，
∴．
解得．
故选：B．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7. 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且b2－c2＝a2，那么这个三角形是（）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
分析】对式子进行变形，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
【详解】解：∵b2－c2＝a2，
∴b2＝a2＋c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选B
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，若一个三角形两边的平方和等于另一边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
8. 若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查化简绝对值和二次根式，解题的关键是根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号．
9. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：），导线电阻R（单位：），通电时间t（单位：）与产生的热量Q（单位：）满．已知导线的电阻为，通电导线产生的热量，则电流I（单位：）的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，，，则，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平方根的应用．解题的关键在于正确的运算．
10. 下列推理过程中，对应符号表示正确的是（ ）
A. “”代表B. “*”代表0.04，“★”代表0.02
C. “”代表50，“★”代表2D. “*”代表2
【答案】B
【解析】
【分析】先分别把用的倍数表示，即可得出“*”和“”，继而得出“★”，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴“*”代表0.04，“”代表50，“★”代表0.02，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键．
11. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上表示的点重合，点B与数轴上表示的点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理求得，即可求得点D表示的数为．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点D表示的数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12. 若取2.236，则计算的结果是（ ）
A. 100B. 223.6C. 22.36D. 0.22361
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次根式加减运算法则进行计算，再将代入求值即可．
【详解】∵取2.236，
∴原式，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减运算法则，准确计算．
13. 如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，
由勾股定理得，长方体的对角线长为，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，
∴这根铅笔露在笔筒外部分长度x的范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
14. 已知，若x的值为整数，则m的值可能为（ ）
A. 10B. 8C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得，即，由x的值为整数，可知是5的倍数，且为正值，然后进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵x的值为整数，
∴是5的倍数，且为正值，
∴m的值可能为10，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
15. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为，（），大正方形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理与正方形的性质得出，，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果．
【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，
，，
4个直角三角形的面积，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，三角形的面积，求得，是解题的关键．
16. 如图，在中，，E，F是斜边的三等分点，点P从点A出发，沿线段移动，移动到点B停止，连接，若，则这样的点P有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，分点在线段上和在线段上两种情况求解：①当点在线段上，求出的最小值，然后分别计算与重合时的值，然后判断即可；②当在线段上，求出的最小值大于5，即不满足要求，然后进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
由勾股定理得，，
由题意知，分①点在线段上，②点在线段上两种情况求解：
①当点在线段上，如图1，作关于的对称点，连接，交于，连接，，则，
∴，此时最小，
如图1，过作于，
∵
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴的最小值的值为，
当与重合时，，
∴当点在上运动时，存在一点使，
当与重合时，如图2，过作于，
∵，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
∴当点在上运动时，存在一点使，
综上，点在上运动时，存在2个点使；
②当在线段上，如图3，作关于的对称点，连接交于，连接交于，连接，则，
∴，此时最小，
如图3，过作的延长线于，
∵
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，，
由勾股定理得，则，
∴，
∵的最小值的值大于5，
∴点在上运动时，不存在点使；
综上所述，共有2个点使；
故选：B．
【点睛】本题考查了含的直角三角形，轴对称，两点之间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于分情况并灵活运用知识进行求解．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17. 若无理数x与的积是一个正整数，则x的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得x是含有的无理数，再根据最小的正整数是1，从而可求x的值．
【详解】∵，无理数x与的积是一个正整数，
∴x是含有的无理数，
∵最小的正整数是1，
∴x其最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，无理数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18. 已知a，b分别为直角三角形的两条直角边，且a，b满足，则_______，该三角形的周长为_______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由，可得，，解得，，由勾股定理得，第三边的长为，然后求该三角形的周长即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴由勾股定理得，第三边的长为，
∴该三角形的周长为，
故答案为：2，．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
19. 若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．

（1）学校C到铁路AB的距离是_________．
（2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______．
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________．
【答案】 ①. 240 ②. 12 ③. 60
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可；
（2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可；
（3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解．
【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，

∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即，
解得，
故答案：240；
（2）如图，

当时，正好影响学校，
∴，
∴，
∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，
∴，
故答案为：12；
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），
∴，
∴其行驶速度至少应增加到．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. （1）计算：．
（2）已知一根长16米的竹竿在离地6米处断裂，竹竿顶部B抵着地面，此时竹竿顶部B到底部C的距离为多少米？
【答案】（1）；（2）8米
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质先计算乘除，再计算加减即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
【详解】原式
；
（2）由题意得，
，
答：底部C的距离为8米．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算及勾股定理的应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．
（1）求的度数；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出、、的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，即可得出答案；
（2）根据三角形面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形．
22. 先化简，再求值：，其中
【答案】；
【解析】
【分析】先对分式进行化简，然后再代入结合二次根式进行求解．
【详解】
当时，
原式
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
23. 如图，在中，，垂足为D，点C在上，连接交于点E，且．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2.5
【解析】
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形三线合一证明，继而得出垂直平分线段，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设，则，再利用求解即可．
【小问1详解】
如图，连接，

∵，
∴，
∴垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴直角三角形，
∴．
【小问2详解】
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，，点P沿着从点A 向点B 运动若运动速度为 1个单位长度/秒，设点 P 的运动时间为t 秒．
（1）若，
①线 ， ．
②点P的坐标为 ．
（2）连接，猜想，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①2；6；②
（2）；证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据运动速度直接求出即可；根据勾股定理求出的长，即可求出的长；
②过点P作轴于点C，求出，，即可得出答案；
（2）过点P作轴于点D，求出，，，然后分别求出、、即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
∵点P沿着从点A 向点B 运动若运动速度为 1个单位长度/秒，
∴时，，
∴；
故答案为：2；6．
②过点P作轴于点C，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴点P的坐标为：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：过点P作轴于点D，如图所示：
根据题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握勾股定理，数形结合．
25. 观察下列各式：
第1个算式：；
第2个算式：；
第3个算式：；
……
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第5个算式为______．
（2）求的值．
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知得到计算规律解答即可；
（2）将计算规律的结果代入计算即可；
（3）根据规律计算即可．
【小问1详解】
解：∵第1个算式：；
第2个算式：；
第3个算式：；
……
∴第n个算式：，
∴第5个算式为；
【小问2详解】
【小问3详解】
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合计算，数字类规律的探讨，正确总结题意中的计算规律并应用规律解决问题是解题的关键．
26. 课本再现
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：
类比迁移
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为 ．
方法运用
（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．
（4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为 ．
【答案】（1）见解析；（2）13；（3）20；（4）
【解析】
【分析】（1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解；
（2）根据，即可求解；
（3）求出，进而求出，，即可求解；
（4）过点E作，过点G作，表示出，，即可求解．
【详解】（1）
∴
∴
（2）∵，
∴
∴
（3）∵，
∴
∵
∴
∴
由图易证：
∴
即：
∴
∴根据勾股定理得：
∴
∴
∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：
（4）如图：过点E作，过点G作，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查勾股定理的几何应用，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理．已知，用含a，b的式子表示．
解：，
，
．