2024届天津市和平区天津一中高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届天津市和平区天津一中高三上学期第二次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集、并集的定义依次求出即可.
【详解】由题意全集，集合，
所以.
故选：A.
2．已知，那么“是正整数”是“为正整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据正整数的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】当是正整数时，设，
而，因为，所以不一定是正整数，因此由是正整数不一定能推出为正整数；
当是正整数时，设，
而，因为，所以一定是正整数，因此由是正整数一定能推出为正整数，
因此“是正整数”是“为正整数”的必要不充分条件，
故选：B
3．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式及奇偶性的定义判断的奇偶性，再由上知的大致图象.
【详解】根据题意， ，其定义域为且，
∴，则为奇函数，排除A、D，
在区间上，，必有，排除B，
故选：C.
4．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】先得到，根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】，
又，故，解得.
故选：A
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.
【详解】由题意，，
所以的大小关系为.
故选：D.
6．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁，斜拉索和塔柱三部分组成，如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，如图2，已知拉索上端相邻两个针的间距约为，拉索下端相邻两个针的间距均为，最短拉索的针，满足，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.
【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列，
所以，，
所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.
故选：B.
7．已知函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则（ ）
A．的图象过点
B．在上是减函数
C．的图象的一个对称中心是
D．将的图象向右平移个单位得到的图象
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断即得.
【详解】由函数的周期为 ，得 ，即有，
由函数的图象关于直线对称，得，而，则，
因此，
由于，则函数的图象过点，A错误；
由于当时，函数取得最大值，而，因此函数在上不单调，B错误；
由于，因此点是函数的图象的一个对称中心，C正确；
函数的图象向右平移得的图象，与的图象不重合，D错误.
故选：C
8．设数列满足，令，则数列的前100项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得.
【详解】数列满足，
于是数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
因此，显然的周期为4，
则
，
令，则有，数列是等差数列，
数列的前100项和，即数列的前25项和.
故选：B.
【点睛】思路点睛：呈周期性的数列求和问题，先按周期求出片段和，再借助等差数列等求和公式求解即得答案.
9．在平面四边形中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知，故可建立平面直角坐标系，设出相关线段长，表示出各点坐标，结合可得所设参数的关系，利用解直角三角形求出的值，利用两角和的正切公式，即可求得答案.
【详解】由题意知，则，
故以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
故，
由于，故，
即，即，
则在中，，
同理可得，
故，
故选：C
【点睛】方法点睛：由题意向量数量积为0可得四边形对角线垂直，故可建立平面直角坐标系，利用向量运算求出各参数的关系，结合解三角形以及两角和的正切公式即可求解.
二、填空题
10．i是虚数单位，则，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据复数的乘法法则化简得到，求出.
【详解】由题意得，即，
，
故，
故答案为：
11．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】24
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.
【详解】二项式展开式的通项为，
由，得，则，所以x的系数为24.
故答案为：24.
三、双空题
12．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球，A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 ，同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球，如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，则B同学摸到红球的概率为 ．
【答案】 /0.7
【分析】先求出全是红球的概率，进而由对立事件概率公式求出3个球颜色不全相同的概率；再分别求出同学在甲箱子和乙箱子中随机摸出1个球为红球的概率，相加后得到答案.
【详解】A同学从乙箱子中随机摸出3个球，全是红球的概率为，
故3个球颜色不全相同的概率为，
同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，
从甲箱子随机摸出1个球为红球的概率为，
如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球为红球的概率为，
则B同学摸到红球的概率为.
故答案为：；.
四、填空题
13．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】变形后，利用四元基本不等式进行求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
五、双空题
14．已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ．
【答案】 1
【分析】根据投影向量的定义及数量关系得到为的中点，求出；再建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，，表达出，求出最小值.
【详解】过点作⊥于点，
因为，故，故为的中点，
故，
以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，
解得，
故，，
设，，
故
，
故当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：1，
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
六、填空题
15．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，讨论当时，，当且时，，确定函数零点只可能在且的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解.
【详解】函数的定义域为R，
当时，，
当时，，当时，，
此时函数无零点；
当时，，
当时，若，则，于是，
若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增，
，，
即当且时，，函数无零点；
于是只有当且时，函数才有零点，
当，即时，，
当时，函数，当时，，
当时，函数取得最小值，而当时，，
显然当，即时，函数有两个零点，
要函数恰有4个零点，必有，
当时，函数的图象对称轴，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
显然，
而，
因此函数在、上各有一个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.
七、解答题
16．在中，分别为三个内角的对边，若 的面积为，，．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合可求 ，结合范围 ，可求的值，利用三角形的面积公式可求的值，结合已知可求的值，根据余弦定理，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可得，利用二倍角公式可求的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．
【详解】解：（Ⅰ）由题可知，在中，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，∴，
∴，解得： ，
又，
解得：，
又余弦定理可得：，
解得：，
∴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
∴，
，
∴
.
【点睛】本题考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．
17．如图，在四棱台中，，四边形和都是正方形，平面，点为棱的中点
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；
（3）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：连接，在四棱台中，且，
又四边形是正方形，故,
点为棱的中点，则,
故,即四边形为平行四边形，
则，平面，平面，
故平面；
（2）由于平面，四边形是正方形，
以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由于，则，
则，
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
平面的一个法向量为，
故，
由图知平面与平面所成角为锐角，
故平面与平面所成角的余弦值为.
（3）由（2）可知，
则,
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
设点到平面的距离为d，则.
18．设是等差数列，其前项和为是等比数列，公比大于0，其前项和为，已知
(1)求和的通项公式
(2)若，求正整数的值
(3)设，求的前和
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式构建方程组，解方程组即可得答案；
（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式化简，再求n值；
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
所以，，
所以，.
（2）由题意得，，
所以，
，
，
所以，化简得，解得或；
（3），
所以 ，
所以，
两个等式相减得， ，
所以 ，
所以 .
八、证明题
19．已知数列满足，数列的首项为2，且满足
(1)求和的通项公式
(2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围．
(3)设，证明：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据的关系即可作差得，根据等差数列的性质可求解.
（2）根据的单调性，即可求解.
（3）利用放缩法得，即可结合裂项求和求解.
【详解】（1）由可得：
时，，
相减可得，故，
当时，也符合上式，故，
由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以，则.
（2）由和可得，
记，则，
所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而,
由于集合M的元素个数为2，所以，故.
（3）由得，，
由于，
因此
.
20．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间和最值；
(2)证明：函数有且只有一个极值点；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调区间和最值即得；
（2）求出的导函数取通过讨论的三种不同范围，结合零点存在定理证明三种情况下函数有且只有一个零点，得到函有且只有一个极值点；
（3）设导函数的零点，由整理得出：从而，取，将分子整理成关于的一个二次函数形式，通过证明其对应方程判别式小于等于零得出分子大于等于零，得出，故得.
【详解】（1）由求导可得：
因故，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
所以函数的单调递增区间为，递减区间为，最小值为，无最大值.
（2）因，其定义域为，
取则，因故，则在上单调递增，
①当时，故函数在内有且仅有一个变号零点，
则此时，函数有且仅有一个极值点；
②当时，因因在上单调递增，故函数有且仅有一个变号零点，
则此时，函数有且仅有一个极值点；
③当时，，又因，，，即，
故函数在内有且仅有一个变号零点，则此时，函数有且仅有一个极值点；
综上所述，函数有且仅有一个极值点.
（3）由（2）可知，当时，函数有且仅有一个零点，设为，则
又由（2）函数有最小值为.
由可得：，即两边取自然对数得：，
故
于是
，不妨设则，故得，则，
对于函数，其对应方程的判别式，
设，则恒成立，
故函数在上单调递增，则，即，
从而，于是，
故有恒成立，故恒成立，所以
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点，导数的应用以及不等式恒成立问题.
第（2）题的关键在于，要找到的临界点进行分类讨论；
第（3）题的关键在于将不等式恒成立问题转化为函数的最小值问题.对于函数的零点问题，一般通过图像分析零点的情况，结合导数、函数的单调性等性质证明或求解.当证明恒成立问题时，常常转化为求的最小（大）值，通过证明最小(大)值为大于等于零（小于等于零）进行证明.