2024届天津市第七中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届天津市第七中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用补集和交集的定义即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以．
故选：C.
2．已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若，则，则成立．
而当且时，满足，但不成立；
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3．设,,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据,,的单调性,分别判断的大概范围,即可得出大小.
【详解】解:由题知,,,
因为在定义域内单调递减,
所以,
即,
因为在定义域内单调递增,
所以,
即,
因为在定义域内单调递增,
所以,
即,
综上:.
故选:D
4．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
5．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出满足的等量关系式，求解即可.
【详解】因为在双曲线的一条渐近线上，
故可得；
因为抛物线的准线为，故，
又；解得，
故双曲线方程为：.
故选：D.
6．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，则由题意可得，从而可求得，作出轴截面如图，利用与相似可求出，从而可求出圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，得，即，
所以，
所以，
因为∽，所以,
所以，得，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为
，
故选：A
7．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，，则
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5
C．将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变
D．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
【答案】C
【分析】A.根据随机变量求解判断； B.利用百分位数定义求解判断；C.利用平均数和方差公式求解判断； D.利用相关系数越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强判断.
【详解】A.因为随机变量，所以，因为，所以，则，所以，故错误；
B.数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5.5，故错误；
C. 设一组数据为，则平均数为，方差为，将数据中的每一个数据加上同一个常数后为，则平均数为，方差为，
，所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故正确；
D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故错误；
故选：C
8．数列的前项和为,,则数列的前50项和为
A．49B．50C．99D．100
【答案】A
【详解】试题分析：当时，；当时，,把代入上式可得.综上可得.所以.数列的前50项和为.故A正确.
【解析】1求数列的通项公式;2数列求和问题.
9．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①函数的最小正周期为；
②是函数图象的一个对称中心；
③函数图象的一个对称轴方程为；
④函数在区间上单调递增
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先根据三角函数图象变换求得，然后由三角函数的最小正周期、对称中心、对称轴、单调性等知识确定正确选项.
【详解】，
，
.
①，的最小正周期为，①错误.
②，， ②正确.
③，，③错误.
④，，所以函数在区间上单调递增，④正确.
所以正确的一共有个.
故选：B
二、填空题
10．已知复数，的共轭复数为，则 .
【答案】1
【分析】根据共轭复数的概念，先求出复数的共轭复数，再根据复数的乘法运算，即可求出结果.
【详解】复数的共轭复数为
所以.
故答案为：1.
【点睛】本题考查了共轭复数的概念，以及复数的乘法运算，属于基础题.
11．已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点，且，则圆C的标准方程为: .
【答案】
【详解】依题意可知抛物线的焦点为（1，0），∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．
所以圆心坐标为（0，1），∴，圆C的方程为，故答案为.
12．已知，则 ．
【答案】2
【分析】由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.
【详解】∵
∴，
∴
故答案为2
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.
13．已知正实数a，b满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．
【详解】正实数a，b满足2a+b=3，
∴2a+b+2=5，
则=2a++=2a+b+2+﹣4
=1+=1+（）[2a+（b+2）]
=1+（4+）=，
当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，
即的最小值是．
故答案为
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
14．如图，在菱形中，，E、F分别为、上的点．，，点M在线段上，且满足， ；若点N为线段上一动点，则的取值范围为 ．
【答案】 ,．
【分析】根据模长公式即可由数量积的运算律求解空1，用基底，表示，，然后求数量积，再由函数性质得出取值范围．
【详解】由可得，
所以,
设，,，
，
所以，
，
所以
，
因为,，所以,，
故答案为：；,．
15．已知函数，函数有个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得函数的解析式为，
绘制函数图像，易知满足题意时函数与函数有个交点，考查临界情况，求得直线与函数相切时切线的斜率即可确定实数的取值范围.
【详解】设，则，故，
即，
绘制函数图像如图所示，
函数有个零点
则函数与函数有个交点，
如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，
设切点坐标为，由题意可得：，解得：.
则直线与函数相切时斜率为，
数形结合可知实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查分段函数及其应用，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
16．在钝角中，角，，所对各边分别为，，，已知，，．
(1)求边长和角的大小；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理和正弦定理计算作答.
（2）利用二倍角公式和差角的正弦公式计算作答.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得，
，由正弦定理得：，
由得，又是钝角三角形，则A为钝角，于是得，
所以，.
（2）由（1）知，，，
所以.
17．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于.
(1)求证：；
(2)当为中点时，求点到平面的距离；
(3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或2.
【分析】(1)先证明线面平行，再由线面平行的性质定理可证；
(2)建立空间直角坐标系，用向量法可解；
(3)利用比值设点M坐标，然后用向量法可得.
【详解】（1）因为矩形，所以，
平面，平面，
所以平面.
因为过的平面交平面于，
由线面平行性质定理，得；
（2）由平面⊥平面其交线为，平面
所以⊥平面
又四边形为矩形，所以以A为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系.
由 ，得，，则
设平面法向量，则即，取得.
因为，所以点到平面的距离；
（3）设因为，即，则，
设平面法向量，则
即，取得
记平面与平面的夹角为，
因为⊥平面，所以，
解得或2.
即或2.
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率是，短轴长为2，若点A，B分别是椭圆E的左右顶点，动点，，直线交椭圆E于P点.
（1）求椭圆E的方程
（2）①求证：是定值；
②设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.
【答案】（1）（2）①见解析；②1
【分析】（1）由已知可得的值，再由离心率得到关系，转化为关系，即可求出椭圆方程；
（2）①由（1）得，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得出坐标，即可证明结论；
②，将表示为关于的函数，进而得出关于的函数，整理利用的范围，即可求解.
【详解】（1）∵短轴长为2，∴，
∵
∴，∴椭圆方程为
（2） ①法一：∵ 设：
∴∴
∴ ∴
∴
∴
∴
②∵
∴
当时等号成立，
∴的最大值为1
法二：①设：


∴
其中，，
∴，，
∴
②
∴
由于，所以直线的斜率
∴的最大值为1，当且仅当等号成立.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，以及定值最值问题，考查计算求解能力，属于中档题.
19．已知等差数列的前项和为，且，.数列为等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求.
(3)求证：.
【答案】(1)，；
(2)
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）求出公差和首项，得到等差数列的通项公式，进而求出首项和公比，求出通项公式；（2）错位相减法求和；（3）对变形得到，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列公差为，由得：
，
因为，所以，
联立得：，所以；
则，，
设的公比为，则，，
所以，则，
所以；
（2）故，
①，
②，
①－②得：，
所以
（3），
所以
.
20．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【分析】（1）对函数求导，求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得在点的切线方程；（2）原方程等价于，对求导得到函数单调区间,可知当时，；当时，,结合单调性可得到实数的取值范围；（3）对函数求导，可得，恒成立恒成立，将用替换，并构造函数，对求导可求得函数在上的最小值，即可知道实数的取值范围.
【详解】(1)当时，有,
，
,
过点的切线方程为，即.
（2）当时，有，其定义域为，
从而方程,可化为，令，
则，
由或,
在和上单调递增，在上单调递减，
且，
又当时，；当时，,
关于的方程有唯一实数解，所以实数的取值范围是或.
（3）的定义域为，
令,
又因为函数有两个极值点，
有两个不等实数根，
，且，
从而,
由不等式恒成立恒成立，
，
令,，
当时恒成立，所以函数在上单调递减，，故实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的零点以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.