2024届山东省菏泽市菏泽一中高三上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2024届山东省菏泽市菏泽一中高三上学期11月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数（是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算化简，并判断虚部.
【详解】复数，
复数的虚部是1，
故选：A．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A，B，再进行交集运算即可.
【详解】解分式不等式得，故，
使对数型函数有意义，则一元二次方程，即得，故，
所以.
故选：A.
3．设向量，满足，，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用和解出，再求
【详解】解：因为向量，满足，，
所以，
可得，
所以．
故选：B．
【点睛】利用可实现向量与向量的模的互化.
4．已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是（ ）

A．f (x)＝B．f (x)＝
C．f (x)＝－1D．f (x)＝x－
【答案】A
【解析】根据图象的对称性，结合函数极限，即可容易判断和选择.
【详解】由函数图象可知，函数f (x)为奇函数，
而中，是非奇非偶函数，是偶函数，
应排除B，C.
若函数为f (x)＝x－，则x→＋∞时，f (x)→＋∞，排除D；
故选：.
【点睛】本题考查由函数图象选取函数解析式，涉及函数奇偶性的判断以及极限，属综合基础题.
5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题先判断每天走的里数是以为公比的等比数列，再根据求出，最后运用通项公式即可解题.
【详解】解：由题意可知，每天走的里数是以为公比的等比数列，
由题意可得，，
故，
∴.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的前项和公式与等比数列的通项公式在实际问题中的应用，是基础题.
6．已知为等比数列，若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：由等比数列可求得，再由和求得.
法二：由等比数列的性质，等比中项求得.
【详解】法一：为等比数列，且
，
法二：为等比数列
【点睛】本题考查等比数列求公比和其中一项的值，等比中项，属于简单题.
7．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由解析式先判断函数的奇偶性，再结合极限思想进行排除即可．
【详解】函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，，
当且，，排除.
故选：A.
【点睛】本题主要函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，对称性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键，考查数形结合思想的应用.
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再把转化为自变量的关系，进而可解得的取值范围.
【详解】当时，，所以在上单调递减且.
又是定义在上的奇函数，，
所以在上单调递减.
由，可得，则，
所以，即，解得或.
故选:A.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性求解函数不等式.一般思路是先判断函数的单调性，再把函数不等式转化为自变量的关系.
二、多选题
9．关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的表达式可改写为
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BD
【解析】根据周期公式求出周期，不正确；根据诱导公式可知正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】对于，根据周期公式可得，故不正确；
对于，，故正确；
对于，因为，故不正确；
对于，因为，故正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了正弦型函数的周期、对称轴、对称中心，考查了诱导公式，属于基础题.
10．已知函数．则下面结论正确的是（）
A．是奇函数B．在上为增函数
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】由奇偶性的定义可判断函数的奇偶性，再由导数可判断在上为增函数，再由可判断C，由可得，结合单调性可得解.
【详解】函数的定义域为，
由，得是偶函数，故A不正确；
当时，，，
所以在上为增函数，故B正确；
因为是偶函数，所以，
又，所以，故C正确；
由可得，且在上为增函数，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，利用偶函数性质是解题的关键，属于中档题.
11．已知函数部分自变量，函数值如下表示，下列结论正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数图象的一条对称轴为
C．是函数图象的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位使得的函数为奇函数
【答案】BCD
【解析】首先根据表格，利用最值求和，再根据周期求，以及根据最小值点求，求得函数的解析式，再分别代入和，判断BC选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.
【详解】由表格可知，， 函数的最大值是5，所以，即，
当时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是，所以，
当时，，解得：，，
，所以函数，故A不正确；
B.当时，，能使函数取得最小值，所以是函数的一条对称轴，故B正确；
C.当时，，此时，所以是函数的一个对称中心，故C正确；
D.函数向左平移个单位后，再向下平移2个单位后，得，函数是奇函数，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.
12．下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】先构造函数，则，根据导数的方法判定其单调性，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】构造函数，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以当时，取得最大值.
A选项，，
由可得，故A正确；
B选项，，由，
可得，故B错误；
由可推导出，
即，即，则，即，所以，故C正确；
D选项，因为，
所以，所以，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于构造函数，先利用导数的方法判定函数的单调性，求出最值，即可结合选项求解.
三、填空题
13．在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】由题意可得、，再由裂项相消法求和即可.
【详解】∵，，
∴，即，则.
∴，故.
∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝1－＝.
故答案为：.
四、双空题
14．已知函数且，则 ，曲线在处的切线斜率为 .
【答案】
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，将代入可求，再求出即可.
【详解】由，则，
由，即，解得，
∴，则，
∴，故在处的切线斜率为：0.
故答案为：，0；
五、填空题
15．已知向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】先由向量垂直的坐标表示，求出，得到的坐标，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】∵，则，解得，
∴，则，
故.
故答案为：.
16．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可．
【详解】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，则不等式等价为不等式，
∴，即，可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
六、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求图中阴影部分；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可.
（2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围.
【详解】（1）时，有，由韦恩图知，，又，
∴或，
∴.
（2）当时，，解得，此时成立；
当时，由，有，解得；
综上，实数的取值范围是.
18．已知△的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)判断三角形△的形状；
(2)记线段上靠近点的三等分点为，若，，求.
【答案】(1)等腰三角形；
(2).
【分析】（1）由已知，结合正弦定理可得，根据即可判断形状.
（2）应用余弦定理，结合有求，即可求.
【详解】（1）∵，由正弦定理得，整理得.
∴由，可得，即三角形为等腰三角形.
（2）设，则，
由余弦定理得：，，而，
∴，解得，
∴.
七、应用题
19．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某水果树的单株产量（单位千克）与施用发酵有机肥费用（单位：元）满足如下关系：，这种水果树单株的其它成本总投入为元.已知该水果的市场售价为元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)；
(2)当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元.
【分析】（1）由，结合已知解析式求的解析式；
（2）应用二次函数的性质、分式型函数最值的求法求最值，比较所得最值的大小即可知最大利润及其对应的费用.
【详解】（1）由题意得：，即，
∴化简得 ．
（2）当时，的对称轴且开口向上，
∴；
当时，，当且仅当，即时取等号，
综上，当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为380元．
八、解答题
20．如图，已知长方体的体积为4，点A到平面的距离为．
(1)求的面积；
(2)若，动点E在线段上移动，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据长方体体积与三棱锥的体积关系，结合已知条件，即可求得结果；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，从而求得点到到直线的距离，建立三角形的面积关于的竖坐标之间的函数关系，求函数值域即可.
【详解】（1）由题知：
设点到平面的距离为，则，
因为，所以.
（2）由题知：，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系：
则，
设，则，
则直线的单位方向向量为
则点到直线的距离为
所以的面积
所以面积的取值范围为.
九、证明题
21．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若函数，，．证明：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数分类讨论求出的单调区间作答.
（2）利用（1）的结论可得不等式，赋值并结合同角公式推理作答.
【详解】（1）函数的定义域，求导得：，
当时，有，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，有，，函数在上单调递增，
当时，有，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是，，递减区间是；
当时，函数的递增区间是，
当时，函数的递增区间是，，递减区间是.
（2）由（1）知：，函数在上单调递增，当时，，
即当时，，而，，
所以
，
所以不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，可以探讨已知函数的单调性、极(最)值，构造不等式，再赋值推理作答.
22．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若，对任意正实数x恒成立，求正实数b的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性与导数关系，转化为求函数最值，即可证明不等式；
（2）根据函数结构将不等式变形，利用同构思想，，
构造为，构造函数，
再令结合单调性，即可求解正实数b的取值范围．
【详解】（1）解：若，则，，
所以.
令，所以，
当时，，；
当时，，，；
所以，对恒成立，
所以，在上单调递增.
又因为 ，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
又因为，所以.
（2）解：若，则，
由，
得，
令，
再令，则，
若，令，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，，得和，
则，满足题意；
若，则，不合题意，
若，因为在上单调递增，
且，
所以存在，使得，
即，即，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以
，
综上，数的取值范围是.
【点睛】本题是函数与导数综合应用，本题的关键点是利用指数对数同构，解决指对混合不等式恒成立问题求参数取值范围，通过构造函数模型，将不等式转化为性质，以实现简化代数关系，求解问题的目的；特别需要整理的是对于指对同构问题的式子，是同构成同底数的指数式还是对数式，例如或，还得结合函数单调性综合考虑，属于难题.