2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第97中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第97中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，作图题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由对应复平面的象限得出且，再结合三角函数的定义作出判断.
【详解】因为复数对应的点位于第二象限，所以且
则角的终边在第四象限
故选：D
2．已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.
【详解】由于，故时，则且，
若中只有一个元素，
①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去；
②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去，
当时，则符合题意，
综上可知：或，
故选：D.
3．某高中在校学生2000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人.为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中，
全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取（ ）
A．36人B．60人C．24人D．30人
【答案】A
【分析】先计算得全校参与跑步的人数占总人数的，从而可计算处样本参与跑步的人数，再利用分层抽样比例计算得答案.
【详解】由题意，全校参与跑步的人数占总人数的，所以样本参与跑步的人数为人，
则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为人.
故选：A
4．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【分析】令，得到其为奇函数，从而，故，求出.
【详解】，则，
令，定义域为，
则，故为奇函数，
所以，
即，故.
故选：D
5．椭圆：的左右顶点分别为，，点是上异于，的任意一点，且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆的性质求得顶点坐标，设出点P的坐标，化简斜率的表达式，再利用已知条件，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，所以，
设，则，且，所以，
把代入上式，可得，
又因为直线斜率的取值范围是，
所以直线斜率的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线的斜率公式等基础知识的应用，着重考查了函数与方程思想，以及运算能力，属于基础题.
6．“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据函数单调递增，得到导函数大于等于0，从而求出，
由，但得到答案.
【详解】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，
所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
7．已知，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由确定范围，利用半角公式求解即可
【详解】，，，，，
故选D.
【点睛】本题考查同角三角函数的求解，半角公式的使用，属于基础题
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第四天走了（ ）
A．24里B．48里C．96里D．192里
【答案】A
【分析】根据等比数列的前项和公式及通项公式直接求解.
【详解】设第天走的路程里数为，
因为从第二天起，每天走的路程为前一天的一半，
所以是公比为的等比数列，设其前项和为，
因为6天走完378里路，所以，
由等比数列前项和公式得，所以，
所以，
即第四天走了24里路.
故选：A.
二、多选题
9．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为是底面圆周上的两个动点，则（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．圆锥的母线长为2
C．可能为等腰直角三角形
D．面积的最大值为
【答案】BD
【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，得高，确定圆锥轴截面的顶角的大小，计算侧面积，截面面积判断各选项．
【详解】设圆锥母线长为，由题意，，B正确；侧面积为，A错，
显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为，因此的顶角，不可能为直角三角形，C错；
轴截面面积为，因此面积的最大值为，D正确．
故选：BD．
10．设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为（为坐标原点）
【答案】BC
【分析】设，利用焦半径公式求出，进而求出，并结合，求出，即可判断A；求出三点的坐标，从而求出向量，的坐标， 即可判断B；已知两点坐标，且，利用斜率公式可得，即可判断C；由，求出的面积，即可判断D.
【详解】
如图，设，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故选项A不正确；
由上述分析可知，
又容易知，
则，，
故成立；
故选项B正确；
；
故选项C正确；
，
故选项D不正确；
故选：BC．
11．已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】方程根的问题等价于函数零点问题，利用函数图象进行处理.
【详解】由题得，函数的大致图像如图：
方程一定有两实数根，故 ，
所以不一定成立，
由图可知：必有，，所以C，D一定成立，
若，方程的根为，
此时，所以此时不成立.
故选：CD.
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.
【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，
对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，
对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，
对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．向量，满足，，，则 .
【答案】
【分析】由题设条件可得，，，联立可得，即，即可得解.
【详解】由题意，，，
，，
，
.
故答案为：.
14．一个正四棱台斜高是12cm，侧棱的长是13cm，侧面积是720cm2，则它的高是 ．
【答案】
【分析】作出图形，利用侧棱，斜高可得上下底边长之差，再利用侧面积列方程得到底边长， 最后利用直角三角形求高 ．
【详解】解：如图，在中，,，
可得，
设，
则，
得，
在中，
，，
可得，
即四棱台的高为，
故答案为．
【点睛】此题考查了四棱台侧棱，斜高，底边，高之间的关系，属于基础题．
15．在平面直角坐标系中,直线与圆相交于,两点,则弦的长等于 .
【答案】
【解析】因为圆,可得其圆心为:,半径,求出圆心到直线的距离,画出几何图形,利用勾股定理,即可求得答案.
【详解】连接,过作垂直,
根据题意画出几何图形:
圆,
可得其圆心为:,半径,
设圆心到直线的距离为
根据点到直线的距离公式可得:
在中,根据勾股定理可得:

故答案为:
【点睛】本题考查了求圆的弦长,解题关键是掌握圆的基础知识和点到直线距离公式,画出图形,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16．若 中，，则的形状为 .
【答案】直角三角形
【分析】三角形的内角关系，结合两角和差的正弦即可.
【详解】中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：
，即，
或（不合题意，舍去），
又
，
则此三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形
四、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；
（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.
【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，
∵ ，∴，
∵∴，∵∴.
（Ⅱ）的面积，
由及余弦定理得，
又，故，当且仅当时，等号成立.
∴面积的最大值为.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．数列是单调递增的等差数列，，是方程的两实数根；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将看成一个整体，利用一元二次方程的解法、等差数列的通项公式即可得出；
（2）先利用对数恒等式解得，再利用等比数列求和即可得出．
【详解】（1），
∴或4，
，，
又是递增的等差数列，
所以， ，公差d=，所以.
（2），
.
【点睛】本题考查了指数与二次的复合方程的解法、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
五、作图题
19．随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.
（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在以及内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽取的3人中，年龄在内的人数为，求的分布列以及数学期望.
【答案】（1）250；（2）详见解析.
【解析】（1）先求出年龄在40岁以上（含40岁）的市民的频率，然后根据比例关系可得人数；
（2）先确定的可能取值，然后分别求解概率，可得分布列和期望.
【详解】（1）依题意，所求人数为.
（2）依题意，年龄在以内及以内的人中分别抽取6人和4人；
故的可能取值为0,1,2,3；
，，，；
故的分布列为：
故.
【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，明确随机变量的可能取值及概率是求解的关键，侧重考查数据处理的核心素养.
六、证明题
20．如图，在多面体中，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，，分别是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直证明，利用余弦定理和勾股定理证明，可证得平面；
（2），利用等体积法求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，
因为，且平面，，所以平面，
因为平面，所以.
因为，且，
由余弦定理，
所以，所以.
因为平面，且，所以平面.
（2）取的中点，连接，如图所示，
因为分别是的中点，所以，且平面.
因为分别是的中点 ，所以，则.
由（1）可知，则.
因为，所以， .
因为，由余弦定理.
因为，所以，则，
故的面积为.
设点到平面的距离为，
因为，所以，解得.
所以点到平面的距离为.
七、解答题
21．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知得，且，再结合求出，进而可得双曲线的方程；
（2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.
【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
得，且，又，
解得,
所以，
所以双曲线方程为.
（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，
设，
由，得，
所以，
所以.

22．已知函数（）．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若对任意，恒成立，求整数a的所有取值．
【答案】(1)函数在上是减函数，在上也是减函数；
(2).
【分析】（1）由题可得，构造函数利用导数可判断函数的正负，即得；
（2）当时，，构造函数，可得整数，当时，，利用导函数求最小值，进而可得.
【详解】（1）当时，，
∴，
设，，
∴，
当时，，单调递增，，故，
当时，，单调递减，，故，
∴函数在上是减函数，在上也是减函数；
（2）当时，等价于，
令，因为，
∴，又，，
∴整数；
当时，等价于，
，
设，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，
∴存在唯一的实数，使得，即，
∴当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，，
因为，，
∴，又，
∴，
故整数，
综上所述，整数a的所有取值为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
0
1
2
3