2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，求对数函数的定义域求出集合B，然后利用集合的交运算即可求解.
【详解】集合，
，
则.
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法、对数函数的定义域，属于基础题.
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的运算求出复数，然后利用复数的几何意义即可求解.
【详解】因为复数z满足，
则，在复平面内z对应的点为，
所以在复平面内z对应的点位于第四象限，
故选：.
3．设向量，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得结果.
【详解】因为，即，所以，，解得，，
因此，.
故选：C.
4．在上是增函数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二次函数的单调性可得：函数的减区间为，增区间为，由集合的包含关系得：，运算即可得解.
【详解】解：因为，
则函数的对称轴方程为，
则函数的减区间为，增区间为，
又在上是增函数，
所以，
即，
解得，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的单调性及集合的包含关系，属基础题.
5．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，得到这两条切线的交点在蒙日圆上，再建立关于的方程，即可求解.
【详解】
如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，
所以，所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：D
6．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由，得，再利用，结合正弦的和角公式可求得答案.
【详解】解：由，得，则，
又，，所以，所以，则，
又.
故选：D.
7．“”是“函数为偶函数”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】若则函数
是偶函数；若函数
是偶函数，则
对定义域内任意x恒成立；
即恒成立；所以
恒成立
不恒成立，舍去；所以
故选A
8．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．
【详解】因为，
故可得，
由，故可得，
令，可得，
则或或或，，
因为在上有且仅有三个解，
，解得．
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
二、多选题
9．给出以下26个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A．众数为163.0B．第25百分位数为155.0
C．中位数为160.0D．80%位数为164.0
【答案】ACD
【分析】将数据从小到大排列，根据众数，中位数，25，80百分位数的定义，确定所求数据，即可求解.
【详解】把26个样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
可知众数为163.0，中位数为
由，，
可知样本数据的第25， 80百分位数为第7， 21项数据，分别为155.5， 164.0.
故ACD正确，B不正确.
故选：ACD
10．（多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由已知可得，，有，依据基本不等式即可知，进而可知、、的范围.
【详解】由题意知：，，
∴，即，
∵，
∴，
，
，
故选：ABD
【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.
11．机械制图中经常用到渐开线函数，其中的单位为弧度，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上恰有个零点（）
C．在上恰有个极值点（）
D．当时，
【答案】ABD
【分析】利用函数奇偶性定义判断作答；换元求出每个定义区间内的零点个数判断B；利用极值的定义判断C；构造函数，利用导数推理判断D作答.
【详解】函数的定义域为，显然和均为奇函数，因此是偶函数，A正确；
当时，令，，函数在上单调递增，当时，，
即函数在上唯一零点，当时，令，，
则，令，，
函数在上单调递增，值域为R，直线与，的图象有唯一交点，
因此函数在有唯一零点，所以在上恰有个零点（），B正确；
由选项B知，函数在上为增函数，因此不存在极值点，C错误；
令函数，求导得，
当时，设，，求导得，函数在上递减，，
即，因此在是单调递增，，即，D正确.
故答案为：ABD
12．四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果.
【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.
（1）
如图，四条侧棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，连接交于点，连接，
则平面，是四棱锥的高，
则，，
所以，
四棱锥的高为；
（2）
如图，有两条侧棱长为，
作平面，记，，是四棱锥的高，
于是，，
且.
解得，.
四棱锥的高为；
（3）
如图，三条侧棱（、、）长为，一条侧棱，
，，
设与交于点.记.
由等腰三角形三线合一可得：,
平面，平面，，
则平面，
因为平面，所以平面平面，
过O作，因为平面平面,
所以平面，是四棱锥的高，
则有，，.
因为，
于是，.
将前面的结果代入上式，
解得或.
显然，故.
，
在中，
由余弦定理得,
，
，
四棱锥的高为.
故选：ACD.
三、填空题
13．现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动，每个路线至少1人，至多2人，其中甲同学不选深圳路线，则不同的路线选择方法共有 种．（用数字作答）
【答案】.
【分析】根据题意，分为甲同学单独1人和甲同学与另外一个同学一起，两类情况讨论，结合排列、组合，即可求解.
【详解】每个路线至少1人，至多2人，则一个路线1人，另外两个路线各2人，
若甲同学单独1人时，有种不同的选法；
若甲同学与另外一个同学一起，则有种不同的选法，
则不同的选择方法有60种．
故答案为：.
14．已知一圆台的高为3，下底面面积是上底面面积的4倍，若圆台的体积为，则该圆台的母线长为 ．
【答案】
【分析】先利用题给条件求得圆台的上、下底面半径，进而求得该圆台的母线长.
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，，
因为下底面面积是上底面面积的4倍，所以，则，
由圆台的高为3，体积为，可知，
解得，则，
如图所示，过A作的垂线，垂足为C，则，
，，
又，故圆台的母线长．

故答案为：
15．函数在区间内恰有30个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，由正弦函数的周期性可得的零点，可得的零点相离间隔依次为和，由零点个数是30可得的最小值为，可得到所求范围．
【详解】令，求得，
即有或 ，，
得 或，，
故函数的零点为或，，
可得的零点相离间隔依次为和，
∵在上恰有30个零点，
∴的最小值为，
∵，
∴的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查正弦函数的零点，考查方程思想和运算能力，掌握正弦函数的性质是解题的关键，属于中档题．
16．已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，设，结合利用余弦定理可得，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可
【详解】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得
故答案为：
四、证明题
17．在ABC中，, sinB=.
1. 求sinA的值；
2.设AC=，求ABC的面积.
【答案】【小题1】; 【小题2】ABC的面积为.
【详解】（1）由，且，∴，
∴，
∴，又，∴
（2）如图：
由正弦定理得
∴，
又
．
∴ .
18．已知：矩形，且，分别是、的中点，为中点，将矩形沿着直线折成一个的二面角，如图所示：
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意可证明平面，即得为正三角形，由面面垂直证明平面，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，即可得出结论；
（2）利用空间向量求解平面的一个法向量，利用空间向量求解线面角即可.
【详解】解：（1）：连结、，∵，分别是矩形边、的中点，
∴，， ∴平面
∴为二面角的平面角，则
∴为正三角形，即几何体是正三棱柱，取中点，连结，则
∵正三棱柱中，平面平面，∴平面
取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，
则，,
∴
∴ ∴
（2）解：设平面的法向量为，与平面所成角为，
∵，
∵， ∴
∵ ∴，令 得为平面的一个法向量
由（1）得
与平面所成角的正弦值为.
所以与平面所成角的正弦值为.
19．已知函数．
(1)当时，求证：恒成立；
(2)令，当时，求函数在上的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）当时，对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式恒成立；
（2）对函数求导，当时，利用导数判断出函数的单调性和端点值，可得零点个数.
【详解】（1）证明：当时，，则，
令，则恒成立，
∴在上单调递增，
∴，即恒成立，
∴在上单调递增，
∴，得证．
（2），
则，
当时，在上递增，
∴存在，使得，
∴时，单调递减，时，单调递增，
又，
故存在唯一的零点，使，
即函数在上的零点个数为1．
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的零点个数，解决本题的关键点，当时，利用导数判断出函数的单调性和端点值，结合零点存在性定理可得零点个数，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
五、解答题
20．设数列满足，，且对任意，函数满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，根据，即可推得，所以是等差数列.然后由已知求得，即可得出数列的通项公式；
（2）由（1）可推得，根据分组求和，分别求出等差数列以及等比数列的前项和，即可求得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，，
所以是等差数列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）因为，
所以
六、应用题
21．假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为,若一周5个工作日内无故障,则可获得利润10万元;仅有一个工作日发生故障可获得利润5万元; 仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损;有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元.求:
(1)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字);
(2)一周5个工作日内利润的期望.
【答案】(1);(2)万元.
【分析】（1）利用二项分布概率计算公式，计算出所求的概率.
（2）根据（1）中的表达式，结合题意，求得的分布列，并求得数学期望.
【详解】（1）用
表示一周5个工作日内机器发生故障的天数,则
.
.
(2)用表示利润,则的所有可能的值为10,5,0,-2.
,; ;
.
所以的分布列为:
所以利润的期望为万元.
【点睛】本小题主要考查二项分布概率计算公式，考查分布列的求法，考查离散型随机变量期望的求法，属于中档题.
七、解答题
22．已知函数.
（1）当时，求在上的值域；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，判断出的单调性，即可求出最值，即求出值域；
（2）分离参数得，令，求出的导数，判断其单调性，求出在的最大值，即可求出a的范围.
【详解】（1）当时，，所以，
所以在上单调递增，
因为，，
所以在上的值域为；
（2）由，得.
令，
所以，
令，则，
因为，所以，所以在为减函数，
所以对，有.又因为，，所以，
所以在为增函数，，因此只需，
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查导数的应用，考查导数判断函数的单调性以求值域，考查分离参数解决恒成立问题，属于综合题.
10
5
0
-2
0.328
0.410
0.205
0.057