还剩15页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套2024届高三模拟考试数学试题含答案
成套系列资料，整套一键下载
2024届山东省青岛市莱西市高三上学期教学质量检测（一）数学试题含答案
展开
这是一份2024届山东省青岛市莱西市高三上学期教学质量检测（一）数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】因为集合，，
因此.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：C.
3．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义得到，再利用诱导公式求出答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
.
故选：A
4．已知奇函数在上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据条件确定函数的奇偶性及单调性，然后比较大小.
【详解】因为是上的奇函数，
所以，且，
所以，即是上的偶函数，
又在上是增函数，所以时，，，
于是时，，
则偶函数在上是增函数，
又，，且，
所以.
故选：D.
5．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.
【详解】根据题意在上的投影向量为，
，
故选：A.
6．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】关于x的方程有实数根，则，
故，即，
又，所以，即向量，共线，反之也成立，
因此两者应为充要条件．
故选：C．
7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，先求出的夹角，在直角三角形中，得出点到直线的距离.
【详解】解：根据塹堵的定义，建立以点为原点的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，
所以，
所以，
设点到直线的距离为，
所以，解得.
故选：B.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ）
A．4048B．－4048C．2024D．－2024
【答案】D
【分析】求出函数的周期，然后对所求式分奇偶讨论分别进行计算即可.
【详解】由已知，，
所以，
所以函数的周期为，
又，
所以，
所以，
又，
所以，则，
所以，，
，
，
所以
.
故选：D.
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】逐一确定奇偶性和单调性即可.
【详解】对于A：，其定义域为，
则，奇函数，
又，故在单调递增，A正确；
对于B：，其定义域为，
则，偶函数，B错误；
对于C：，其定义域为，
则，奇函数，
又在上单调递增，在上单调递增，故在单调递增，C正确；
对于D：，其定义域为，
则，奇函数，
又，故在不可能单调递增，D错误.
故选：AC
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数图象的一条对称轴．
B．函数在上单调递减．
C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为．
D．在上有2个零点，则实数a的取值范围是．
【答案】BC
【分析】将函数化简为，结合三角函数的性质，逐一分析判断即可.
【详解】结合题意：，
化简为：.
对于A选项：令，解得易验证不是对称轴，故A错误；
对于B选项：当时，，
结合三角函数的性质可知，在上单调递减，故B正确；
对于C选项：
因为，所以，
要使在上的最小值为，则，即，故C正确；
对于D选项：由，得，
要使在上有2个零点，则，解得，
故D错误.
故选：BC.
11．在中，点是边的中点，是边的三分之一分点，（靠近点的）， 与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，点是边的中点，是边的三分之一分点，
可得，所以A正确；
设为的中点，连接，则，
在中，因为分别为的中点，可得且，
在中，由分别为的中点，且，可得，
所以，所以，
所以，所以B正确；
由，可得且，
则，且，
所以，所以C不正确；
由，，
且，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
12．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先求出，令，由题可得有两个解，，即有且仅有两个零点，即在有唯一的极值点不等于零，利用导数与函数极值的关系即可求得，判断出A;根据，得则，判断出B,C；根据在上单调递增，可得，通过构造函数求得，即可判断D.
【详解】因为，
所以，
令，
由题意可得有两个解，，
即有且仅有两个零点，
即在有唯一的极值点不等于零，
又，
①当，，
则单调递增，则至多有一个零点，不符合题意，舍去.
②当时，令，得，
所以，函数单调递增；
，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，
则，
即，
解得，故A正确；
且有，
，
，，
则，故B错误，C正确；
因为，函数单调递减，
，，
所以在上单调递增；
则，
又
，又，则，
令
则，
故函数在上单调递增，
则，
所以故D正确，
故选：ACD.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
三、填空题
13．已知向量是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则 ．
【答案】/
【分析】根据数量积定义与运算律求解．
【详解】由题意，∴，
故答案为：．
14．在中，角的对边分别为，，，．则 ．
【答案】
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，，，，
因为，所以，
因为，
所以，所以.
故答案为：.
15．若，，，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由对数运算法则变形，然后利用基本不等式得最小值．
【详解】由已知，∴，
，当且仅当时取等号，
所以，从而，即的最小值是8.
故答案为：8.
16．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球O为正方体的内切球，设G为AB的中点，结合向量数量积的运算律将转化为，结合四面体以及正方体和球O的切接问题，求出的最大值以及最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知正四面体的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，
正方体棱长为，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，
由于球O与正四面体的每一条棱都相切，故球O为正方体的内切球，
球O的直径为正方体的棱长，则半径；
设G为AB的中点，则，
则
，
由于点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，
故点P位于DC的中点处时，最大，即为正方体内切球直径，
此时取到最大值；
在正四面体中，设E为DC中点，连接，
则，平面，
则平面，而平面，
故平面平面，则球O的球心O在平面内，
则的内切圆即为球O的一个小圆，设该圆与AE的交点为F，
则F点和AB都位于球O的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧所对弦长最短，
即P点位于F点时，最小；
设内切圆圆心为，则内切圆半径为，
，则，
中，，，故，
在中
，则，
即的最小值为，故的最小值为，
故的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球O转化为正方体的内切球问题，结合多面体和球的切接问题，求解答案.
四、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，．
(1)证明：是等腰三角形
(2)若，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合条件，即可证明；
（2）首先中，根据余弦定理求，再结合角的关系，求.
【详解】（1）由正弦定理可知，
又，所以，
又因为，所以
所以是等腰三角形
（2）设，，则，，，
所以在中，由余弦定理，得：
，
在中，∵，∴
∴
18．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
19．已知且，函数在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个：
①函数为奇函数；②；③．
(1)从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b．
(2)设函数，，若对，总，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)①②，理由见解析；
(2)
【分析】（1）因为在上是单调递增函数，得到②，③不会同时成立，得到函数为奇函数，再由，，得到满足②，进而求得的值；
（2）设，根据题意转化为，结合函数的单调性求得，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：选择的两个条件的序号为①②
因为在上是单调递增函数，
故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数，
因为函数的定义域为，所以，则，，故一定满足②，
选择①②，由，解得，
所以，解得．
（2）解：设，
因为对，总，使得成立，所以，
由函数在时单调递增，可得，
即即集合，
又由，则满足，解得，
所以实数的取值范围为．
20．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，．
(1)求证：；
(2)若，且平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．求PC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）由题中面面垂直可得平面PAC，即可证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角公式求解关键点P的坐标，用向量的模的知识求解即可.
【详解】（1）如图，连接BD交AC与点O．
∵，即为等腰三角形，又，
故，
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面PAC，
∵平面PAC，∴
（2）在和中，，，
∴，，又，∴．
在中，作于点E，则平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因平面xz，设点P坐标为，
故，，，
设平面PBC的法向量为，
由，得，可取，
平面PAC的法向量取为，
因为平面PBC与平面PAC夹角的余弦值．
．
即①
又因∵，∴，即②
由①②解得，或，（舍去）
所以.
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)若，求C；
(2)若，且，求的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换，建立三角函数等式，即可求解；
（2）根据（1）的结果有，，再根据正弦定理边角互化，用三角函数表示，最后结合基本不等式，即可求解最小值.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或者，
由，得，从而，
由得
，
∴，则，而，故
综上，或；
（2）∵，∴，即，
由（1）知，，
又，∴，
∴，
由正弦定理，，，
，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
22．已知函数（……是自然对数底数）．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求得导函数后，利用函数的增减性考查导函数的正负，即可求得单调区间；
（2）利用导数考查函数单调性，求得函数的最小值点，对于，构造函数，利用函数的单调性结合不等式的等价变形，即可证明.
【详解】（1）当时，，
∴，
令，显然在单增，且，
所以当时，，；当时，，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2），
令，，则，
所以在上单调递增，
∵，又，，
所以，又，
故，使，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值；
所以，
又，∴，
∴，
令，显然在单调递增，
∴，
要证，即证，
即，即，
令，，则，
当时，，
所以在上单调递减，∴，
所以，故．
【点睛】关键点睛：本题有两个关键点：一是确定函数隐零点的范围，从而求得函数的最值点；二是构造函数，利用其单调性确立不等关系.
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】因为集合，，
因此.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：C.
3．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义得到，再利用诱导公式求出答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
.
故选：A
4．已知奇函数在上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据条件确定函数的奇偶性及单调性，然后比较大小.
【详解】因为是上的奇函数，
所以，且，
所以，即是上的偶函数，
又在上是增函数，所以时，，，
于是时，，
则偶函数在上是增函数，
又，，且，
所以.
故选：D.
5．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.
【详解】根据题意在上的投影向量为，
，
故选：A.
6．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】关于x的方程有实数根，则，
故，即，
又，所以，即向量，共线，反之也成立，
因此两者应为充要条件．
故选：C．
7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，先求出的夹角，在直角三角形中，得出点到直线的距离.
【详解】解：根据塹堵的定义，建立以点为原点的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，
所以，
所以，
设点到直线的距离为，
所以，解得.
故选：B.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ）
A．4048B．－4048C．2024D．－2024
【答案】D
【分析】求出函数的周期，然后对所求式分奇偶讨论分别进行计算即可.
【详解】由已知，，
所以，
所以函数的周期为，
又，
所以，
所以，
又，
所以，则，
所以，，
，
，
所以
.
故选：D.
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】逐一确定奇偶性和单调性即可.
【详解】对于A：，其定义域为，
则，奇函数，
又，故在单调递增，A正确；
对于B：，其定义域为，
则，偶函数，B错误；
对于C：，其定义域为，
则，奇函数，
又在上单调递增，在上单调递增，故在单调递增，C正确；
对于D：，其定义域为，
则，奇函数，
又，故在不可能单调递增，D错误.
故选：AC
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数图象的一条对称轴．
B．函数在上单调递减．
C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为．
D．在上有2个零点，则实数a的取值范围是．
【答案】BC
【分析】将函数化简为，结合三角函数的性质，逐一分析判断即可.
【详解】结合题意：，
化简为：.
对于A选项：令，解得易验证不是对称轴，故A错误；
对于B选项：当时，，
结合三角函数的性质可知，在上单调递减，故B正确；
对于C选项：
因为，所以，
要使在上的最小值为，则，即，故C正确；
对于D选项：由，得，
要使在上有2个零点，则，解得，
故D错误.
故选：BC.
11．在中，点是边的中点，是边的三分之一分点，（靠近点的）， 与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，点是边的中点，是边的三分之一分点，
可得，所以A正确；
设为的中点，连接，则，
在中，因为分别为的中点，可得且，
在中，由分别为的中点，且，可得，
所以，所以，
所以，所以B正确；
由，可得且，
则，且，
所以，所以C不正确；
由，，
且，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
12．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先求出，令，由题可得有两个解，，即有且仅有两个零点，即在有唯一的极值点不等于零，利用导数与函数极值的关系即可求得，判断出A;根据，得则，判断出B,C；根据在上单调递增，可得，通过构造函数求得，即可判断D.
【详解】因为，
所以，
令，
由题意可得有两个解，，
即有且仅有两个零点，
即在有唯一的极值点不等于零，
又，
①当，，
则单调递增，则至多有一个零点，不符合题意，舍去.
②当时，令，得，
所以，函数单调递增；
，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，
则，
即，
解得，故A正确；
且有，
，
，，
则，故B错误，C正确；
因为，函数单调递减，
，，
所以在上单调递增；
则，
又
，又，则，
令
则，
故函数在上单调递增，
则，
所以故D正确，
故选：ACD.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
三、填空题
13．已知向量是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则 ．
【答案】/
【分析】根据数量积定义与运算律求解．
【详解】由题意，∴，
故答案为：．
14．在中，角的对边分别为，，，．则 ．
【答案】
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，，，，
因为，所以，
因为，
所以，所以.
故答案为：.
15．若，，，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由对数运算法则变形，然后利用基本不等式得最小值．
【详解】由已知，∴，
，当且仅当时取等号，
所以，从而，即的最小值是8.
故答案为：8.
16．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球O为正方体的内切球，设G为AB的中点，结合向量数量积的运算律将转化为，结合四面体以及正方体和球O的切接问题，求出的最大值以及最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知正四面体的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，
正方体棱长为，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，
由于球O与正四面体的每一条棱都相切，故球O为正方体的内切球，
球O的直径为正方体的棱长，则半径；
设G为AB的中点，则，
则
，
由于点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，
故点P位于DC的中点处时，最大，即为正方体内切球直径，
此时取到最大值；
在正四面体中，设E为DC中点，连接，
则，平面，
则平面，而平面，
故平面平面，则球O的球心O在平面内，
则的内切圆即为球O的一个小圆，设该圆与AE的交点为F，
则F点和AB都位于球O的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧所对弦长最短，
即P点位于F点时，最小；
设内切圆圆心为，则内切圆半径为，
，则，
中，，，故，
在中
，则，
即的最小值为，故的最小值为，
故的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球O转化为正方体的内切球问题，结合多面体和球的切接问题，求解答案.
四、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，．
(1)证明：是等腰三角形
(2)若，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合条件，即可证明；
（2）首先中，根据余弦定理求，再结合角的关系，求.
【详解】（1）由正弦定理可知，
又，所以，
又因为，所以
所以是等腰三角形
（2）设，，则，，，
所以在中，由余弦定理，得：
，
在中，∵，∴
∴
18．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
19．已知且，函数在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个：
①函数为奇函数；②；③．
(1)从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b．
(2)设函数，，若对，总，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)①②，理由见解析；
(2)
【分析】（1）因为在上是单调递增函数，得到②，③不会同时成立，得到函数为奇函数，再由，，得到满足②，进而求得的值；
（2）设，根据题意转化为，结合函数的单调性求得，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：选择的两个条件的序号为①②
因为在上是单调递增函数，
故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数，
因为函数的定义域为，所以，则，，故一定满足②，
选择①②，由，解得，
所以，解得．
（2）解：设，
因为对，总，使得成立，所以，
由函数在时单调递增，可得，
即即集合，
又由，则满足，解得，
所以实数的取值范围为．
20．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，．
(1)求证：；
(2)若，且平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．求PC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）由题中面面垂直可得平面PAC，即可证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角公式求解关键点P的坐标，用向量的模的知识求解即可.
【详解】（1）如图，连接BD交AC与点O．
∵，即为等腰三角形，又，
故，
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面PAC，
∵平面PAC，∴
（2）在和中，，，
∴，，又，∴．
在中，作于点E，则平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因平面xz，设点P坐标为，
故，，，
设平面PBC的法向量为，
由，得，可取，
平面PAC的法向量取为，
因为平面PBC与平面PAC夹角的余弦值．
．
即①
又因∵，∴，即②
由①②解得，或，（舍去）
所以.
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)若，求C；
(2)若，且，求的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换，建立三角函数等式，即可求解；
（2）根据（1）的结果有，，再根据正弦定理边角互化，用三角函数表示，最后结合基本不等式，即可求解最小值.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或者，
由，得，从而，
由得
，
∴，则，而，故
综上，或；
（2）∵，∴，即，
由（1）知，，
又，∴，
∴，
由正弦定理，，，
，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
22．已知函数（……是自然对数底数）．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求得导函数后，利用函数的增减性考查导函数的正负，即可求得单调区间；
（2）利用导数考查函数单调性，求得函数的最小值点，对于，构造函数，利用函数的单调性结合不等式的等价变形，即可证明.
【详解】（1）当时，，
∴，
令，显然在单增，且，
所以当时，，；当时，，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2），
令，，则，
所以在上单调递增，
∵，又，，
所以，又，
故，使，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值；
所以，
又，∴，
∴，
令，显然在单调递增，
∴，
要证，即证，
即，即，
令，，则，
当时，，
所以在上单调递减，∴，
所以，故．
【点睛】关键点睛：本题有两个关键点：一是确定函数隐零点的范围，从而求得函数的最值点；二是构造函数，利用其单调性确立不等关系.
相关试卷
山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期学业水平阶段性检测二数学试题(含答案)： 这是一份山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期学业水平阶段性检测二数学试题(含答案)，共9页。试卷主要包含了已知等差数列的前项和为，若，则，抛物线有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。
山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题： 这是一份山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，已知奇函数在R上是增函数，，已知向量，，则在上的投影向量为，已知向量，是非零向量，设甲，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题： 这是一份山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，已知奇函数在R上是增函数，，已知向量，，则在上的投影向量为，已知向量，是非零向量，设甲，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
