数学选择性必修第二册9.2独立性检验精品同步测试题

这是一份数学选择性必修第二册9.2独立性检验精品同步测试题试卷主要包含了列联表，独立性检验等内容，欢迎下载使用。

一、列联表
一般地，对于两个分类变量I和 = 2 \* ROMAN II， = 1 \* ROMAN I有两类取值，即A类和B类（如吸烟与不吸烟）； = 2 \* ROMAN II也有两类取值，即类1和类2（如患呼吸道疾病和为患呼吸道疾病），我们得到如下列联表所示的抽样数据：
二、独立性检验
1、定义：用的取值推断两个变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
2、计算公式:，其中.
3、临界值的定义：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，概率值越小，临界值越大.
4、独立性检验：，通常称为零假设或原假设.
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.
5、独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
6、独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
题型一 2×2列联表完善
【例1】（2022·全国·高二专题练习）下表是一个列联表，则表中，的值分别为（ ）（人A8.3练习）
A．46，54 B．54，46 C．52，54 D．50，52
【答案】B
【解析】由表格中的数据可得，，
所以，．故选：B．
【变式1-1】（2023·高二课时练习）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为：
则表中，的值分别是（ ）
A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60
【答案】D
【解析】根据列联表知，，又，所以，故选：
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下列联表：
则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根据题意，可得；
，，，
即列联表为：
．故选：．
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系.
【答案】（1）列联表答案见解析；（2）性别与休闲方式有关系.
【解析】（1）2×2的列联表：
（2）根据列联表中的数据，可得女性中休息方式为看电视的频率为，
男性中休息方式为看电视的频率为，
二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系.
题型二 独立性检验的概念
【例2】（2023春·河南南阳·高二校联考期中）在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，
是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可认为某人是否患心脏病与易怒有关，
则①错误，③正确．
由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，
是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．故选：B
【变式2-1】（2022春·山西太原·高二统考期中）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误
B．用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误
C．独立性检验的方法适用普查数据
D．对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同
【答案】B
【解析】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，
样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；
B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确
C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，
不需要用独立性检验，
依据小概率值推断两个分类变量的关联性，
所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；
D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，
有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．
【变式2-2】（2022春·河南南阳·高二校考阶段练习）对变量X与Y的统计量的值.说法正确的是（ ）
A．越大，“X与Y有关系”可信程度越小
B．越小，“X与Y有关系”可信程度越大
C．越小，“X与Y有关”程度越小
D．越大，“X与Y无关"程度越大
【答案】C
【解析】根据独立性检验的概念，可得：当越大，“X与Y有关系”可信程度越大，
越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以A、B、D错误，C正确.故选：C.
【变式2-3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）流感是流行性感冒的简称，是由流感病毒引起的一种呼吸道传染病.接种疫苗是预防流感的主要措施.某医疗研究所为了检验某流感疫苗预防感冒的作用，把500名使用疫苗的人与另外500名末使用疫苗的人一年中的感冒记录作比较，提出假设“注射此种疫苗对预防流感无关”，利用列联表计算得，经查临界值表知.则下列结论正确的是（ ）
A．若某人未使用该疫苗，那么他在一年中有的可能性得感冒
B．在犯错误的概率不超过的前提下认为“注射此种疫苗对预防流感有关”
C．这种疫苗预防感冒的有效率为
D．这种疫苗预防感冒的有效率为1%
【答案】B
【解析】根据独立性检验，可以得到B正确，其余的理解均不正确.故选：B
题型三 卡方的计算与判断
【例3】（2022春·江苏常州·高二校考阶段练习）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（ ）
参考公式：，其中．
参考数据：
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设男生人数为，则女生人数为，且,
可得列联表如下：
所以，
因为有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，
所以，解得，
所以，结合选项只有，故选:C.
【变式3-1】（2023春·上海·高三校联考阶段练习）一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：
依据，该__________实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持），
参考公式：
【答案】支持
【解析】由表中数据：，
所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，
即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.
故答案为：支持
【变式3-2】（2022春·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：
附：，其中.
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题表中的数据可得: ,
因为,
所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为. 故选：D
【变式3-3】（2023·高二课时练习）某工科院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格：
若认为工科院校中“性别”与“专业”有关，则犯错误的概率不会超过（ ）
A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05
【答案】D
【解析】根据题意，填写列联表如下：
则．
又，
所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，
犯错误的概率不会超过0.05，故选：D.
题型四 独立性检验综合应用
【例4】（2023春·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷，得到如下数据（）：
若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则m的最小值为（ ）
附：．其中．
A．17 B．15 C．13 D．11
【答案】B
【解析】因为有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，
所以，
即，因为在，时单调递增，
且，，
所以m的最小值为15.故选：B.
【变式4-1】（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．
已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为．
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
附：，其中，．
【答案】（1）列联表见解析；（2）有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关
【解析】（1）设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，
则，解得．
列联表完成如下．
（2）由（1）可知，，
因为，
所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
【变式4-2】（2023春·辽宁沈阳·高二辽宁省康平县高级中学校联考阶段练习）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
（1）补全2×2列联表；
（2）是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位，例如：3.841）
参考附表：
参考公式：，其中.
【答案】（1）列联表见解析；（2）有
【解析】（1）根据题意补全2×2列联表，如下：
（2）根据列联表中数据，得，
所以有的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.
【变式4-3】（2023春·河南南阳·高二校联考期中）被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动.”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态.某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示.
（1）分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
（2）能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？（人A8.3练习）
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）；（2）有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关
【解析】（1）由题意可得样本中女大学生有200-120=80人，
则女大学生喜欢跑步的频率是，
故该地女大学生喜欢跑步的概率是.
由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，
则男大学生喜欢跑步的频率是，
故该地男大学生喜欢跑步的概率是.
（2）由题意可得.
查表可得，
由于8.333>6.635，
所以有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关. = 2 \* ROMAN II
合计
类1
类2
= 1 \* ROMAN I
类A
类B
合计
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
总计
21
25
33
总计
100
总计
21
73
8
25
33
总计
46
106
男
女
总计
爱好
a
b
73
不爱好
c
25
总计
74
男
女
总计
爱好
52
21
73
不爱好
22
25
47
总计
74
46
120
看电视
运动
合计
女
30
20
50
男
20
40
60
合计
50
60
110
男生
女生
合计
喜欢滑冰

不喜欢滑冰

合计
注意力稳定
注意力不稳定
男生
29
7
女生
33
5
优秀
非优秀
合计
甲班人数
50
乙班人数
20
合计
30
110
优秀
非优秀
合计
甲班人数
50
乙班人数
20
合计
30
110
专业A
专业B
合计
女生
12
男生
46
84
合计
50
100
专业A
专业B
合计
女生
12
4
16
男生
38
46
84
合计
50
50
100
喜爱
不喜爱
男生
女生
0.25
0.10
0.05
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
经常锻炼
不经常锻炼
总计
男
35
女
25
总计
100
0.1
0.05
0.01
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
经常锻炼
不经常锻炼
总计
男
35
25
60
女
15
25
40
总计
50
50
100
选书法
选剪纸
共计
男生
40
50
女生
共计
30
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
喜欢跑步
不喜欢跑步
总计
男生
50
120
女生
30
总计
200
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828