2024届河北省承德市高新区第一中学高三上学期12月月考模拟数学试题含答案

这是一份2024届河北省承德市高新区第一中学高三上学期12月月考模拟数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式确定集合U，然后由补集定义可得.
【详解】由得，即，
所以，
所以．
故选：D．
2．若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.
【详解】，
所以，解得，
故选：A.
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D.
【详解】对于A，当时，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，则，所以，故C错误；
对于D，若，，则，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
4．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【分析】根据两圆外切求得参数的关系，然后根据基本不等式求最值.
【详解】解：由题意可得两圆相外切
两圆的标准方程分别为
圆心分别为，半径分别为2和1
故有，



当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
【详解】从可得，，所以，
因为，
故选：A.
6．如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出直线与直线所成角，解直角三角形求得其正切值.
【详解】连接，作，
垂足为即直线与直线所成的角.
.

故选：B
7．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】换元法转化得在上有解，然后参数分离解决即可.
【详解】由题知，在区间上有零点，
令，
所以在上有解，
所以，在上有解，
因为，根据满足对勾函数特点，可作下图
由图知在上单调递增，
所以
的最小值为；
的最大值为；
所以实数的取值范围是
故选：C
8．若函数对任意的都有恒成立，则
A．B．
C．D．与的大小不确定
【答案】C
【详解】令,则，
因为对任意x∈R都有f(x)所以g′(x)>0,即g(x)在R上单调递增，
又ln2即3f(ln2)<2f(ln3)，
本题选择C选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
二、多选题
9．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据的关系求得正确答案.
【详解】由于，所以，
依题意，所以，
所以.
故选：BC
10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为：D．数列为递减数列
【答案】ACD
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
11．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面D．点到平面的距离为
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.
【详解】对于A, 到侧棱的距离等于,
到侧棱的距离相等且等于,故A错误；
对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有,
即，所以外接球的体积等于，故B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，
则,
因为，所以,
所以，，,
所以，所以与平面不垂直，故C错误；
对于D,由以上知，设平面的法向量为，
则有，,
,即，令则，
所以，
因为,所以点到平面的距离为，故D正确.
故选:BD.
12．设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】ABC
【分析】构造函数，进而可判断的奇偶性和单调性，即可求解.
【详解】设，则，
由于，所以为偶函数，
且当时，，所以在单调递减，在单调递增，且，
故由可得，所以，
故选：ABC
三、填空题
13．已知向量满足，，则 ．
【答案】
【分析】由已知条件结合向量数量积，解得，由，代入已知数据求值即可.
【详解】由，得，有，
则．
故答案为：
14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且，则角 ．
【答案】/
【分析】根据正弦定理将原式进行边化角，再根据三角形中三角函数的诱导公式展开原式进行计算即可.
【详解】由正弦定理得，，，代入，
化简得，
∴，
∵，∴，∴，即，
又，∴．
故答案为：
15．已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由，求得数列的通项公式，再由错位相减法求出，再利用不等式恒成立即得.
【详解】因为，所以当时， ，即，
当时，有，
所以，即，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，因为，
所以，
，
得，
因此．
由恒成立得恒成立，
因为，所以，
即，所以．
故答案为：．
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
16．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】取线段的中点为，由已知条件可得，即三点共线，，且，则，再利用以及等面积法即可求得椭圆离心率为.
【详解】如图所示：
不妨取点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，的内切圆半径为，椭圆焦距为，
取线段的中点为，设点的纵坐标为，
由可得，即
又为的中点，可得，即，
所以三点共线，且，可得，
又因为，所以；
利用椭圆定义以及等面积法可得，，
，
所以，可得，
即椭圆离心率为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解内切圆问题时，一般是利用等面积法将三角形面积与周长之间建立联系，再根据椭圆定义即可直接得出之间的关系，进而求出离心率.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)最小正周期为，单调减区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性，
（2）利用整体法求解范围，即可根据正弦函数的性质求解.
【详解】（1）
，
的最小正周期为．
令，解得，
的单调减区间为．
（2），．
令，则，
，
，
在上的值域为．
18．已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件可知数列是等比数列，根据等比数列的通项公式结合题中条件解出即可求得的通项公式，继而可求得的通项公式；
（2）化简数列的通项公式，分成两组进行求和，其中一组用公式求和，另一种，采用裂项相消求和即可.
【详解】（1）因为数列的各项都为正数，且，
所以数列是等比数列.
设等比数列的公比为（且）.
由，，得，
即，解得或舍去），
所以.
设等差数列的公差为.
由题意，得
解得
所以.
（2）因为，
所以，
所以
.
19．已知双曲线：经过点，，分别是的左、右焦点，，分别是的左、右顶点，且．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于，两点，直线与直线的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，得到，再将点代入双曲线方程得到，再联立即可解决问题；
（2）设出直线方程，联立方程，消得到，由韦达定理得，再根据条件得，代入即可证明结果.
【详解】（1）设，，因为，所以，，
又，所以，得到，
又且，联立解得，
所以双曲线方程为.
（2）由题知直线的斜率不为，设直线的方程为，，
由，消得到，
则有，，
由韦达定理得，，
又，所以，
故
将代入，得到为定值.
20．如图，在三棱锥中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解.
【详解】（1）证明：在中，，所以，
过点D作于点O，连接，则，
因为，，为公共边，所以.
所以，且，又，所以，所以，
又因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）设存在满足题意的点E，由（1）可知，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，，
，，，
设，，则，
显然平面的法向量.
设平面的法向量，则，
取，则，，所以，
若二面角的正切值为，则其余弦值为，
则，
整理得，所以，又因为，所以，
所以，即当时，二面角的正切值为.
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知，若恒成立，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）令，先求导，再分别对和两种情况分类讨论，从而利用导数判断函数的单调性.
（2）令，由，得是的极小值点，而得到，然后证明时恒成立，从而得到的值.
【详解】（1）令，其定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，在上，则单调递增，在上，则单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若恒成立，则恒成立.
令，其定义域为.
易得，而，所以是的极小值点，即.
，，
所以，即.
现证明时，恒成立.
当时，，，
令，易知，
因为时，，所以在上单调递增，
所以时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
因此，在处取得最小值，即最小值为，
所以恒成立，即也满足题意.
综上所述，恒成立时.
【点睛】在本题时函数值，进而得到，求得值，成为原不等式恒成立的必要条件，然后再证明是原不等式恒成立的充分条件.
利用特殊值探路可以迅速化解题目难度，快速找到题目的答案（准答案），减轻解题思想压力，转换解题思维角度，补全充分性证明过程即可完美收官．一般对数函数可将真数取特值1，指数函数的指数可取特值0.
22．在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求面积的最大值；
(2)是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设直线l为与椭圆方程联立，将表达为k的函数，由基本不等式求最大值即可.
（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于y轴的对称点，证得三点共线得到成立.
【详解】（1）依题意，设，直线的斜率显然存在，
故设直线为，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，
故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.
（2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
由（1）知，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以；
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.