黑龙江省大庆市杜尔伯特县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（五四制）（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市杜尔伯特县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（五四制）（含解析），共25页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）

A．B．C．D．2
4．如图所示，是一座建筑物的截面图，高，坡面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）

A．B．C．D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线B．图象与x轴有两个交点
C．当时，y的值随x值的增大而增大D．当时，y取得最大值，且最大值为3
6．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．下列语句中，①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等.其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（ ）
A．20B．15C．18D．12
10．如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：
①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知：，则锐角的度数为 ．
12．已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ．
13．如图，已知的弦，半径于，，则的半径为 ．

14．如图，分别与相切于点A，B，为的直径，若，则的形状是 ．

15．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
16．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，若在抛物线上存在一点（与点不重合），使，则点的坐标为 ．
17．如图，将扇形纸片折叠，使点与点重合，折痕为．若，，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 ．

18．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．

三、计算题：本大题共1小题，共5分．
19．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
四、解答题：本题共9小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．计算：
21．如图，正六边形内接于，半径为4．
(1)求正六边形的边心距．
(2)求正六边形的面积．
22．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长. （结果精确到，参考数据：）
23．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)写出方程的两个根
(2)写出不等式的解集
(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
(4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．
24．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积．
25．已知二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．

(1)求的长及的正弦值．
(2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标．
27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）证明：；
（3）若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长．

28．已知抛物线．
(1)当时，求的值；
(2)点是抛物线上一点，若，且时，求的值；
(3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】直接利用时，求出的值进而得出答案．
【详解】解：二次函数的图象与轴相交，则，
故，则图象与轴的交点坐标是：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出是解题关键．
2．B
【分析】本题主要考查直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，根据是的直径，可得，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∵与所对弧相同，
∴，
故选：．
3．B
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解．
【详解】解：连接，如图所示：

设小正方形边长为，
，，，
，
∴是直角三角形，
在中，，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得，解即可求解，求得是解题的关键．
【详解】解：∵坡面的坡度为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：．
5．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次项系数大于0，以及解析式为顶点式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，由此可得当时，y的值随x值的增大而增大且当时，y取得最小值，且最小值为3，则二次函数的函数值恒大于等于3，即二次函数与x轴没有交点，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意；
∴当时，y取得最小值，且最小值为3，故D说法错误，不符合题意；
∴，
∴二次函数与x轴没有交点，故B说法错误，不符合题意；
故选C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式得出其对称轴为直线，开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，有最大值，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∴，
故选：．
7．B
【分析】根据圆的认识、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可.
【详解】解：①过不共线的三点能作一个圆，所以本小题错误；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以本小题错误；
③长度相等的弧不一定是等弧，所以本小题错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，所以本小题正确；
⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，本小题正确.
故选B.
【点睛】本题考查的是圆的认识、垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础题型，掌握基本知识是关键.
8．B
【分析】根据直角三角形中三角函数的求法直接可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，，，，
故选B
【点睛】题主要考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），熟记锐角三角函数的求法是解题的关键．
9．B
【分析】由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
【详解】解：∵O为的内心，
∴点O是三条角平分线的交点，
∴点O到，的距离相等，
∴、面积的比．
∵的面积为20，
∴的面积为15．
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键．
10．D
【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与y轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与x轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④；于是可以得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，
故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴另一个交点为，
关于x的一元二次方程的根是；
故②正确；
当时，，
，
，
即，
即，
故③正确；
当时，函数有最大值，
，
故④正确；
故正确的结论有①②③④共4个；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键．
11．75°
【分析】由可知，据此解题．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的正切值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．且
【分析】本题考查二次函数与轴的交点，根据，且解出的范围即可求出答案．解题的关键是正确列出进行计算．
【详解】解：由题意可知：且，
解得：且，
故答案为：且．
13．5
【分析】由垂径定理可得，设，则，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案．
【详解】解：，，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
的半径为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
14．等边三角形
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理即可得是等边三角形．
【详解】解：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
∵分别与相切于点A，B，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
15．
【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，

根据轴对称的性质可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴ 此时最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴，
又∵点B是的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值是．
故答案为：．
16．或．
【分析】先求出二次函数表达式，求出C点坐标，再根据得到的高等于5，故可求解．
此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法求出函数表达式．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴代入得，
解得，
∴二次函数为，
令，解得，
∴C点坐标为，
∴，，
设P点的纵坐标为p，故的高为，
∵，
∴，
∴，
令，即，
此时方程无解，
令，即，
解得，，
∴则点的坐标为或．
17．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，根据折叠得到，即可得到是等边三角形，即可求出折叠图形面积，利用总扇形面积减去折叠图形面积即可得到答案；
【详解】解：连接，，过作于，

∵扇形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题利用二次函数解析式得出、两点的坐标，连接，再利用勾股定理计算出，取的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，连接，再利用中位线得出，最后根据三角形三边关系，给出，即可解题．
【详解】解：连接，取的中点，连接，，

，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形三边关系和三角形中位线，解题的关键在于作辅助线构造三角形中线和中位线，即可解题．
19．m＝；△ABC是直角三角形．
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
【详解】解：∵∠A＝60°，
∴tanA＝.
把x＝代入方程2x2－3mx＋3＝0，得2()2－3m＋3＝0，解得m＝.
把m＝代入方程2x2－3mx＋3＝0得2x2－3mx＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
∴csB＝，即∠B＝30°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
即△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和判断三角形，解题关键是熟记特殊三角函数值.
20．
【分析】根据乘方以及特殊角的三角函数值，求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的有关运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握实数的有关运算．
21．(1)正六边形的边心距为；
(2)．
【分析】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键．
（）连接，过点作于，证明等边三角形，利用三角函数即可求解；
（）根据正六边形的面积即可求解；
【详解】（1）连接，过点作于，则，
六边形是正六边形，
，
，为等边三角形，
∴，，
圆心到的距离，
即正六边形的边心距为；
（2）正六边形的面积．
22．21
【分析】过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，
由题意得：（米），（米），，
∴，
∵，
∴，
在中， （米），
在中，（米），
∴（米），
∴（米），
∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米．
23．(1)1或3
(2)或
(3)
(4)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
（1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可；
（2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；
（3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；
（4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，，
∴方程的两个根为；
（2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方，
∴不等式的解集为或；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是；
（4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为，
当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点，
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
24．(1)50°
(2)
【分析】（1）连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，则根据圆心角定理得到的度数；
（2）利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算．
【详解】（1）解：连接，如图，

，，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作于点，

是的中点，，
，
，
为等边三角形，
，，
阴影部分的面积；
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解．
25．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据函数图象求出的解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
因此，二次函数解析式为：．
（2）解：∵二次函数与直线交于点，，
∴方程的解为，．
26．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理以及三角函数即可求解；
（2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论．
【详解】（1）解：，
．
在中，
，
，，
，．
（2）解：联结，设．
在中，
，，
，
①当点D在C左侧时，，．
，，
，
，
，
，．
②当点D在点C右侧时，，．
，
．
在中，，
，
，．

综上所述，，．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=．
【分析】（1）先判断出PA=PC，得出∠PAC=∠PCA，再判断出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠CBA=90°，再判断出∠PCA+∠CAB=90°，得出∠CAB+∠PAC=90°，即可得出结论；
（2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2=OP•OD，进而得出
，，即可得出结论；
（3）在Rt△ADF中，设AD=a，得出DF=3a．，AO=OF=3a-4，最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2，即可得出结论．
【详解】（1）证明∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°．
又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴．
又，∴，即．
（3）解：在Rt△ADF中，设AD=a，则DF=3a．，AO=OF=3a-4．
∵，即，解得，∴DE=OE-OD=3a-8=．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出Rt△AOD∽Rt△POA是解本题的关键．
28．(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）令当时，则，再解方程即可；
（2）由二次函数的性质结合点是抛物线上一点，且时，，可得抛物线的顶点纵坐标是，从而可得答案；
（3）先写出抛物线平移后的解析式，结合图象进行解得即可．
【详解】（1）解：当时，则，
∴，
∴，
解得：，；
（2）∵，
∴抛物线的开口向下，
∵点是抛物线上一点，且时，，
∴抛物线的顶点纵坐标是，
而抛物线的对称轴为直线：，
∴当时，，
解得：．
（3）当时，抛物线为，
∴抛物线的顶点坐标为：，
把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，
∴抛物线H为：，
∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，
∴当时，，
解得：，
又∵新抛物线H与x轴有交点，
∴．
如图，
∴结合图象可得：．
【点睛】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．