浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2023-2024学年高一上学期10月学科综合素养测试 数学试题（含解析）

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高一数学试题卷（2023.10）
本试卷4页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1答题前，请务必将自己的姓名，考号用黑色字迹的鉴字笔或钢笔分别填写在答题卷规定的位置上.
2答题时，请按照答题卷上“考生须知”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．设R，则“＞1”是“＞1”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则的解析式是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A．B．C．D．
6．定义运算如下:设函数，则该函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
7．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9．已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．若，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
12．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数，的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有两个解
C．函数有4个单调区间
D．函数有最大值为0，无最小值
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“，”为假命题，则实数a的最小值为 .
14．设函数则的值为 ．
15．已知定义在上的偶函数在上单调递增，，若，则的取值范围是 ．
16．若两个正实数 满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ．
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．已知集合或，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（1）已知，且，求的最小值.
（2）已知关于的不等式的解集是或，求不等式的解集.
19．已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，
(1)求函数的解析式；
(2)在给定的直角坐标系内画出的图像，并指出的减区间（不必说明理由）；
(3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
22．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
1．C
【分析】
根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，则，
则.
故选：C
2．A
【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件
考点：充分条件与必要条件
3．A
【详解】由于，所以.
4．D
【分析】利用均值不等式即可得到结果．
【详解】解：∵0＜2x＜3，∴3﹣2x＞0，x＞0，
∴（3﹣2x）x（3﹣2x）•2x，
当且仅当3﹣2x＝2x，即x时取等号，
∴的最大值为．
故选D．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．
5．C
【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域求法且分式中分母不为0，即可得到的定义域.
【详解】由函数的定义域是，结合函数的特征可知，
解得，
故函数的定义域为.
故选：C.
6．C
【分析】根据函数新定义求得函数解析式，再根据一次函数和二次函数得图像即可的解.
【详解】解：由的定义可知
因为，所以函数图象过点，排除A，B；
当时，，排除D，只有C符合.
故选：C.
7．B
【解析】由题可知满足或即可.
【详解】由题的解集为R，
当时，恒成立，满足题意；
当时，则，解得，
综上，.
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.
8．B
【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.
【详解】因为对任意都有，
所以函数在定义域上单调递增，
所以， 解得，
所以a的范围是
故选：B
9．ACD
【分析】求出集合，再根据元素与集合和集合与集合的关系逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】，
对于A：，故选项A正确；
对于B：，集合与集合之间的关系符号错误，故选项B不正确；
对于C：，故选项C正确；
对于D：，故选项D正确，
故选：ACD.
10．ABC
【分析】根据题意，举出反例即可判断ABC，由作差法即可判断D
【详解】令，满足，但是，故A错误；
令，满足，但是，故B错误；
令，满足，但是，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABC
11．AB
【分析】根据函数奇偶性的定义分别判断函数的奇偶性，接着判断函数的单调性，最后得到正确选项即可.
【详解】因为，定义域为，且，
所以函数是奇函数，
设，则，
所以时，，
又因为函数是奇函数，
所以函数在上单调递减，故选项A正确；
由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，
故选项B正确；
而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；
对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，
，所以函数是奇函数，
设，则
，
所以时，，所以函数在上单调递增，
又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.
故选：AB.
12．ABCD
【分析】根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项．
【详解】由题意可得，，作出函数图象可得，

所以该函数为偶函数，有两个零点，，四个单调区间，当时，函数取得最大值为0，无最小值．
故选：．
【点睛】本题考查以函数新定义为背景，判断函数的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
13．2
【分析】根据命题为假得到，恒成立，简单计算，可得答案.
【详解】命题“，”为假命题，
故，恒成立.
所以，恒成立， 故
所以实数a的最小值为2
故答案为：2.
【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.
14．
【分析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.
【详解】因为函数，
所以，
则，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
15．
【分析】根据偶函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，再结合题意，得出，进而由单调性解不等式得出或，即可求出的取值范围.
【详解】解：已知在上的偶函数在上单调递增，则在上单调递减，
因为，则由，得，即，
则，得或，解得：或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．
【分析】将变形为，利用基本不等式求得的最小值，则可将不等式恒成立，转化为，即可求得答案.
【详解】因为两个正实数 满足，所以，
故
，当且仅当时取等号，
由不等式恒成立，则，
解得，即实数m的取值范围为，
故答案为：
17．（1），；（2）．
【分析】（1）进行根据交集、并集和补集的定义运算即可；
（2）根据可得出，然后讨论是否为空集：时，；时得到不等式组，然后解出的范围即可．
【详解】解：（1）因为或，
所以，
（2）由，则
当时，，所以
当时，，所以
综上：实数的取值范围为
18．（1）16；（2）
【分析】（1）根据基本不等式中“1”的应用可得当时，的最小值为；
（2）由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，利用韦达定理可得，且，即可解得不等式的解集为.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以.
当且仅当，即时，即时，等号成立；
此时.
（2）依题意知和为的两根且；
由根与系数的关系有，可得；
从而可化为，
又，所以可得，即，
可得不等式的解集为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可；
（2）先判断得，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】（1）∵时，，
，
全集，∴或．∴．
（2）∵命题：，命题：，是的必要条件，∴．
∵，∴，
∵，，
∴，解得或，故实数的取值范围
20．(1)
(2)图像见解析，减区间为
(3)最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性代入计算，即可得到结果；
（2）由分段函数的画法即可得到函数图像，结合图像即可得到单调减区间；
（3）由二次函数的性质即可得到结果.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
当时，，
可得时，，即有，
即有，
综上可得；
（2）函数的图像如图，
可得减区间为；
（3）当时，，其对称轴为，
且时，单调递减，时，单调递增，
则，；
当时，，其对称轴为，
且时，单调递增，时，单调递减，
则，，
综上可得，在上的最大值为，最小值为.
21．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明；
（3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）由奇函数的性质可知，，
，
.
.
经验证，满足题设.
（2）函数在上单调递增，
证明：令，
，
，
即，
函数在上单调递增.
（3）由已知：，
由（2）知在上单调递增，
，
不等式的解集为.
22．(1)
(2)当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.
【分析】（1）根据题意直接可得；
（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.
【详解】（1）记旅行团人数为x，飞机票价格为y，
则由题意可知，，
即
（2）记旅行社所获利润为M，
则
当时，（元），
当时，，
故当时，（元）
综上，当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.