2023-2024学年甘肃省定西市高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省定西市高二上学期期中数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则集合（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：C
2．圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．内切D．相交
【答案】D
【分析】根据方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径和差的关系判断圆的位置关系即可.
【详解】由，则，半径，
由，则，半径，
所以，即两圆相交.
故选：D
3．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．-2B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】设出公差，利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
故选：B
4．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9B．-9C．9或-9D．0
【答案】C
【分析】根据等比数列的知识列方程，从而求得.
【详解】由于成等比数列，所以，
解得或.
故选：C
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】若，则未必成立，如时，．
若，则，则一定成立．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
6．经过点并且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】直线的方程可化为，其斜率为，
故经过点并且与直线垂直的直线方程是，即.
故选：A.
7．已知直线与直线，若，则（ ）
A．2或B．或5C．5D．
【答案】D
【分析】根据平行直线的判断方法求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D
8．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
则命题：的否定是：
故选：D.
二、多选题
9．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【分析】根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解.
【详解】由题意，，由等比数列通项公式可得，
由于等比数列每一项都不是，故，
即，解得或.
故选：AD
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断作答.
【详解】由，得，，则，A正确；
由，得，则，即，B正确；
当时，，则C错误；
由，得，D正确.
故选：ABD
11．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
12．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线的斜率为
B．直线在y轴上的截距为3
C．直线必过定点（-2，3）
D．直线：与直线：平行
【答案】CD
【分析】根据斜率的定义，可判定A不正确；根据直线的截距的概念，可判定B不正确；化简直线为点斜式方程，进而判定直线过定点，可判定C正确；根据两直线平行的判定方法，可判定D正确.
【详解】对于A中. 由直线，当时，直线的斜率为；当时，直线的斜率不存在，所以A不正确；
对于B中，直线在y轴上的截距为，所以B不正确；
对于C中，直线，可化为，
由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点，所以C正确；
对于D中，由直线：与直线：，
可得，所以直线与平行，所以D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．函数的定义域是
【答案】
【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分母不为0，解不等式即可求得结果.
【详解】根据题意可知需满足，解得且；
所以函数定义域为.
故答案为：
14．若等差数列中，，则 ．
【答案】6
【分析】利用等差数列下标和性质可得.
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
故答案为：6
15．已知函数，则= .
【答案】1
【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即得.
【详解】函数，则，
所以.
故答案为：1
16．已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用两圆的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】由圆和圆，
两圆的方程相减，可得，
即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数过点．
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数在上的最大值和最小值.
【详解】（1）单调递增，由题意证明如下，
由函数过点，有，
解得，所以的解析式为：．
设，且，有
．
由，得．
则，即．
∴在区间上单调递增．
（2）由在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
18．已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，
(1)求曲线的方程；
(2)经过点的直线被曲线截得的线段长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出的坐标为，根据得到方程，求出轨迹方程；
（2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理求出答案.
【详解】（1）设点的坐标为，
由可得，，整理可得，
所以曲线的方程为．
（2）经过点的直线被圆截得的线段长为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的线段长为4，不符合，舍去；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
直线的方程为或.
19．在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为E.
(1)求圆E的方程；
(2)若直线与圆E没有公共点，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程即可；
（2）利用几何法判定直线与圆位置关系计算即可求参数范围.
【详解】（1）设圆的方程为：，
代入A、B、C三点坐标可得：，解之得，
所以圆的方程为：；
（2）由（1）知，
即圆心，半径为，
由题意可知E到的距离或，
即.
20．已知直线和圆．
(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)相交，截得的弦长为2.
(2)或.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.
【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为.
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
21．在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求得等比数列的公比和首项，即可求得通项公式；
（2）利用（1）的结果求得的表达式，根据等差数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，则．
由，，得，
解得，则，则，
故．
（2）由（1）可知，
则是以1为首项，2为公差的等差数列，
故．
22．已知数列是公差不为零的等差数列，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，结合等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2），利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设公差为，，
故，解得，
故；
（2），
故
.