高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角精练，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2022·北京高二月考](3x－eq \f(1,\r(x)))6展开式中各项系数之和为( )
A．26B．36
C．46D．1
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5B．20
C．10D．40
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是( )
A．第8项B．第9项
C．第8项和第9项D．第11项和第12项
4．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a0＝( )
A．－32B．－2
C．1D．32
二、填空题
5．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
6．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________．
7．多项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＝________，a3＝________．
三、解答题
8．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
9.已知二项式(ax＋eq \f(1,\r(x)))n的第三项和第八项的二项式系数相等．
(1)求n的值；
(2)若展开式的常数项为84，求a.
[尖子生题库]
10．已知(3x－1)n的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中：
(1)所有二项式系数之和；
(2)二项式系数最大的项；
(3)系数的绝对值最大的项．
课时作业(八) 二项式定理与杨辉三角(二)
1．解析：令x＝1，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6展开式中各项系数之和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－1))6＝26.
答案：A
2．解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x2(5－k)·x－k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x10－3k，
令10－3k＝1，解得k＝3，
所以展开式中含x项的系数是C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10，故选C.
答案：C
3．解析：二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\f(1,2)))eq \s\up12(n－k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ·xeq \f(1,2)n－eq \f(3,2)k，令k＝7，则eq \f(1,2)n－eq \f(21,2)＝0，解得n＝21，通项公式可化简为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(21)) ·xeq \s\up6(\f(21－3k,2)).由于n＝21，C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(21)) 一共有22项，其中最大的项为k＝10，11两项，即展开式的第11项和第12项．
答案：D
4．解析：x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，令x－2＝0，即x＝2，可得a0＝25＝32.
答案：D
5．解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(10)) ＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
答案：5
6．解析：(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) a5－kxk，
令k＝2，得a2＝(－1)2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
答案：1
7．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))5的展开式通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·25－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·25－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))k·xk，
∴a0＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) ·25·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))0＝32，a3＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ·22·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))3＝－40.
答案：32 －40
8．解析：(1)根据所给的等式求得常数项a0＝1，令x＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，则a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)在所给的等式中，令x＝1，
可得：a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37，②
用①－②再除以2可得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094.
(3)用①＋②再除以2可得a0＋a2＋a4＋a6＝1093.
(4)在(1－2x)7中，令x＝－1，可得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.
9．解析：(1)由第3项和第8项的二项式系数相等可得C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(n)) ，解得n＝2＋7＝9；
(2)由(1)知，展开式的第k＋1项为：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(9)) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax))9－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))k＝a9－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(9)) x9－eq \f(3,2)k；
令9－eq \f(3,2)k＝0，得k＝6，此时展开式的常数项为a9－6·C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) ＝84a3＝84，解得a＝1.
10．解析：(1)由题意C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ，解得n＝5.二项式系数和为210＝1024.
(2)由于2n＝10为偶数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6＝T5＋1＝C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) ·(2x)5·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))5＝－8064.
(3)设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·(2x)10－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k＝(－1)k·C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·210－k·x10－2k
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·210－k≥C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(10)) ·210－k＋1,C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·210－k≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(10)) ·210－k－1)))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ≥2C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(10)) ,2C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(10)) )))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(11－k≥2k,2（k＋1）≥10－k)))，
∴eq \f(8,3)≤k≤eq \f(11,3)，∴k＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项，即：T3＋1＝(－1)3·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ·210－3·x4＝－15360x4.