浙江省嘉兴市第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省嘉兴市第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式确定后，由交集定义计算．
【详解】，∴，
，，，
∴．
故选：A．
2. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角和的正切公式即可求解.
【详解】.
故选：D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
4. 关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求出的范围.
【详解】解：∵关于的方程的两根都大于2，
令，
可得，
即，
求得，
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】
，
故选：D.
6. 已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的图象可得和，然后逐项分析即可求出结果.
【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
7. 已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，取得到，故，解得答案.
【详解】.
令，得，
函数的零点为…，，，，，，…
若在上有且只有3个零点，需满足，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了根据三角函数零点个数求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递减，由将原不等式转化为和，函数的单调性解不等式即可.
【详解】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为.
故选：B.
二、多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先通过条件求出，再利用诱导公式逐一判断选项即可.
【详解】由已知，
得
对于A：，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：，D正确.
故选：ACD.
10. 常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为，现有两个函数模型：①；②．根据如图所示的标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是（ ）
(参考数据:10-0.2≈0.6,10-0.15≈0.7,10-0.1≈0.8,10-0.05≈0.9)
A. 选择函数模型①
B. 选择函数模型②
C. 小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
D. 小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据所给数据结合对数运算可确定对应函数模型②，再根据自变量的值求函数值，或者函数值求出自变量的值即可求解.
【详解】将代入①；②，
分别可得，
所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确；
令，解得，所以小明视力的小数记录数据为，故C错误；
代入，故D正确，
故选；BD.
11. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由且，利用基本不等式，对选项中的不等式逐一验证即可.
【详解】由，故D错误；
,故A正确；
又前面可知，故B正确；
由，故C正确，
故选ABC.
【点睛】本题主要基本不等式应用，属于基础题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
12. 已知定义域为R的函数满足，函数，若函数为奇函数，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】首先可得关于点对称，从而得到关于点对称为奇函数，依题意只需使为偶函数即可，从而求出的取值，即可得解；
【详解】解：因为，所以关于点对称，
要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，
所以只需使为偶函数即可，所以，
故符合题意的有B、D；
故选：BD
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及幂的运算性质计算可得.
【详解】
.
故答案为：
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.
【详解】解：已知①，则，
，
，，则，，
②，
联立①②，得，
，
故答案为：.
15. 已知是上的奇函数，且对，有，当时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数周期，再利用对数函数性质、指对数运算及奇函数性质计算即得.
【详解】由，，得，即函数的周期为4，
由，得，则，即，
又是上的奇函数，且当时，，，
所以
.
故答案为：
16. 已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可.
【详解】作出函数图象，如图，

因为，
所以由图可知，，即，，且，
，
在上单调递增，
，
即的取值范围是.
故答案为：1；
四、解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）
17. 已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】17. ；
18.
【解析】
【分析】（1）先求出集合中元素范围，再根据得到是方程的一个根，代入求解即可；
（2）由得，再根据二次函数的性质列不等式求解.
【小问1详解】
,,
,
是方程的一个根，
；此时，满足题意.
【小问2详解】
，则，
，解得，则的取值范围为.
18. 已知．
（1）若的终边位于第三象限角，求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用两角差的正切公式计算的值，再利用同角三角函数关系求得的值，最后求出的值；
（2）利用二倍角的余弦、正弦公式，整理所求式子，并利用同角三角函数的商数关系化为用的表达形式，代入（1）中所求得的的值计算.
【小问1详解】
，
∴，∴，∴，
又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，
∴；
【小问2详解】
.
19. 已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用三角函数定义即可求得，再由诱导公式代入计算即可得出结果；
（2）利用（1）中的三角函数值以及角的范围可求出，即可得.
【小问1详解】
由，可得，
根据三角函数定义可知，
所以，
即；
【小问2详解】
由且可知，
又，可得；
所以，
可得.
20. 已知函数，．
（1）求最小正周期及单调减区间；
（2）求在闭区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期,减区间为，．
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；
（2）根据已知条件求出的范围，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
函数
，
的最小正周期；
令，，得，，
所以的减区间为，．
【小问2详解】
由（1）知，，
，
，
当，即时，函数取得最大值为，
当，即时，函数取得最小值为．
21. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，求解即可；
（2）由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，再设，根据二次不等式恒成立问题列式即可.
【小问1详解】
在上为奇函数，故，即，解得，故.
又，；解得.
故，.
小问2详解】
；
增大时，增大，减小，减小；
在上单调递减；
为奇函数，由得，；
又在上单调递减；
，该不等式对于任意恒成立；
对任意恒成立；
设，则对于任意恒成立；
设，△；
应满足：；
解得；
的取值范围为．
22. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“漂移点”．
（1）判断函数在上是否有“漂移点”，并说明理由；
（2）若函数在上有“漂移点”，求正实数的取值范围．
【答案】（1）函数在上有“漂移点”，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）构造函数，根据零点存在性定理以及“漂移点”的定义可得答案；
（2）转化为在上有解，分类讨论，结合二次函数知识可求出结果.
【详解】（1）函数在上有“漂移点”，理由如下
设，
因为，，所以，
由零点存在定理可知，在上至少有1个零点，并设零点为，
即至少有1个实根，
所以函数在上有“漂移点”．
（2）若函数在上有“漂移点”，
则存在实数，使得成立，
即，即，
因为，所以，．
当时，，不合题意
当时，令，则在上有零点
当时，开口向下，对称轴，
在上单调递减，，
所以在上恒小于零，不合题意，
当时，开口向上，对称轴，
由题意只要，即，
解得．
因为，所以．
综上所述：正实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第（1）问，根据零点存在性定理以及“漂移点”的定义求解是解题关键；第（2）问，构造函数，利用二次函数知识求解是解题关键.