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2023-2024学年贵州省贵阳市高二上学期11月普通高中质量监测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市高二上学期11月普通高中质量监测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再由交集运算可得.
【详解】，
又，则.
故选：B.
2．复数的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.
【详解】因为，
所以复数的共轭复数是.
故选：C
3．已知，则（ ）
A．有最大值1B．有最小值1
C．有最大值2D．有最小值2
【答案】D
【分析】由基本不等式求和的最小值.
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
则有最小值.
故选：D.
4．若与互为相反数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质可得.
【详解】与互为相反数，
，则，
故选：C.
5．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为.
【详解】由得，，
则.
故选：A.
6．方程的解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在定理得到结论.
【详解】令，显然单调递增，
又因为，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.
故选：C
7．共享充电宝是指企业提供给用户的充电租赁设备，使用者可以随借随还，非常方便，某品牌的共享充电宝由甲､乙､丙三家工厂供货，相关统计数据如下表所示：
则该品牌共享充电宝的平均合格率的估计值为（ ）
A．0.975B．0.980C．0.986D．0.988
【答案】C
【分析】用样本平均数估计总体平均数.
【详解】由表格统计数据可以估计该品牌共享充电宝的平均合格率为
.
故答案为：C.
8．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：B
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，结合函数解析式及单调性定义判断单调性.
【详解】选项A，在上单调递减，故A错误；
选项B，设，
则，所以是奇函数；
设任取，且，
则，
由，则，又，则，
所以，即在上是增函数，故B正确；
选项C，设，
则，则是奇函数；
当，则，
在上是增函数，
即在上是增函数，故C正确；
选项D，是偶函数，由，
则，故不是奇函数，故D错误；
故选：BC.
10．已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过坐标原点
B．当时，的倾斜角为锐角
C．当时，和轴平行
D．若直线过点，直线的方程可化为
【答案】AD
【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得.
【详解】选项A，当时，是方程的解，
即过坐标原点，故A正确；
选项B，当时，直线的方程可化为，
则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误；
选项C，当时，由不全为0，，
直线的方程可化为，
故直线和轴垂直，不平行，故C错误；
选项D，直线过点，则，
可得，代入直线方程，
得，即，故D正确.
故选：AD.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．的图象向右平移个单位后得函数
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数的性质一一计算可得.
【详解】函数的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故C错误；
将的图象向右平移个单位得到，故D正确；
故选：ABD
12．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.下列说法中错误的是（ ）
A．点可以是棱的中点
B．线段长度的最大值为
C．点的轨迹是正方形
D．点的轨迹长度为
【答案】ABC
【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项B，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项A，又，，可判断选项C和选项D．
【详解】在正方体中，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，
∴，，，，∴，
设，则，
∵，∴，即
当时，，当时，，
取，，，，
连结EF，FG，，HE，
则，，
所以，
∴四边形EFGH为矩形，则，，
即，，
又和为平面内的两条相交直线，
∴平面EFGH，
又，，
∴M为EG的中点，则平面EFGH，
为使，必有点平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱的中点，故选项A错误；
又，，
∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，
故选项C错误，选项D正确；
∵，，
又，则，即，
∴，点在正方体表面运动，
则，解，
∴，
故当或，或1，MP取得最大值为，故B错误.
故选：ABC．
三、填空题
13．若，，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
故答案为：
14．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.则在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为 .
【答案】
【分析】由频率分布直方图的意义求出即可.
【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得，
所以用电量落在区间内的户数为，
故答案为：
15．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．
【详解】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，
可把直三棱柱的补成一个长方体，
则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，
又由长方体的对角线长等于球的直径，且，
即，即，
所以球的表面积为．
故答案为
【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
16．已知圆心在轴上的圆和直线相切于点，则圆的方程是 .
【答案】
【分析】设出圆心与半径，由相切性质求解圆的标准方程.
【详解】设圆心，半径为，由圆和直线相切，
则圆心到直线的距离①，
又因为切点为，直线的斜率，由，
得直线的斜率，
解得，代入①式得半径，且圆心，
则圆的方程是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，，.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
【详解】（1）由已知，得，
因为，所以.
又，
所以cs，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，所以.
所以.
18．已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．
【详解】（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
19．某学会创办了一个微信公众号，设定了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比，例如：阅读跳转率表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%，现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章.分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率来估计概率.
(1)随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；
(2)现用分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由折线图可知阅读量大于文章总量的80%的概率为；
（2）列举样本空间中的所有样本点，利用古典概型的概率公式求解.
【详解】（1）由折线图可知，对于篇目A的读者，
，
据此，随机选取一名篇目A的读者，
估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为；
（2）阅读量没有达到的篇目B的读者，
即为阅读量至该篇文章总量的和时退出该页面的读者，且两组频率相等，
因此抽取的人两组各有人，分别记的位读者编号为，的3位读者编号为，
记事件“这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%”，
任取人的样本空间为
，共有个样本点，
且每个样本点是等可能发生的，其中均为的有共个样本点，
由古典概型的概率公式可得，
所求概率为，
故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为.
20．在正方体中，分别是棱和上异于端点的动点，将经过三点的平面被正方体截得的图形记为.如图中时截面图形为矩形.
(1)在图中作出截面图形为梯形的情形；（直接画出图形即可，不需说明）
(2)当点为中点时，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）应用面面平行性质作截面图形；
（2）利用法向量求解直线与平面所成的角.
【详解】（1）如图所示是一种作法.
（参考）理由如下：
平面平面，
平面平面，设平面平面，
由面面平行的性质可得，，
当时，过点作交于，
则， 平面平面，
平面平面，设平面平面，
由面面平行的性质可得，，所以四边形是平行四边形，
则，且，
故此时截面图形为梯形.
（2）以为坐标原点，分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，
设平面的法向量，
所以，则有
令，得，，
设与平面所成的角为，
则
21．圆，直线.
（1）求证：直线过定点；
（2）求被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）被圆截得的弦长最小值为，此时.
【分析】（1）将直线的方程变形为，解方程组，即可求得直线所过定点的坐标；
（2）分析出当时，直线被圆截得的弦长最短，利用直线与直线的斜率之积为可求得实数的值.
【详解】（1）将直线的方程变形为，
解方程组，解得，
因此，直线过定点；
（2）如下图所示，设直线交圆于、两点，
设圆心到直线的距离为.
①当时，；
②当不与垂直时，.
综上所述，，
所以，，
此时，，由已知可得，解得.
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
22．阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集上有定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称为函数从到的差分，这里若无特别说明，均假定.通常记叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值叫做在和的差商.显然，当和位置交换时，差分变号，差商不变.随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：
(1)计算一次函数的差商.
(2)请通过计算差商研究函数的增减性.
【答案】(1)
(2)函数在和递减，在递增
【分析】（1）由材料根据差商定义式求解即可；
（2）求解差商，分区间讨论差商符号，根据材料即可判断单调性.
【详解】（1）一次函数的定义域内任取，且，
差商为，
一次函数的差商处处为；
（2）函数的定义域为，设，
计算在的差商为，
当时，，
从而，故函数在递减；
当，，
从而，故函数在递减；
当时，则，
从而，故函数在递增；
综上所述，函数在和递减，在递增.
工厂名称
合格率
供货量占比
甲
0.6
乙
0.3
丙
0.1
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再由交集运算可得.
【详解】，
又，则.
故选：B.
2．复数的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.
【详解】因为，
所以复数的共轭复数是.
故选：C
3．已知，则（ ）
A．有最大值1B．有最小值1
C．有最大值2D．有最小值2
【答案】D
【分析】由基本不等式求和的最小值.
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
则有最小值.
故选：D.
4．若与互为相反数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质可得.
【详解】与互为相反数，
，则，
故选：C.
5．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为.
【详解】由得，，
则.
故选：A.
6．方程的解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在定理得到结论.
【详解】令，显然单调递增，
又因为，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.
故选：C
7．共享充电宝是指企业提供给用户的充电租赁设备，使用者可以随借随还，非常方便，某品牌的共享充电宝由甲､乙､丙三家工厂供货，相关统计数据如下表所示：
则该品牌共享充电宝的平均合格率的估计值为（ ）
A．0.975B．0.980C．0.986D．0.988
【答案】C
【分析】用样本平均数估计总体平均数.
【详解】由表格统计数据可以估计该品牌共享充电宝的平均合格率为
.
故答案为：C.
8．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：B
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，结合函数解析式及单调性定义判断单调性.
【详解】选项A，在上单调递减，故A错误；
选项B，设，
则，所以是奇函数；
设任取，且，
则，
由，则，又，则，
所以，即在上是增函数，故B正确；
选项C，设，
则，则是奇函数；
当，则，
在上是增函数，
即在上是增函数，故C正确；
选项D，是偶函数，由，
则，故不是奇函数，故D错误；
故选：BC.
10．已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过坐标原点
B．当时，的倾斜角为锐角
C．当时，和轴平行
D．若直线过点，直线的方程可化为
【答案】AD
【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得.
【详解】选项A，当时，是方程的解，
即过坐标原点，故A正确；
选项B，当时，直线的方程可化为，
则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误；
选项C，当时，由不全为0，，
直线的方程可化为，
故直线和轴垂直，不平行，故C错误；
选项D，直线过点，则，
可得，代入直线方程，
得，即，故D正确.
故选：AD.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．的图象向右平移个单位后得函数
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数的性质一一计算可得.
【详解】函数的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故C错误；
将的图象向右平移个单位得到，故D正确；
故选：ABD
12．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.下列说法中错误的是（ ）
A．点可以是棱的中点
B．线段长度的最大值为
C．点的轨迹是正方形
D．点的轨迹长度为
【答案】ABC
【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项B，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项A，又，，可判断选项C和选项D．
【详解】在正方体中，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，
∴，，，，∴，
设，则，
∵，∴，即
当时，，当时，，
取，，，，
连结EF，FG，，HE，
则，，
所以，
∴四边形EFGH为矩形，则，，
即，，
又和为平面内的两条相交直线，
∴平面EFGH，
又，，
∴M为EG的中点，则平面EFGH，
为使，必有点平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱的中点，故选项A错误；
又，，
∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，
故选项C错误，选项D正确；
∵，，
又，则，即，
∴，点在正方体表面运动，
则，解，
∴，
故当或，或1，MP取得最大值为，故B错误.
故选：ABC．
三、填空题
13．若，，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
故答案为：
14．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.则在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为 .
【答案】
【分析】由频率分布直方图的意义求出即可.
【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得，
所以用电量落在区间内的户数为，
故答案为：
15．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．
【详解】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，
可把直三棱柱的补成一个长方体，
则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，
又由长方体的对角线长等于球的直径，且，
即，即，
所以球的表面积为．
故答案为
【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
16．已知圆心在轴上的圆和直线相切于点，则圆的方程是 .
【答案】
【分析】设出圆心与半径，由相切性质求解圆的标准方程.
【详解】设圆心，半径为，由圆和直线相切，
则圆心到直线的距离①，
又因为切点为，直线的斜率，由，
得直线的斜率，
解得，代入①式得半径，且圆心，
则圆的方程是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，，.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
【详解】（1）由已知，得，
因为，所以.
又，
所以cs，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，所以.
所以.
18．已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．
【详解】（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
19．某学会创办了一个微信公众号，设定了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比，例如：阅读跳转率表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%，现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章.分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率来估计概率.
(1)随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；
(2)现用分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由折线图可知阅读量大于文章总量的80%的概率为；
（2）列举样本空间中的所有样本点，利用古典概型的概率公式求解.
【详解】（1）由折线图可知，对于篇目A的读者，
，
据此，随机选取一名篇目A的读者，
估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为；
（2）阅读量没有达到的篇目B的读者，
即为阅读量至该篇文章总量的和时退出该页面的读者，且两组频率相等，
因此抽取的人两组各有人，分别记的位读者编号为，的3位读者编号为，
记事件“这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%”，
任取人的样本空间为
，共有个样本点，
且每个样本点是等可能发生的，其中均为的有共个样本点，
由古典概型的概率公式可得，
所求概率为，
故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为.
20．在正方体中，分别是棱和上异于端点的动点，将经过三点的平面被正方体截得的图形记为.如图中时截面图形为矩形.
(1)在图中作出截面图形为梯形的情形；（直接画出图形即可，不需说明）
(2)当点为中点时，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）应用面面平行性质作截面图形；
（2）利用法向量求解直线与平面所成的角.
【详解】（1）如图所示是一种作法.
（参考）理由如下：
平面平面，
平面平面，设平面平面，
由面面平行的性质可得，，
当时，过点作交于，
则， 平面平面，
平面平面，设平面平面，
由面面平行的性质可得，，所以四边形是平行四边形，
则，且，
故此时截面图形为梯形.
（2）以为坐标原点，分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，
设平面的法向量，
所以，则有
令，得，，
设与平面所成的角为，
则
21．圆，直线.
（1）求证：直线过定点；
（2）求被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）被圆截得的弦长最小值为，此时.
【分析】（1）将直线的方程变形为，解方程组，即可求得直线所过定点的坐标；
（2）分析出当时，直线被圆截得的弦长最短，利用直线与直线的斜率之积为可求得实数的值.
【详解】（1）将直线的方程变形为，
解方程组，解得，
因此，直线过定点；
（2）如下图所示，设直线交圆于、两点，
设圆心到直线的距离为.
①当时，；
②当不与垂直时，.
综上所述，，
所以，，
此时，，由已知可得，解得.
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
22．阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集上有定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称为函数从到的差分，这里若无特别说明，均假定.通常记叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值叫做在和的差商.显然，当和位置交换时，差分变号，差商不变.随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：
(1)计算一次函数的差商.
(2)请通过计算差商研究函数的增减性.
【答案】(1)
(2)函数在和递减，在递增
【分析】（1）由材料根据差商定义式求解即可；
（2）求解差商，分区间讨论差商符号，根据材料即可判断单调性.
【详解】（1）一次函数的定义域内任取，且，
差商为，
一次函数的差商处处为；
（2）函数的定义域为，设，
计算在的差商为，
当时，，
从而，故函数在递减；
当，，
从而，故函数在递减；
当时，则，
从而，故函数在递增；
综上所述，函数在和递减，在递增.
工厂名称
合格率
供货量占比
甲
0.6
乙
0.3
丙
0.1
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