2022年广东省广州市荔湾区九年级数学二模试卷

这是一份2022年广东省广州市荔湾区九年级数学二模试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数4的倒数是( )
A．B．2C．D．
2．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．化简m+n﹣（m﹣n）的结果是（ ）
A．2mB．2nC．﹣2mD．﹣2n
4．如图，直线，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 （ ）
A．B．C．D．
7．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．2D．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）

A．①②B．②③C．①②④D．②③④
二、填空题
11．当x满足条件 时，式子在实数范围内有意义．
12．方程的解为 ．
13．若关于x的方程有一根是，则b的值是 .
14．把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为 .
15．为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出 个车位．（参考数据：）
16．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长10为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案．
①树叶图案的周长为；
②树叶图案的面积为；
③若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥底面半径为2.5；
④若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥的高为；上述结论正确的有 ．
三、解答题
17．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
18．如图，点A，D，B，E在一条直线上，，．
求证：．
19．先化简再求值：，其中．
20．九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
21．在某官方旗舰店购买3个冰墩墩和6个雪融融毛绒玩具需1194元；购买1个冰墩墩和5个雪融融毛绒玩具需698元．
(1)求冰墩墩、雪融融毛绒玩具单价各是多少元？
(2)某单位准备用不超过3000元的资金在该官方旗舰店购进冰墩墩、雪融融两种毛绒玩具共20个，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
22．某商店销售一款工艺品，每件成本为元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件．设这种工艺品每件降价元．
(1)每件工艺品的实际利润为 元（用含有的式子表示）；
(2)为达到每月销售这种工艺品的利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？
23．已知反比例函数y的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6）．
(1)求m和n的值．
(2)请直接写出不等式3x的解集．
(3)将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，与反比例函数y的图象交于点C和点D．求△COD的面积．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D．
(1)尺规作图，作边BC的垂直平分线，交边AC于点E．
(2)若AD：BD＝3：4，求sinC的值．
(3)已知BC＝10，BD＝6．若点P为平面内任意一动点，且保持∠BPC＝90°，求线段AP的最大值．
25．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．
（1）作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD、BD（尺规作图．并保留作图痕迹）；
（2）求线段CD的长度；
（3）若点G在劣弧BD上由点B运动到点D时，求弦CG的中点K运动的路径长．
26．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（A点在点B的左侧），点B坐标是，抛物线与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点，连接PC．
(1)抛物线的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点；
①当的面积等于面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线L垂直于AQ，直接
交直线L于点F，点G在直线，且时，请直接写出GF的长．
参考答案：
1．C
【详解】解：实数4的倒数是，
故选：C．
2．C
【分析】主视图就是从正面看得到的图形．
【详解】解：主视图是从正面看，得到的图形为
故选：C．
【点睛】本题考查三视图，认清方向是解题的关键．
3．B
【分析】展开括号化简即可．
【详解】解：原式==；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的化简，去括号注意变号，属于基础题．
4．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
5．D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据左视图与主视图宽相等，主视图与俯视图长相等，确定主视图的长、宽，即可求解．
【详解】由左视图和俯视图可得：主视图的长为5，宽为3，
∴主视图的面积为，
故选B．
【点睛】本题考查了三视图及其之间的数量关系，熟练掌握三视图的特点是解题的关键．
7．D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
8．D
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+20，
解得：x-2
在数轴上表示为：
故答案选D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
9．D
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
10．A
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0,根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,则可对②进行判断:根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0,则abc＜0,于是可对①进行判断,由于x＝2时,y＞0,则得到4a+2b+c＞0,则可对③进行判断,通过点（﹣5,y1）和点（3,y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a＞0,
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,
∴b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c＜0,
∴abc＜0,所以①正确;
∵x＝2时,y＞0,
∴4a+2b+c＞0,所以③错误;
∵点（﹣5,y1）离对称轴的距离与点（3,y2）离对称轴的距离相等,
∴y1＝y2,所以④不正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.
11．
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式和二次根式有意义的条件：分式的分母不能为0；二次根式的被开方数不能为负数；掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．
12．
【分析】方程两边同乘以，然后求解方程即可．
【详解】解：
，
，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
13．
【分析】根据题意，将代入方程求解即可．
【详解】解：将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
14．
【分析】根据全等的矩形的对角线相等得出，根据勾股定理得出，进而证明是等腰直角三角形，根据三角形的面积进行计算即可求解．
【详解】在中，，
四边形，为全等的矩形，
，，，
在和中，
，
，
，，
点、、共线，
，
，
是等腰直角三角形，
的面积为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
15．9
【分析】先算出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
在Rt△ABC中，AB＝6m，∠CAB＝60°，
∴AC＝ABcs60°＝6×=3（m），
在Rt△DHG中，HG＝2.4m，∠HDG＝60°，
，
∵∠GDE＝90°，
∴∠FDE＝180°−∠HDG−∠GDE＝30°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝90°−∠FDE＝60°，
在Rt△DFE中，DE＝2.4m，
∴DF＝DEsin60°＝2.4×，
∴
∴在这一路段边上最多可以划出9个车位，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离是解题的关键．
16．①③/③①
【分析】根据正方形的性质，弧长公式，扇形面积公式，勾股定理计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠B=90°，
∴弧长为：，
∴树叶图案的周长为；
∴结论①是正确的；
阴影的面积为2，
∴结论②是错误的；
根据题意，得=2πr，
解得r=2.5，
∴结论③是正确的；
根据题意，得锥高=，
∴结论④是错误的；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，弧长公式，圆锥的计算，熟练掌握扇形面积，弧长公式，圆锥的计算是解题的关键．
17．x1＝4，x2＝﹣2．
【分析】用十字相乘法进行因式分解，或配方法求解可得．
【详解】十字相乘法：
解：（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
配方法：
（x-1）2=9
x-1=3或x-1=-3
所以x1＝4，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．见详解
【分析】由题意易得，进而易证，然后问题可求证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．，
【分析】先算分式的加法，再算乘法运算，最后代入求值，即可求解．
【详解】解：原式．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，然后利用概率公式计算即可．
【详解】（1）∵九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，
∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：
【点睛】本题考查求随机事件概率，掌握概率公式，列出树状图是关键．
21．(1)冰墩墩的单价为元；雪融融的单价为
(2)个
【分析】（1）设购买个冰墩墩需元，购买个雪融融需元，结合题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设购买冰墩墩个，则购买雪融融个，结合总价不超过元，即可列出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出答案．
【详解】（1）设购买个冰墩墩需元，购买个雪融融需元
由题意可得：
解得：
答：购买个冰墩墩需元，购买个雪融融需元
（2）设购买冰墩墩个，则购买雪融融个
由题意可得：
解得：
为正整数
的最大值为
答：最多购买冰墩墩个
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题关键是（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组（2）根据不等关系，正确列出一元一次不等式．
22．(1)
(2)元
【分析】（1）用销售单价减去成本即可得答案．
（2）设每件工艺品应降价元，根据每月的销售利润每件的利润每月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）每件工艺品的实际利润为：元，
故答案为：．
（2）设每件工艺品应降价x元，依题意得：
，
解得：，（不符题意，舍去）．
答：每件工艺品应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)m=-10，n=-2；
(2)x＜-2或者0＜x＜2；
(3)．
【分析】（1）根据A点坐标（2，-6），代入y 中求出ｍ即可；根据正比例函数解析式可以求出B点坐标，进而得出n的值；
（2）利用数形结合的思想 可得出不等式的解集；
（3）利用直线平移的规律得到平移后的直线的解析式为y=-3x+9，与反比例函数组成方程组得出点C（-1，12）和点D（4，-3），进而求得直线CD的解析式，进而求出与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式，进行计算．
【详解】（1）解：∵y 经过点A（2，-6）
∴-6=
∴m=-10
∵y过点B（n，6）
∴6n=-12
∴n=-2
（2）解：根据图象可得，x＜-2或者0＜x＜2
（3）解：直线y=-3x向上平移9的单位得到直线的解析式为y=-3x+9
∴由题意得
解得或者
∴C（4，-3），D(-1，12)
令y=0可得-3x+9=0，得x=3
∴一次函数y=-3x+9与x轴的交点坐标为（3，0）
．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查平移的性质和函数图象上点的坐标特征，表示出C、D两点的坐标及数形结合的思想是解题的关键．
24．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据尺规作图方法按步骤完成即可；
（2）由同角的余角相等可得∠ABD=∠C，在Rt△ABD中，求出sin∠ABD的值，从而得出答案；
（3）由条件可得，点P的轨迹是以BC为直径的圆上，所以当AP过圆心时距离最大，用勾股定理求出线段即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）∵∠ABC=∠BDC=90°，
∴∠ABD＋∠CBD=90°，∠CBD＋∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
在Rt△ABD中，AD：BD＝3：4，
∴AB∶AD=3∶5，
∴sin∠C=sin∠ABD=．
（3）如图，点P在BC为直径的圆上，O为圆心，当A、P、O三点共线时，AP最大，
∵BC＝10，BD＝6，
∴CD=8，
∵△ABD∽△BCD，
∴，，解得,
在Rt△ABD中，AB=,
∵BC=10，
∴BO=OP=5,
在Rt△ABO中，,
∴AP=AO＋OP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图，三角函数，动点最值问题，找准动点的轨迹是解题的关键．
25．（1）图见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）先根据圆周角定理、勾股定理可得，再根据解直角三角形可得，然后根据相似三角形的判定得出，利用相似三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可得；
（3）如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上，再根据圆周角定理可得，然后利用弧长公式求出劣弧长即可得．
【详解】解：（1）尺规作图结果如下：
（2）如图，过点作于点，
是的直径，
，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
由圆周角定理得：，
在和中，，
，
，即，
解得，
；
（3）如图，连接，分别取中点，连接，
，点是的中点，
，即，
点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上，
当点在劣弧上由点运动到点时，则点在劣弧上由点运动到点，
，
，
由圆周角定理得：，
则点运动的路径长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、弧长公式、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），正确确定点的运动轨迹是解题关键．
26．(1)
(2)①或；②或
【分析】（1）待定系数法直求解即可；
（2）①先将三角形面积求出，然后根据Q为直线BC上一动点，即分类讨论，会出现两个答案；
②先根据线段的关系，求出点的坐标，然后构造相似三角形求出点的坐标，再求出解析式最后联立解析式求的坐标，最后联立解析式求解即可.
【详解】（1）由题意得，
，
∴，
∴
∴
（2）①如图1，
作于E，
∵，
∴直线，
∴，可设，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴或．
∴或
②如图2，
设
由得，
，
化简，得：
，
∴，
∴
作于H，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
设直线QM是：，
∴，
∴，
∴，
由得，
∴
∴，
．
【点睛】此题考查二次函数压轴题，解题关键是在直线上的点需要分类讨论，两点之间的距离公式为．