2021年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）方程x2＝﹣x的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝0
C．x1＝﹣1或x2＝0 D．x1＝1或x2＝0
3．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5
4．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．（3分）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝105°，OA＝6，点C在半径OB上，沿AC折叠，圆心O落在上，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．12π﹣6 B．9π﹣9 C． D．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝　 　．
12．（3分）计算：×2﹣2﹣|tan30°﹣3|+20200＝　 　．
13．（3分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　 　．
14．（3分）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为　 　．
15．（3分）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是　 　．

16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝3，点E在边AD上，且DE＝1，点F为线段AB上一动点（不与点A重合），将菱形沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF的长为　 　．

三、解答题（共72分）
17．（4分）解不等式组：．
18．（4分）已知T＝（﹣b）•，当点M（a，b）在直线y＝x+上时，求T的值．
19．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

20．（6分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了　 　名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为　 　；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区218000名中学生家长中有　 　名家长持反对态度；
（4）针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．

22．（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
23．（10分）矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE．
（1）在BC上取一点F，使∠AFE＝90°，且BF＜FC．（用尺规作图，找出点，保留作图痕迹）；
（2）连接AF，EF，延长EF与AB的延长线交于点G，求证：BF2＝BG•AG﹣BG2．

24．（12分）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．

25．（12分）已知抛物线G：y＝x2﹣2mx与直线l：y＝3x+b相交于A，B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标）．
（1）求抛物线y＝x2﹣2mx顶点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点C（﹣2，1），若直线l经过抛物线G的顶点，求△ABC面积的最小值；
（3）若平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，求实数m的取值范围．

2021年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）方程x2＝﹣x的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝0
C．x1＝﹣1或x2＝0 D．x1＝1或x2＝0
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程移项得：x2+x＝0，
分解因式得：x（x+1）＝0，
可得x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：C．
3．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．
故选：D．
4．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以，y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
5．（3分）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得
2cosA＝，1﹣tanB＝0．
解得A＝45°，B＝45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
6．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图判断长方体右面加四棱锥，确定具体位置后即可得到答案．
【解答】解：由主视图、俯视图和左视图可以得到该几何体是长方体右面加四棱锥的复合体．
故选：A．
7．（3分）明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由用于生产笔管和笔套的短竹的数量结合生产的笔管总数＝笔套的总数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
8．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝105°，OA＝6，点C在半径OB上，沿AC折叠，圆心O落在上，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．12π﹣6 B．9π﹣9 C． D．
【分析】连接AO'、OO'，根据折叠性质可知△AOO'是等边三角形，然后再求出S扇形AOO'、S扇形AOB、S△COO'，即可求解．
【解答】解：如图，连接AO'、OO'交AC于点D，

由折叠的性质可得，AC⊥OO'，OD＝O'D，AO＝AO'＝OO'，
∴△AO O'是等边三角形，
∴∠AO O'＝60°，
∵∠AOB＝105°，
∴∠COD＝45°．
∵OA＝6，AC⊥OO'，OD＝O'D，
∴CD＝OD＝OO'＝OA＝3，
∴，，，
∴．
故选：C．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论：当0≤t≤2时，过Q作QD⊥AC交AC于点D，S△APQ＝×AP×QD；当2＜t≤4时，S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ．
【解答】解：①当0≤t≤2时，点Q在AB上，
∴AQ＝2t，AP＝t，
过Q作QD⊥AC交AC于点D，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
∴＝，
∴QD＝t，
S△APQ＝×AP×QD＝×t×t＝t2，
②当2＜t≤4时，点Q在BC上，
S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ
＝×3×4﹣×（4﹣t）×（8﹣2t）﹣×4×（2t﹣5）
＝﹣t2+4t
＝﹣（t﹣2）2+4，
综上所述，正确的图象是C．
故选：C．

10．（3分）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD＝CD＝CE＝OE＝GQ＝QF＝R，求出y＝2R，x＝R，根据锐角三角函数值求出即可．
【解答】解：
设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，
连接OD，OG，OF，OE，
∵⊙O内切于Rt△ABC，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°＝∠C，AD＝AG，
∵OD＝OE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴OD＝CD＝CE＝OE＝R，
同理OG＝GQ＝FQ＝OF＝R，
则PQ＝CP，AC＝AQ，
∵PQ⊥AB，∠C＝90°，
∴∠C＝∠PQB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴＝＝，
∴BC＝2BQ＝2y，
根据BG＝BE得：y+R＝2y﹣R，
解得：y＝2R，
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2＝BP2，
即（2R）2+（R+x）2＝（4R﹣R﹣x）2，
解得：x＝R，
即PQ＝R+R＝R，BQ＝2R，
tanB＝＝＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝　8　．
【分析】根据白球的概率公式＝列出方程求解即可．
【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+4）个球，其中白球4个，
根据古典型概率公式知：P（白球）＝＝，
解得：n＝8，
故答案为：8．
12．（3分）计算：×2﹣2﹣|tan30°﹣3|+20200＝　﹣　．
【分析】分别根据开平方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂运算各项，再进行运算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
13．（3分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　2　．
【分析】先利用点平移的坐标变换规律确定Q（1，n+1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝2n＝n+1，然后求出n即可得到k的值．
【解答】解：∵点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，
∴Q（1，n+1），
∴P（2，n），Q（1，n+1）都在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2n＝n+1，
解得n＝1，
∴k＝2．
故答案为2．
14．（3分）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为　m＞﹣10且m≠﹣6　．
【分析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到m的取值范围．
【解答】解：，
3x＝﹣m+5（x﹣2），
3x＝﹣m+5x﹣10，
3x﹣5x＝﹣m﹣10，
﹣2x＝﹣m﹣10，
x＝，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
∴m≠﹣6．
∵方程的解为正数，
∴0，
∴m＞﹣10．
∴m的取值范围为：m＞﹣10且m≠﹣6．
故答案为：m＞﹣10且m≠﹣6．
15．（3分）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是　105°　．

【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，

∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，
∴∠E＝60°，∠B＝45°，
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，
故∠EGB的度数是105°，
故答案为：105°．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝3，点E在边AD上，且DE＝1，点F为线段AB上一动点（不与点A重合），将菱形沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF的长为　2或5﹣　．

【分析】分两种情况进行讨论：①当点A′在BD上时，可以证明△A′DE∽△FBA′，对应边成比例，可求出AF的长；②当点A′在AC上时，可得△EAF是等边三角形，进而可求AF的长．
【解答】解：①当点A′在BD上时，如图，

由折叠可知：
∠EA′F＝∠DAB＝60°，
∴∠DA′E+∠FA′B＝120°，
∵∠A＝60°，AB＝AD，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠DBA＝∠ADB＝60°，
∴∠A′FB+∠BA′F＝120°，
∴∠DA′E＝∠BFA′，
∴△A′DE∽△FBA′，
∴＝＝，
∵AB＝AD＝DB＝3，DE＝1，
∴EA′＝EA＝AD﹣DE＝2，
设FA′＝FA＝x，DA′＝y，
则BA′＝3﹣y，BF＝3﹣x，
∴＝＝，
解得x＝5﹣；
②当点A′在AC上时，如图：

由折叠可知：EF垂直平分AA′，
∴∠AOF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠AFE＝60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴AF＝AE＝AD﹣DE＝2．
综上所述：AF＝5﹣或2．
故答案为：2或5﹣．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1．
18．（4分）已知T＝（﹣b）•，当点M（a，b）在直线y＝x+上时，求T的值．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据点M（a，b）在直线y＝x+上，可以得到a﹣b的值，然后代入化简后的式子，即可得到T的值．
【解答】解：T＝（﹣b）•
＝
＝
＝，
∵点M（a，b）在直线y＝x+上，
∴b＝a+，
∴a﹣b＝﹣，
当a﹣b＝﹣时，原式＝＝﹣，
即T的值是﹣．
19．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
20．（6分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了　200　名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为　54°　；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区218000名中学生家长中有　130800　名家长持反对态度；
（4）针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率．
【分析】（1）由A的人数和所占百分比求出共调查的中学生家长人数，即可解决问题；
（2）求出C的人数，将图①补充完整即可；
（3）由总人数乘以持反对态度的家长所占的百分比即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵A有人数50名，占25%，
∴共调查了中学生家长为：50÷25%＝200（名），
∵C占的百分比为：1﹣25%﹣60%＝15%，
∴图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为：15%×360＝54°；
故答案为：200，54°；
（2）200×15%＝30（名），将图①补充完整如下：

（3）218000×60%＝130800（名），
即估计我市城区218000名中学生家长中有130800名家长持反对态度；
故答案为：130800；
（4）把小华、小亮和小丁的这3位同学的家长分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有6个等可能的结果，小亮和小丁的家长被同时选中的结果有2个，
∴小亮和小丁的家长被同时选中的概率为＝．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）先判断出BF＝AE，进而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出m＝﹣n，进而得出BF＝2+n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判断出△AME∽△ENB，得出＝＝，得出ME＝BN＝，最后用勾股定理求出m，即可得出结论．
【解答】解：（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
∵点B（n，2）在反比例函数y＝﹣图象上，
∴2n＝﹣3，
∴n＝﹣，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，
∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3m＝2n，
∴m＝﹣n，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，
∴△AME∽△ENB，
∴＝＝＝＝，
∴ME＝BN＝，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，
∴m2+（）2＝（2﹣m）2，
∴m＝，
∴k＝﹣3m＝﹣，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．

22．（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣30，b＝1500，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；

（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30）
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000，
∴当x＝﹣＝40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；

（3）日获利w＝p（x﹣30﹣a）＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），
即w＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x＝﹣＝40+a，
①若a＞10，则当x＝45时，w有最大值，
即w＝2250﹣150a＜2430（不合题意）；
②若a＜10，则当x＝40+a时，w有最大值，
将x＝40+a代入，可得w＝30（a2﹣10a+100），
当w＝2430时，2430＝30（a2﹣10a+100），
解得a1＝2，a2＝38（舍去），
综上所述，a的值为2．
23．（10分）矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE．
（1）在BC上取一点F，使∠AFE＝90°，且BF＜FC．（用尺规作图，找出点，保留作图痕迹）；
（2）连接AF，EF，延长EF与AB的延长线交于点G，求证：BF2＝BG•AG﹣BG2．

【分析】（1）先作AE的垂直平分线，与AE交于点O，再以O为圆心，OA长为半径，画弧，与BC交于两点，则左边交点定为F，连接AF、EF，则∠AEF为所求作的角；
（2）证明△ABF∽△FBG，由比例线段便可得结论．
【解答】解：（1）根据题意作图如下，


（2）如图2，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠GBF＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝∠BAF+∠G＝90°，
∴∠AFB＝∠G，
∴△ABF∽△FBG，
∴，
∴BF2＝BG•AB，
∴BG2＝BG（AG﹣BG），
∴BF2＝BG•AG﹣BG2．

24．（12分）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．

【分析】（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．利用等腰三角形的性质求出∠AOH即可．
（2）连接OC，证明O，D，C，E四点共圆，OC的中点即为△ODE外接圆的圆心，再利用弧长公式计算即可．
（3）如图3中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．证明△CDE∽△CAB，推出＝（）2＝，推出S△ABC＝4S2，因为S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，推出S四边形ODCE＝S四边形OACB，可得S1+S2＝（4S2+4）＝2S2+2，推出S1＝S2+2，因为S12﹣S22＝21，可得S22+4S2+12﹣S22＝21，推出S2＝，利用三角形的面积公式求出CK，解直角三角形求出AK即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．

∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，
∴AH＝HB＝AB＝2，∠AOH＝∠BOH，
∴sin∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．

（2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP，

∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，
∴OD⊥AC，OE⊥CB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴∠ODC+∠OEC＝180°，
∴O，D，C，E四点共圆，
∴OC是直径，
∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，
∴OP＝OC＝2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵∠AOB＝120°，
∴点P的运动路径的长＝＝．

（3）当点C靠近A点时，
如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．

∵AD＝CD，CE＝EB，
∴DE∥AB，AB＝2DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S2，
∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，
∴S四边形ODCE＝S四边形OACB，
∴S1+S2＝（4S2+4）＝2S2+2，
∴S1＝S2+2，
∵S12﹣S22＝21，
∴S22+4S2+12﹣S22＝21，
∴S2＝，
∴S△ABC＝3＝×AB×CK，
∴CK＝，
∵OH⊥AB，CK⊥AB，
∴OH∥CK，
∴△CKJ∽△OHJ，
∴＝，
∴＝＝，
∴CJ＝×4＝，OJ＝×4＝，
∴JK＝＝＝，JH＝＝＝，
∴KH＝，
∴AK＝AH﹣KH＝2﹣，
∴AC＝＝＝＝﹣．
当点C靠近点B时，即AC＞BC时，同法可得AC＝+．
综上所述，满足条件的AC的值为±．
25．（12分）已知抛物线G：y＝x2﹣2mx与直线l：y＝3x+b相交于A，B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标）．
（1）求抛物线y＝x2﹣2mx顶点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点C（﹣2，1），若直线l经过抛物线G的顶点，求△ABC面积的最小值；
（3）若平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；
（2）由直线l经过抛物线G的顶点，得出直线的解析式为y＝3x﹣m2﹣3m．把直线与抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组求出A，B两点的坐标．根据三角形的面积公式，得到S△ABC关于m的二次函数的表达式，配方化为顶点式，利用二次函数的性质即可求出△ABC面积的最小值；
（3）分三种情况进行讨论：i）当m＝0时，抛物线G：y＝x2﹣2mx的图象没有在x轴下方的部分，不合题意舍去；
ii）当m＞0时，由图象可知当0＜x＜2m时图象在x轴下方．设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么0＜x1＜2m，0＜x2＜2m，所以0＜x1+x2＜4m，0＜x1•x2＜4m2．联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，根据，求出m＞；
iii）当m＜0时，同上求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
∴顶点的坐标为（m，﹣m2）；

（2）∵直线l：y＝3x+b过点（m，﹣m2），
∴﹣m2＝3m+b，b＝﹣m2﹣3m，
∴y＝3x﹣m2﹣3m．
解方程组，
解得或，
∵点A的横坐标小于点B的横坐标，
∴A（m，﹣m2），B（m+3，9﹣m2）．
如图，过C作CH⊥x轴交AB于H．
∵C（﹣2，1），直线AB的解析式为y＝3x﹣m2﹣3m，
∴H（﹣2，﹣6﹣m2﹣3m），
∴CH＝1﹣（﹣6﹣m2﹣3m）＝7+m2+3m，
∴S△ABC＝（7+m2+3m）（m+3﹣m）
＝m2+m+
＝（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△ABC的面积最小，最小值是；

（3）i）当m＝0时，抛物线G：y＝x2﹣2mx，即y＝x2的图象没有在x轴下方的部分，不合题意舍去；
ii）当m＞0时，由图象可知当0＜x＜2m时图象在x轴下方．
设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么0＜x1＜2m，0＜x2＜2m，所以0＜x1+x2＜4m，0＜x1•x2＜4m2．
联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，
∴，
解②得m＞，
由①得a＞﹣，
由③得﹣4m2＜a＜0，
∵平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，
∴存在a满足条件，①与③必有公共部分，则﹣＜0，显然成立，
∴m＞；
iii）当m＜0时，由图象可知当2m＜x＜0时图象在x轴下方．
设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么2m＜x1＜0，2m＜x2＜0，所以4m＜x1+x2＜0，0＜x1•x2＜4m2．
联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，
∴，
解②得m＜﹣，
由①得a＞﹣，
由③得﹣4m2＜a＜0，
∵平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，
∴存在a满足条件，①与③必有公共部分，则﹣＜0，显然成立，
∴m＜﹣；
综上，当m＞或m＜﹣时，y＝3x+b平移后的式子可与抛物线两交点都落在x轴的下方．