2022-2023学年山西省阳泉市高新区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山西省阳泉市高新区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=1，则tanA的值为( )
A. 12B. 55C. 2 55D. 2
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40∘，则∠BOC的度数为( )
A. 20∘
B. 40∘
C. 60∘
D. 80∘
3.已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值，则表中“▲”处的数为( )
A. −2B. −1.2C. 1.2D. 2
4.将二次函数y=(x+3)2−10的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A. y=(x+5)2−2B. y=(x−1)2+2C. y=(x+1)2−2D. y=(x−5)2+2
5.图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度.下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是( )
A. B.
C. D.
6.学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是( )
A. B.
C. D.
7.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力臂为1.5m，则撬动这块大石头至少需要的动力是( )
A. 360NB. 400NC. 450ND. 600N
8.如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8m，CD=12m，两树底部的距离BD=5m，王红估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C，此时，她与左边较低的树AB的水平距离( )
A. 小于8mB. 小于9mC. 大于8mD. 大于9m
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，AB=6.将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转至△A′B′C的位置，此时，点A′恰好在AB上，则点B与点B′的距离是( )
A. 6
B. 3 3
C. 2 3π
D. 3 3π
10.如图，在四边形ABCD中，AB=AC，对角线AC与BD相交于点E，DE=3BE，AC⊥AD，∠ACB=75∘，AE=3 3，则对角线AC与BD的长分别是( )
A. AC=4 3，BD=12 3
B. AC=9，BD=4 19
C. AC=6，BD=8 3
D. AC=8，BD=4 19
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比(坡比也叫坡度.指点B向水平面作垂线BC，垂足为C，BC：AC=1： 3.)是1： 3，河堤的高BC=10米，则坡面AB的长度是______ 米.
12.在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同.先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回；再摇匀，再摸出一球.则摸出的两球的数字之和是4的概率是______ .
13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是______ .
14.如图，点A在反比例函数y=−4x的图象上，点B在反比例函数y=2x的图象上.AB//x轴，则△OAB的面积是______ .
15.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=DC，BC=5 2，AD= 2，∠B=45∘，含45∘角的直角三角板EMN的顶点E在边BC上移动，∠MEN=45∘，直角边ME始终经过点A，斜边EN与CD交于点F.当△ABE是以AB为腰的等腰三角形时，线段CF长度的最大值等于______ .
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解方程：3(2x−3)2=2(2x−3).
17.(本小题5分)
在锐角△ABC中，∠A和∠B满足的关系式为 2sin2A−1+(tanB− 3)2=0.求∠C的度数.
18.(本小题9分)
如图，小明与小颖在6×6的小正方形网格中画出格点△ABC(格点指小正方形的顶点)，小正方形的边长为1.此时，细心的小颖发现利用网格可以提出下列问题，请你帮助小明解答小颖提出的问题：
(1)求sinA和tanB的值；
(2)在网格中存在格点△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC不全等，同一位置的格点△ADE只算一个，则符合条件的格点△ADE一共有______ 个.
19.(本小题7分)
如图，已知反比例函数y1=kx(k≠0)和正比例函数y2=mx的图象相交于点A(−2,4)和点B两点.
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)点C在x轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标.
20.(本小题8分)
如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即CD=3m.数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离.根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是AE=BF=1.5m，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31∘，站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45∘，AB=6m.依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由.(图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内.参考数据：tan31∘≈0.60，sin31∘≈0.52，cs31∘≈0.86)
21.(本小题9分)
“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶.她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图.图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60∘时，箱盖ADE落在AD′E′的位置的示意图.王红测得AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米.根据王红提供的信息解答下列问题：
(1)求点D′到BC的距离；
(2)求点E运动的距离.
22.(本小题10分)
阿尔⋅花拉子米(约780∼约850)，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”.他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程x2+2x−35=0的一个解，具体做法如下：
将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是x2+2⋅x⋅1+12，即x2+2x+1.而由原方程x2+2x−35=0变形得x2+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36.所以(x+1)2=36，则x=5.
(1)上述求解过程中所用的解题方法是______ ；
A.直接开平方法
B.公式法
C.配方法
D.因式分解法______ ；
(2)所用的数学思想是
A.分类讨论思想
B.数形结合思想
C.转化思想
(3)山西特产专卖店销售某品牌的枣夹核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋.由于货源紧缺，现要涨价销售.经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋.若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元，求y与x的函数解析式，并求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？
23.(本小题10分)
综合与探究
问题情境：
如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC.
探究发现：
(1)证明：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上；
探究引申：
(2)如图2，勤奋小组继续探究发现，若△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，CD与AB存在数量关系，请写出结论并证明；
探究规律：
(3)如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当△AOC为正三角形时，CD与AB存在的数量关系是：CD=______ AB.
24.(本小题12分)
综合与实践
如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标是(4,0)，点C的坐标是(0,2)，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接CD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图．
在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=1，
∴tanA=BCAC=12.
故选：A.
根据锐角三角函数的正切值的定义解决此题．
本题主要考查三角函数中正切值，熟练掌握锐角三角函数中正切值的定义是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠BOC、∠A是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠A=80∘；
故选D.
可由同弧所对的圆周角、圆心角的关系求出∠BOC的度数．
此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合这个函数的解析式．
用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中x=5代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】
解：∵y是x的反比例函数，
∴设反比函数解析式为y=kx(k≠0)，
∴将(−2,3)代入解析式得：k=−2×3=−6，
∴这个函数关系式为：y=−6x，
∴把x=5代入得：y=−1.2，
∴表中“▲”处的数为−1.2，
故选B.
4.【答案】C
【解析】解：将二次函数y=(x+3)2−10的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的函数解析式为：y=(x+3−2)2−10+8，即y=(x+1)2−2.
故选：C.
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】C
【解析】解：A、D、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项A、D不符合题意；
B、因为，且γ=γ，则可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项B不符合题意；
故选：C.
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、两个矩形的长与宽不一定对应成比例，因此内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意；
B、两个正方形四边对应成比例，四个角相等，因此内、外边框的图形一定相似，故B不符合题意；
C、两个等边三角形一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故C不符合题意；
D、两个圆一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故D不符合题意．
故选：A.
由多边形相似的判定方法：各边对应成比例，各角对应相等，即可判断．
本题考查图形的相似，关键是掌握多边形相似的判定方法．
7.【答案】B
【解析】解：根据“杠杆定律”有FL=1200×0.5，
∴函数的解析式为F=600L，
当L=1.5时，F=6001.5=400，
因此，撬动石头需要400N，
故选：B.
根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l=1.5求得力的大小即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
8.【答案】A
【解析】解：当小红的眼睛的位置到F′时，C，A，F′共线，
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB//CD，
∴△F′AH∽△F′CK，
∴F′H：F′K=AH：CK，
∵AH=AB−BH=8−1.6=6.4(m)，CK=CD−KD=12−1.6=10.4(m)，
∴F′H：(F′H+5)=6.4：10.4，
∴F′H=8(m)，
在前进的过程中，小红发现看不到右边较高的树的顶端C，此时，她与左边较低的树AB的水平距离小于8m.
故选：A.
当小红的眼睛的位置到F′时，C，A，F′共线，此时由△F′AH∽△F′CK得到F′H：F′K=AH：CK，求出F′H即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，关键是从问题中抽象出相似三角形，由相似三角形的性质来解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接BB′，
∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，AB=6，
∴sinA=BCAB= 32，
∴BC=6× 32=3 3，
∵将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转至△A′B′C的位置，
∴BC=CB′，∠BCB′=60∘，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC=3 3，
∴点B与点B′的距离是3 3，
故选：B.
由锐角三角函数可求BC的长，由旋转的性质可得BC=CB′，∠BCB′=60∘，可证△BCB′是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理有关知识，过点B作BF//AD交AC于点F，证明△AED∽△FEB，求出FE，在利用勾股定理求出BF，即可求出AC，进一步利用勾股定理可求出BE，进而求出BD.
【解答】
解：过点B作BF//AD交AC于点F，如图所示：
∵AC⊥AD，BF//AD，
∴∠DAC=∠BFA=90∘.
∵∠AED=∠FEB，
∴△AED∽△FEB，
∴AEFE=DEBE=ADFB.
∵DE=3BE，
∴AEFE=ADFB=3.
∵AE=3 3，
∴FE= 3，
∴AF=AE+FE=4 3.
∵AB=AC，∠ACB=75∘，
∴∠BAC=30∘，
∴AB=2BF.
在Rt△AFB中，
由勾股定理，得AF2+BF2=AB2，
即(4 3)2+BF2=(2BF)2，
解得：BF=4，
∴AB=AC=8；
在Rt△EFB中，
由勾股定理，得BE= BF2+EF2= 42+( 3)2= 19，
∴DE=3BE=3 19，
∴BD=BE+DE= 19+3 19=4 19
11.【答案】20
【解析】解：∵迎水坡AB的坡度i=1： 3，
∴BCAC=1 3，
∴AC= 3BC=10 3(米)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB= AC2+BC2= (10 3)2+102=20(米)，
故答案为：20.
根据坡度的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的两球的数字之和是4的结果有3种，
∴摸出的两球的数字之和是4的概率是39=13，
故答案为：13.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中摸出的两球的数字之和是4的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】(12,0)
【解析】解：如图所示：位似中心点P的坐标是(12,0).
故答案为：(12,0).
直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键．
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的k的几何意义求解．
【解答】
解：设AB交y轴于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BCO=12×|−4|+12×2=2+1=3，
故答案为：3.
15.【答案】5 2−4
【解析】解：如图1，作AG⊥BC于点G，DH⊥BC于点H，则∠AGB=∠DHC=90∘，
∵AG//DH，AD//BC，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵∠AGH=90∘，
∴四边形AGHD是矩形，
∴GH=AD= 2，AG=DH，
在Rt△ABG和Rt△DCH中，
AB=DCAG=DH，
∴Rt△ABG≌Rt△DCH(HL)，
∴∠B=∠C=45∘，BG=CH=12(5 2− 2)=2 2，
∴∠B=∠GAB=45∘，
∴AG=BG=2 2，
∴AB=DC= (2 2)2+(2 2)2=4，
当△ABE是等腰三角形，且EB=AB=4时，如图2，
∵∠BEA=∠BAE=12×(180∘−45∘)=67.5∘，∠MEN=45∘，
∴∠CEF=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘，
∴∠CFE=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘，
∴CF=CE=5 2−4；
当△ABE是等腰三角形，且AE=AB=4时，如图2，
∵∠AEB=∠B=45∘，
∴∠AEB=∠C，
∴AE//CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE=AD= 2，
∵∠EFC=∠MEN=45∘，
∴∠EFC=∠C=45∘，
∴∠CEF=90∘，FE=CE= 2，
∴CF= ( 2)2+( 2)2=2，
∵5 2−4>2，
∴线段CF长度的最大值等于5 2−4，
故答案为：5 2−4.
作AG⊥BC于点G，DH⊥BC于点H，可证明四边形AGHD是矩形，得GH=AD= 2，AG=DH，再证明Rt△ABG≌Rt△DCH，得∠B=∠C=45∘，BG=CH=2 2，即可根据勾股定理求得AB=DC=4，再分两种情况讨论，一是EB=AB=4，可证明CF=CE=5 2−4；二是AE=AB=4，可证明FE=CE=AD= 2，根据勾股定理求得CF=2，由5 2−4>2，可知线段CF长度的最大值等于5 2−4.
此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：3(2x−3)2=2(2x−3)，
3(2x−3)2−2(2x−3)=0，
(2x−3)[3(2x−3)−2]=0，
(2x−3)(6x−11)=0，
2x−3=0或6x−11=0，
x1=32，x2=116.
【解析】利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键．
17.【答案】解：∵ 2sin2A−1+(tanB− 3)2=0，
∴2sin2A−1=0，tanB− 3=0，
∴sinA= 22，tanB= 3，
∴∠A=45∘，∠B=60∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−45∘−60∘=75∘，
即∠C的度数是75∘.
【解析】根据非负数的性质得出2sin2A−1=0，tanB− 3=0，求出∠A和∠B，进一步可以求出∠C的度数．
本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值．
18.【答案】6
【解析】解：(1)如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AC于点N.
∵AB=AC= 22+42=2 5，AM⊥CB，
∴BM=CM= 2，AM=3 2，
∵12⋅BC⋅AM=12⋅AC⋅BN，
∴BN= 2×3 22 5=3 55，
∴sin∠BACA=BNAB=3 552 5=310，tan∠ABC=AMBM=3；
(2)所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故答案为：6.
(1)过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AC于点N.利用面积法求出BN，再根据三角函数的定义求解即可；
(2)根据网格画出使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)的格点三角形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)∵反比例函数y1=kx(k≠0)和正比例函数y2=mx的图象相交于点A(−2,4)和点B两点．
∴A、B两点关于原点对称，
∴B(2,−4)；
(2)∵反比例函数y1=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,4)，
∴k=−2×4=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x；
(3)∵S△ABC=S△AOC+S△BOC=12，
∴12OC⋅(4+4)=12，
∴OC=3，
∴点C的坐标为(3,0)或(−3,0).
【解析】(1)根据反比例函数的对称性即可求得点B的坐标；
(2)利用待定系数法即可求解；
(3)利用S△ABC=S△AOC+S△BOC=12求得OC，即可求得点C的坐标．
本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20.【答案】解：能，理由如下：
延长EF交CH于N，如图所示：
则∠CNF=90∘，
∵∠CFN=45∘，
∴CN=NF，
设DN=xm，则NF=CN=(x+3)m，
∴EN=6+(x+3)=(x+9)(m)，
在Rt△DEN中，tan∠DEN=DNEN，
∴DN=EN⋅tan∠DEN，
∴x≈(x+9)×0.6，
解得：x≈13.5，
∴DH=DN+NH≈13.5+1.5=15(m)，
答：点D到地面的距离DH的长约为15m.
【解析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN=NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图2，过点D′作D′H⊥AD于H，连接AE，AE′，由题意可知，D′E′=DE=30cm，AD′=AD=90cm，∠DAD′=∠EAE′=60∘，
在Rt△AD′H中，AD′=90cm，∠HAD′=60∘，
∴D′H= 32AD′=45 3(cm)，
∴点D′到BC的距离为D′H+DC=45 3+30+40=(70+45 3)cm，
答：点D′到BC的距离为(70+45 3)cm；
(2)在Rt△ADE中，AD=90cm，DE=30cm，
∴AE= AD2+DE2= 8100+900=30 10(cm)，
∴弧EE′的长为60π×30 10180=10 10π(cm)，
答：点E运动的距离为10 10πcm.
【解析】(1)通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出D′H即可；
(2)根据勾股定理求出AE的长，再根据弧长的计算方法求出弧EE′的长即可．
本题考查解直角三角形，弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】C B
【解析】解：(1)由阅读材料可知所用方法为配方法．
故答案为：C.
(2)所用的思想方法为数形结合思想．
故答案为：B.
(3)利润为y元，售价为x元，根据题意得，
y=(x−20)[200−10(x−30)]
=−10x2+70x−10000
=−10(x−35)2+2250，
当x=35时，y有最大值，最大值为2250，
即售价为35元时，获得最大利润为2250元．
(1)由阅读材料所用方法可知答案；
(2)结合图形来解题，故答案易得；
(3)根据“总利润=每千克利润×每天的销售量”可列出函数解析式，将所列函数解析式配方成顶点式，根据二次函数解析式求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法，配方法及二次函数的性质，读懂题中的方法是解题的关键．
23.【答案】 34
【解析】(1)证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD//OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上；
(2)解：CD=12AB.
理由如下：∵△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，
∴DA=DC，
∵AD⊥CE，
∴∠DCA=45∘
∵DE为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴∠OCD=90∘，
∴∠OCA=45∘，
∴∠COA=90∘，
∵∠ADC=∠AOC=∠COD=90∘，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD=AO，
∴CD=12AB；
(3)解：∵△AOC为正三角形，
∴OA=AC，∠OCA=60∘，
∵∠OCD=90∘，
∴∠ACD=30∘，
∴AD=12AC，AD= 33CD，
∴ 33CD=12AC，
∴CD= 32AC，
而AC=OA=12AB，
∴CD= 34AB.
故答案为： 34.
(1)先根据切线的性质得到OC⊥DE，再证明AD//OC得到∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠DAC=∠OAC，然后根据折叠的性质可判断将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上；
(2)由于△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，则根据折叠的性质得到DA=DC，再证明∠DCA=45∘，接着根据切线的性质得到∠OCD=90∘，则可计算出∠OCA=45∘，然后证明四边形AOCD为矩形，则CD=AO，从而得到CD=12AB；
(3)先根据正三角形的性质得到OA=AC，∠OCA=60∘，再计算∠ACD=30∘，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AD=12AC，AD= 33CD，则 33CD=12AC，从而得到CD= 34AB.
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．
24.【答案】解：(1)由题意，得：16a+6+c=0c=2，
解得：a=−12c=2，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+32x+2；
(2)存在．由抛物线的表达式知，其对称轴为x=32，设点P(32,m)，
∵C(0,2)，D(32,0)，
∴CD2=22+(32)2=254，
当CP=CD时，则254=(m−2)2+(32)2，
解得：m=0(舍去)或4，
即点P的坐标为(32,4)，
当DP=DC时，m2=254，
解得：m=±52，
综上所述，满足条件的点P坐标为(32,4)或(32,52)或(32,−52)；
(3)设点E的坐标为(x,0)，点F(m,−12m2+32m+2)，
当BC是对角线时，由中点坐标公式得：
4=x+m2=−12m2+32m+2，
解得：x=1m=3(不合题意的值已舍去)，
即点E的坐标为(1,0)；
当BE是对角线时，由中点坐标公式得：
4+x=m−12m2+32m+2+2=0，
解得：x=−5+ 412m=3+ 412或x=−5− 412m=3− 412，
即点E的坐标为(−5+ 412,0)或(−5− 412,0)；
当BF是对角线时，由中点坐标公式得：
m+4=x−12m2+32m+2=2，
解得：m=3x=7(不合题意的值已舍去)，
即点M的坐标为(7,0)；
综上，点M的坐标为：(−5+ 412,0)或(−5− 412,0)或(7,0)或(1,0).
【解析】本题考查二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质和等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，题目综合性较强，属于中考压轴题．
(1)利用待定系数法转化为解方程组即可；
(2)要分两种情况讨论：①当CP=CD时，②当DP=DC时，分别求出点P坐标即可；
(3)当BC是对角线时，由中点坐标公式得：4=x+m2=−12m2+32m+2，即可求解；当BE(BF)是对角线时，同理可解．x
−6
−2
5
y
1
3
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