2023-2024学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二上学期第四学月考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二上学期第四学月考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合交集的定义即得.
【详解】因，，故.
故选D.
2．直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由直线方程写出一个法向量，再逐一检验选项中的向量是否与其垂直即得.
【详解】由直线可得直线的一个法向量可取为，而同一条直线的法向量与方向向量互相垂直，
故可以逐一检验选项，发现选项C中，，而其他选项都不满足，故只有C项正确.
故答案为：C.
3．下列函数中，在上单调递增且为奇函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用基本函数的性质判断.
【详解】A. 由幂函数的性质知：在R上单调递增且为奇函数，故正确；
B. 由指数函数的性质知：在R上单调递增且无奇偶性，故错误；
C. 由正切函数的性质知：在R上不具有单调性且为奇函数，故错误；
D. 因为的定义域为R，且，所以是偶函数，故错误；
故选：A
4．不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由题意知，或，
所以该不等式的解集为或.
故选：B
5．已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，求出的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题知，因为两直线平行，
所以，
所以两直线方程分别为和，
即和，
所以两直线距离为.
故选：B
6．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可．
【详解】椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则，
∴，当且仅当时取等号，
∴，
则的最小值为1．
故选：C.
7．直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．10C．D．5
【答案】A
【分析】由题意，直线经过定点，由直线被圆截得的弦长最短，则与直线垂直，由弦长公式即可得答案．
【详解】圆的圆心，半径为5，
直线，即，
由，可得，所以直线经过定点，
因为直线被圆截得的弦长最短，所以与直线垂直，
因为，
所以最短的弦长．
故选：A．
8．如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的余弦值为
C．与平面所成角为
D．三棱锥外接球的表面积为
【答案】D
【分析】由条件得,由平面可得，从而平面，即可判断A；为二面角的平面角，求解可判断B；为与平面所成角，求解可判断C；取的中点，则为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1，求出外接球的表面积可判断D.
【详解】∵，，∴,
∵平面，平面，∴，
∵，，，平面，
∴平面，又平面，∴平面平面，故A正确；
∵，∴为二面角的平面角，
∵，故B正确；
∵平面，∴为与平面所成角，
∵，则，故C正确；
取的中点，连接,
∵，，∴，
∵平面，又平面，∴，
∴，
则，
∴为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1，
∴三棱锥外接球的表面积为，故D错误.
故选：D.
二、多选题
9．对于椭圆，下面说法正确的是（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．离心率为D．焦距为2
【答案】CD
【分析】根据方程可得，进而可得，结合椭圆性质逐项分析判断.
【详解】椭圆的方程为，其中，则，
所以其长轴长．短轴长，焦距，离心率．
故A、B错误，C、D正确.
故选：CD．
10．(多选)若直线与椭圆相切，则斜率的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得，再根据，从而求出斜率的值.
【详解】解：已知直线与椭圆有且只有一个交点，
由消去并整理，得，
由题意知，，
解得：.
故选：AB.
11．以下四个命题正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．直线关于原点对称的直线方程为
D．经过点(1， 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】A：求出直线斜率即可判断倾斜角；
B：根据圆心到直线的距离与半径作比较，判断直线与圆的位置关系，即可判断；
C：根据点关于原点对称的性质求出对称直线对称，即可判断；
D：经过点(1，1)且到x轴和y轴的截距都相等的直线方程为和.
【详解】A：由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，所以，故A正确；
B：圆心到直线的距离，圆的半径，
所以直线与圆相交，故到直线l距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，
故B正确；
C：设所求直线上的点为，则该点原点对称的点为，代入
方程，得，即直线关于原点对称的
直线方程为.故C错误；
D：经过点(1，1)且到x轴和y轴的截距都相等的直线方程为和，故D错误.
故选：AB
12．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误.
【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．函数的最小正周期为 .
【答案】4
【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】由正弦型函数的周期公式可得：,故数的最小正周期为4.
故答案为：4.
14．已知是过椭圆左焦点的弦，且，其中是椭圆的右焦点，则弦的长是 .
【答案】8
【分析】椭圆中与焦点相关的三角形要优先考虑椭圆的定义，解决选择填空题目会事半功倍.
【详解】椭圆中，长半轴长
是过左焦点的弦，且，
又根据椭圆定义，有
则弦的长是
故答案为：8
15．已知为虚数单位，，则的值为 .
【答案】
【分析】根据复数的除法运算结合模长公式运算求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故答案为：.
16．已知双曲线的左，右焦点分别是，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为 .
【答案】
【分析】利用双曲线的定义，可知为等边三角形，求出|，利用余弦定理求出，即可求得双曲线的离心率的值．
【详解】如图所示：
因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，
若，
由双曲线的定义，可得，
，则，
所以，
故为等边三角形，则，
在中，，
由余弦定理可得，
因此，双曲线C的离心率为．
故答案为：．
四、解答题
17．已知的内角所对的边分别为，满足.
(1)求外接圆的面积；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理直接计算求解即可；
（2）根据正弦定理求得，得到，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）设外接圆的半径为
在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
外接圆的面积为
（2）因为，所以，所以
因为，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
所以的面积
18．求适合下列条件的曲线的标准方程.
(1)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求双曲线的标准方程；
(2)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：根据焦点的位置分类讨论，设出双曲线的标准方程，根据条件列出的方程组，求解即可；解法2：因为，所以可设双曲线方程为，由双曲线过点可求得.
（2）设椭圆的标准方程为，令，代入椭圆方程得，依题意列出的方程组，求解即可.
【详解】（1）解法1：当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为
依题意得，解得，此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为
依题意得，无解，
综上所述，双曲线的标准方程为.
解法2：因为，所以可设双曲线方程为.
因为过点，所以，即.
所以双曲线方程为，即.
（2）椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
令，代入椭圆方程得，
依题意得解得.
椭圆的标准方程为.
19．已知圆的方程为．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求当圆的面积最大时圆的标准方程；
（3）求当圆的面积最大时，圆关于直线l：对称的圆的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由题意得，D2+E2-4F=16+4m2-4（2m2-2m+1）＞0，解此一元二次不等式求的实数m的取值范围．
（2）圆的面积最大，即圆的半径最大，根据圆的半径可得当m=1时圆的半径最大，且为2，由此求得圆C1的方程．
（3）由（2）可得圆C1的圆心坐标为（2，-1）、半径等于2，设圆C2的坐标为（a，b），利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求出a、b的值，即可求得圆C2的方程．
【详解】（1）由题意得，，
即，∴，∴．
故所求实数的取值范围是．
（2）圆的面积最大，即圆的半径最大．
∵圆的半径
，∴当时，圆的半径最大且为2．
故圆的方程为，标准方程为．
（3）由（2）可得圆的圆心坐标为，半径等于2．
设圆的圆心坐标为，则的中点坐标为，且的斜率为．
由题意可得，直线垂直平分线段，
∴解得故所求的圆的方程为．
【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，求圆的标准方程的方法，属于中档题．
20．已知圆，点A是圆C1上一动点，点，点C是线段AB的中点．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)直线l过点且与点C的轨迹交于 M，N两点，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用中点坐标公式得到，再由点在圆得到，代入即可得到点C的轨迹方程；
（2）分类讨论直线l的斜率存在与否，利用弦长公式检验或求得斜率，从而可得直线l的方程．
【详解】（1）设点，
因为点C是线段AB的中点，
所以，即，
因为点在圆C1上运动，所以，
所以，即，
故点C的轨迹方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为，
则，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
综上：直线l的方程为或．
21．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明；
（2）方法一：先根据线面垂直的判定证明平面，再根据线面垂直即可证明；
方法二：先建立合适的空间直角坐标系，再求出对应点的坐标，再求出，，再根据数量积即可证明；
（3）结合（2）中的空间直角坐标系，再利用向量法求得线面夹角的正弦值，进而即可求出其余弦值．
【详解】（1）由底面是矩形，则，
又平面，且平面，所以平面．
（2）方法一：由底面是矩形，则，
又底面，且底面，则，
又，且平面，平面，则平面，
又平面，所以．
方法二：
由底面，且四边形是矩形，则，，两两垂直，
则以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
所以，则，
所以．
（3）结合（2）中的空间直角坐标系，得，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，，即，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
22．已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)的面积为定值，理由见解析
【分析】（1）确定，根据离心率计算得到答案.
（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据斜率关系得到，计算，再计算点到直线的距离，计算面积得到答案.
【详解】（1）椭圆过，故，又，
联立解得，故椭圆的方程为；
（2）设，联立得，
，，
，即，
，
原点到直线的距离，
故，
所以的面积为定值.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.