四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一上学期1月阶段测试（示范班）数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一上学期1月阶段测试（示范班）数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. iB. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法，可得，再利用共轭复数的概念即可得解.
【详解】，则，
故选：C.
2. 设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理列不等式来求得的取值范围.
【详解】由于是钝角三角形的三边长，
所以，且，所以.
设最长边对的角为，
则，
解得.
故选：B
3. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【详解】由，得时，，即；
时，；，
.
故选：A.
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，，最后根据计算可得.
【详解】因为，所以，
又，，
所以，，
所以，，
所以
.
故选：D
5. 在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A. 3B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以
，当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值是.
故选：D
6. 已知函数,若关于x的方程在上有且只有一个解,则为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简得,则在上有且只有一个解转化为在上有且只有一个解,再利用整体法求解即可.
【详解】
,
,
即在上有且只有一个解,
令,
因为,所以,
即在上有且只有一个解,
所以,
解得
又,
所以.
故选:A.
7. 设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.
【详解】，，
即，
由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，
由于函数为偶函数，则，即，
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.
8. 已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A. 10B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
设，求得，得到，再设，得到函数为单调递增函数，且为是奇函数，即可求解.
【详解】由题意，设一次函数，
因为，可得，解得，
所以，故的图象关于对称，
又设，可得函数为单调递增函数，
且，
即，所以是奇函数，则，
则，，
所以
即为的最大值与最小值之和6.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对数运算性质，以及函数的单调性与奇偶性的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
二、多项选择题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【详解】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：BD．
10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与能作为平面的一组基底B. 若，则
C. 在上的投影向量为D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A：因与不共线，故A正确；
选项B：由垂直的坐标表示可得；
选项C：由投影向量公式可得；
选项D：由共线的坐标表示可得.
【详解】选项A：因，所以与不共线，故与能作为平面的一组基底，A正确；
选项B：，因得，得，故B错误；
选项C：与的夹角为，则，
方向上的单位向量为，
故在上的投影向量为，
故C正确；
选项D：，因得，得，故D错误.
故选：AC.
11. 关于函数，如下结论中正确的是（ ）．
A. 函数的周期是
B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数上递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D．
【详解】A．∵，
∴，
∴是周期为的周期函数，A正确，
B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；
C．∵，
∴函数的图象关于直线对称，C正确；
D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域．
12. 已知是定义在R上的函数，同时满足以下条件：①为奇函数，为偶函数（，且）；②；③在上单调递减．下列叙述正确的是（ ）
A. 函数有5个零点
B. 函数的最大值为20
C. 成立
D. 若﹐则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据①得出关于点对称，关于直线对称，得出的周期为4，根据得出，，.结合③画出函数的草图．结合函数的图象及正余弦函数的性质逐一判断各选项.
【详解】因为①为奇函数，所以，且.
即，所以函数关于点对称，即关于点对称.
因为为偶函数，所以，所以关于直线对称，即关于直线对称.
由关于点对称，且关于直线对称，则函数的周期为4.
由，关于点对称，所以，又关于直线对称，，.
又②，
所以，即，即，
③在上单调递减．
画出函数的草图．
对于A，函数的零点个数即为与的交点个数，如图，易知有4个交点，即函数有4个零点,故A错误；
对于B，因为，所以当时，函数的最大值为20，故B正确.
对于C，易知函数与是偶函数，
，，所以函数与的周期；
又，，
所以函数与的对称轴为；
当时，，得，
，，
，又因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
即，根据周期性，对称性可知.
又在上单调递增，
，故C正确；
对于D，若，，因为在单调递减，在单调递增，又，，
所以，，
因为在单调递减，在单调递增，所以，
所以，
则成立，故D正确.

故选：BCD.
【点睛】函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的方法点睛：
(1)函数的零点:零点存在性定理.通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.
(2)方程的根:方程的等价变形.当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数
(3)两函数的交点:数形结合.前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围.
三、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．
13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，得到底面面积为，周长为，高为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而求得圆锥的表面积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，
则圆锥底面圆面积为，周长为，高为，
可得，解得，
所以该圆锥的表面积为．
故答案为：.
14. 已知函数，若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先画出函数的图象，数形结合分析左端点的取值范围.
【详解】作出函数的大致图象，令，，得，
，，得，
若在既有最大值又有最小值，则
实数的取值范围为.

故答案为：
15. 设定义在上的函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】由奇偶性定义判断奇偶性，根据指对数函数性质判断在上单调性，利用奇偶性、单调性求不等式的解集.
【详解】由，
又函数定义域为，故为奇函数，
在上易知单调递增，且，
又在上连续，故上递增，
所以，
则，不等式解集为.
故答案为：
16. 平面向量满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.
【详解】解析：几何意义+等和线
由题记，
则由，
得，且．
作图，如右图所示：
为正三角形，，
由，得C在直线上，
又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上，
∴．
故答案为：．
四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得；
（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得．
【详解】解：（1），解得；
（2）
．
【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：
(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
18. 在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
【小问2详解】
由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.
19. 在圆内接四边形中，已知，，平分．

（1）若，求的长度；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同弧的圆周角相等，结合已知条件有，在和中，由余弦定理列方程组求的长度；
（2）设，在和中，由余弦定理得，，在和中，由余弦定理得，，代入求值即可.
【小问1详解】
平分，有，
又，，所以，有，
由，，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，，
则有.
【小问2详解】
由（1）知，有，设，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，
又，，，
，在和中，由余弦定理得，
，即，
得，即，
.
20. 某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖），，，．

（1）求BC，CD的长；
（2）该公司重新设计临湖面，如图2，是以BD为直径的半圆，P是上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足?
【答案】（1）
（2）充足
【解析】
【分析】（1）由题意，，结合正弦定理得，在中，由余弦定理可得.
（2）设，，在中，，，由三角函数的性质求出的最大值，即可求出该观光道所用资金的最大值，即可判断资金是否充足.
【小问1详解】
因为，，，则，
所以在中，，，，
在中，，由正弦定理可得：，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
故.
【小问2详解】
是以BD为直径的半圆，P是上一点，所以，
设，，在中，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为观光道每米造价300元，所以该观光道所用资金为，
而，所以该公司预计用88000元建观光道，预算资金充足.
21. 已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
即，所以，
故.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
【小问3详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
22. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】（1），递减区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
【小问1详解】
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.