江西省丰城市第九中学日新班2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷

这是一份江西省丰城市第九中学日新班2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷，共13页。

A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1﹣iD．12−12i
2．（5分）已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，6}B．{1，3}C．{﹣3，﹣1，1，3}D．{3}
3．（5分）能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间的三点B．一个点和一条直线
C．两条相交直线D．无数点
4．（5分）在平面直角坐标系中，已知角π3的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边顺时针旋转角α后过点P(1−2)，则将角2α的终边逆时针旋转π3后所得角的余弦值等于（ ）
A．23B．−23C．13D．−13
5．（5分）如图，在△ABC中，AD→=λDC→，E是BD上一点，若AE→=1116AB→+14AC→，则实数λ的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（5分）小明使用密码开保险柜时，忘记了密码的前两位，只记得第一位是0，9中的一个数字，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功打开保险柜的概率是（ ）
A．115B．110C．15D．25
7．（5分）在△ABC中，若A=π4，B=π3，a＝23，则b＝（ ）
A．23B．32C．26D．33
8．（5分）若不等式(|x−a|−b)cs(π2x+π3)≥0对x∈[﹣1，3]恒成立，则a﹣b＝（ ）
A．13B．23C．56D．73
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列不等式成立的是（ ）
A．若a＞b＞0，则a2＞b2
B．若ab＝4，则a+b≥4
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b+ma+m
（多选）10．（5分）下列说法错误的是（ ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为13
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为16
C．若A，B为两个任意事件，则事件A+B→对立事件是事件A，B都发生
D．试验次数足够多，事件A发生的频率其实就是事件A发生的概率
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（x+π3）sinx+cs2x，则（ ）
A．f（x）＝sin（2x+π6）+12
B．f（x）＝sin（2x+π3）+12
C．f（x）的值域为[−12，32]
D．f （x）的图象向左平移π6个单位后关于 y 轴对称
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则（ ）
A．f（x）的图象关于点(π6，3)对称
B．f（x）的图象关于直线x=π3对称
C．f（x）在区间[π2，5π6)上单调递减
D．f（x）在区间(−5π12，π12)上的值域为（1，3）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）向量AB→=（1，2），AC→=（2，3），若向量a→=（x，2）与BC→共线，则x＝ ．
14．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy2y+3x=1，x2+y3≥m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），且当x∈[0，32]时，f（x）＝x，则f（2020）＝ ．
16．（5分）已知△ABC中，AB＝9，csB=23，点D在BC上，AD＝7，CD＝10，∠ADB为锐角，则AC＝ ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）化简f(α)=sin(2π−α)cs(π2+α)cs(−π2+α)tan(π+α)，并求f(π3)．
（2）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcsα﹣5cs2α的值．
（3）已知sin(α+π4)=55，cs(β+3π4)=−1010，α，β∈(π4，3π4)，求cs（α+β）的值
18．（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
19．（12分）在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．且2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围；
（3）若a＝3，c＝2，P为AC边中点，求BP的长．
20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）当E为BC中点时，求异面直线PC与DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求证：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4a=5c，csC=35．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若b＝11，
（i）求a的值；
（ⅱ）求cs（2A+C）的值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣4x+2，g（x）＝ex+e﹣x﹣4．
（1）若函数f（x）在区间（﹣1，3）上单调，求实数a的取值范围；
（2）若对于任意的x2总存在x1，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．
2023-2024学年江西省丰城九中日新班高二（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：因为zi＝1﹣i，
所以z=1−ii=(−i)(1−i)−i⋅i=−i(1−i)=−1−i，
所以z的共轭复数是﹣1+i．
故选：A．
2．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}＝{正奇数}，
B＝{x|0≤x≤4}，
∴A∩B＝{1，3}．
故选：B．
3．【解答】解：对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；
对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；
对于C，根据平面的基本性质公理3的推论，可知两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确；
对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确
故选：C．
4．【解答】解：由已知可得sin（π3−α）=−212+(−2)2=−63，
将角2α的终边逆时针旋转π3后所得角为2α+π3，
所以cs（2α+π3）＝cs[2（α+π6）]＝2cs2（α+π6）﹣1＝2sin2[π2−（α+π6）]﹣1＝2sin2（π3−α）﹣1＝2×（−63）2﹣1=13．
故选：C．
5．【解答】解：因为AD→=λDC→，得AC→=λ+1λAD→，
因为AE→=1116AB→+14AC→，
所以AE→=1116AB→+14⋅λ+1λAD→，
因为E，B，D三点共线，
所以1116+λ+14λ=1，解得λ＝4，
故选：B．
6．【解答】解：设事件A为“选对第一位数字”，则P（A）=12；
事件B为“选对第二位数字”，则P（B）=15，
故所求概率为P（AB）＝P（A）P（B）=12×15=110．
故选：B．
7．【解答】解：由正弦定理得：asinA=bsinB，
∴23sinA=bsinB，
∴23sinπ4=bsinπ3，
解得：b＝32，
故选：B．
8．【解答】解：当﹣1≤x≤13或73≤x≤3时，cs(π2x+π3)≥0；
当13≤x≤73时，cs(π2x+π3)≤0，
∴当﹣1≤x≤13或73≤x≤3时|x﹣a|﹣b≥0；
当13≤x≤73时，|x﹣a|﹣b≤0，
设f（x）＝|x﹣a|﹣b，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
且f（x）的图象关于直线x＝a对称，
∴f（13）＝f（73）＝0，
∴2a=13+73=83，即a=43，
又f（73）＝|73−43|﹣b＝0，故b＝1．
∴a﹣b=43−1=13．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，∴a2＞b2，故A正确，
对于B，取a＝﹣2，b＝﹣2，满足ab＝4，但是a+b≥4不成立，故B错误，
对于C，若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故C错误，
对于D，若a＞b＞0，m＞0，则b﹣a＜0，所以ba−b+ma+m=b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=m(b−a)a(a+m)＜0，
即ba＜b+ma+m，故D正确，
故选：AD．
10．【解答】解：对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为24=12，故A错；
对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共6个基本事件，故由古典概型可知两次向上的点数相同的概率为636=16，故B正确；
对于C，和事件A+B发生，就是A，B事件至少一个发生，它的对立事件就是A，B事件都不发生，即事件A，B都发生，故C正确；
对于D，试验次数足够多，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近，不一定是事件A发生的概率，故D错误．
故选：AD．
11．【解答】解：f（x）＝2sin（x+π3）sinx+cs2x＝2（12sinx+32csx）sinx+cs2x
=12cs2x+32sin2x+12=sin（2x+π6）+12，故A正确，B错误；
因为sin（2x+π6）∈[﹣1，1]，可得f（x）＝sin（2x+π6）+12∈[−12，32]，故C正确；
将f （x）的图象向左平移π6个单位后，可得f（x+π6）＝sin[2（x+π6）+π6]＝sin（2x+π2）＝cs2x，
其图象关于 y 轴对称，故D正确．
故选：ACD．
12．【解答】解：由图象可得A=12（5﹣1）＝2，则f（x）＝2sin（ωx+φ）+B，
f（x）的最大值为2+B＝5，∴B＝3，
∴f（x）＝2sin（ωx+φ）+3，
f（x）过点（0，2），∴f（0）＝2sinφ+3＝2，∴sinφ=−12，
∵|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f（x）＝2sin（ωx−π6）+3，
f（x）过点（−π6，1），∴f（−π6）＝2sin（−π6ω−π6）+3＝1，
∴sin（π6ω+π6）＝1，∴π6ω+π6=2kπ+π2，k∈Z，
∴ω＝2+12k，k∈Z，
由图象可知T4＞π6，∴T＞2π3，∴2πω＞2π3，∴0＜ω＜3，∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x−π6）+3，
A项：f（π6）＝2sinπ6+3＝4≠3，错误；
B项：f（π3）＝2sinπ2+3＝5，取得了最值，
则f（x）的图象关于直线x=π3对称，正确；
C项：2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+π3，kπ+5π6]，k∈Z．
k＝0时，f（x）在[π3，5π6]上单调递减，[π2，5π6)⊆[π3，5π6]，C正确；
D项：x∈(−5π12，π12)，∴2x−π6∈（﹣π，0），∴sin（2x−π6）∈[﹣1，0），
∴f（x）∈[1，3），D错误．
故选：BC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：向量AB→=（1，2），AC→=（2，3），
所以BC→=AC→−AB→=（1，1）；
又向量a→=（x，2）与BC→共线，
所以1•x﹣1×2＝0，
解得x＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：由xy2y+3x=1，得2x+3y=1，又x＞0，y＞0，
所以（x2+y3）＝（2x+3y）（x2+y3）＝2+2y3x+3x2y≥2+22y3x⋅3x2y=4，
当且仅当2y3x=3x2y，即x＝4，y＝6时等号成立，
所以x2+y3的最小值为4，
又x2+y3≥m恒成立，所以m≤4，
所以m的取值范围是（﹣∞，4]．
15．【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），
则有f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，
则f（2020）＝f（﹣2+337×6）＝f（﹣2）＝﹣f（1），
当x∈[0，32]）时，f（x）＝x，则f（1）＝1，
则f（2020）＝﹣f（1）＝﹣1，
故答案为：﹣1
16．【解答】解：因为△ABD中，AB＝9，csB=23，AD＝7，
由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•csB，
所以49＝81+BD2﹣2×9×BD×23，整理可得BD2﹣12BD+32＝0，
解得BD＝8或BD＝4，
当BD＝4时，cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=16+49−812×4×7=−27，此时∠ADB＞π2，不符合题意，舍去，
当BD＝8时，cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=64+49−812×8×7=27，此时∠ADB＜π2，符合题意，
所以BC＝BD+CD＝18，
在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB=92+182−2×9×18×23=321．
故答案为：321．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）∵f(α)=sin(2π−α)cs(π2+α)cs(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinαtanα=csα，
∴f(π3)=csπ3=12．
（2）4sin2α﹣3sinαcsα﹣5cs2α=4sin2α−3sinαcsα−5cs2αsin2α+cs2α=4tan2α−3tanα−5tan2α+1=4×22−3×2−522+1=1．
（3）∵α∈（π4，3π4），∴α+π4∈（π2，π），∵sin（α+π4）=55，∴cs（α+π4）=−255，
∵β∈（π4，3π4），∴β+3π4∈（π，3π2），∵cs（β+3π4）=−1010，∴sin（β+3π4）=−31010，
cs（α+β）＝﹣cs（π+α+β）＝﹣cs（α+π4+β+3π4）＝﹣cs（α+π4）cs（β+3π4）+sin（α+π4）sin（β+3π4）
＝﹣（−255）×（−1010）+55×（−31010）=−22．
18．【解答】解：（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
x甲=3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2=6.4；
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
x乙=3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2=5.6．
（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件，
乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件．
从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×2020+10=4件，记为a，b，c，d；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有6×1020+10=2件，记为E，F；
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），
（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），
（c，d），（c，E），（c，F），
（d，E），（d，F），
（E，F），共15种；
其中符合条件的情况有：
（a，E），（a，F），（b，E），（b，F），
（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），共8种．
故所求概率P=815．
19．【解答】解：（1）因为2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2，
所以2a−cc=a2+b2−c2a2+c2−b2，即2ac−1=2a2−a2+b2−c2a2+c2−b2=2a2a2+c2−b2−1，
化简得a2+c2﹣b2＝ac，
故csB=a2+c2−b22ac=12，又B∈（0，π），
故B=π3；
（2）由（1）知，A+C=2π3，
故sinA+sinC=sinA+sin(2π3−A)=sinA+32csA+12sinA=32sinA+32csA=3sin(A+π6)，
又0＜A＜2π3，则π6＜A+π6＜5π6，3sin(A+π6)∈(32，3]，
即sinA+sinC∈(32，3]；
（3）∵BP→=12(BC→+BA→)，
∴BP→2=14(BC→+BA→)2=14(BC→2+BA→2+2BC→⋅BA→)，又BC＝3，BA＝2，B=π3
∴BP→2=14×(9+4+2×2×3×csπ3)=194，
∴|BP→|=192，即BP的长为192．
20．【解答】解：（Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC．
又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C(3，1，0)，D(3，0，0)，E(32，1，0)．
则PC→=(3，1，−1)，DE→=(−32，1，0)cs＜PC→，DE→＞=PC→⋅DE→|PC→||DE→|=−32+1+05×72=−3535
所以，当E为BC中点时，异面直线PC与DE所成角的余弦值为3535．（9分）
（Ⅲ）证明：依据（Ⅱ）所建立坐标系，
则P（0，0，1），B（0，1，0），F(0，12，12)，D(3，0，0)．
设BE＝x，则E（x，1，0），PE→•AF→=(x，1，−1)•(0，12，12)=0，
∴PE→⊥AF→．∴PE⊥AF．
所以，无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．（14分）
21．【解答】解：（Ⅰ）因为4a=5c，csC=35，
所以sinC=1−cs2C=45，
所以由正弦定理asinA=csinC，可得asinA=4a545，
所以sinA=55；
（Ⅱ）（i）因为a=54c，a＜c，可得A为锐角，
所以csA=1−sin2A=255，
所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC=55×35+255×45=11525，
因为b＝11，
由正弦定理asinA=bsinB，可得a=b⋅sinAsinB=11×5511525=5；
（ⅱ）因为cs2A＝2cs2A﹣1=35，sin2A＝2sinAcsA=45，
所以cs（2A+C）＝cs2AcsC﹣sin2AsinC=35×35−45×45=−725．
22．【解答】解：（1）因为函数f（x）在区间（﹣1，3）上单调，
当a＝0时，f（x）＝﹣4x+2，在区间（﹣1，3）上单调递减，满足题意；
当a＞0时，f（x）＝ax2﹣4x+2的开口向上，对称轴为x=2a，
要使函数f（x）在区间（﹣1，3）上单调，
则有2a≥3或2a≤−1，解得a≤23或a≤﹣2（舍），
所以0＜a≤23；
当a＜0时，f（x）＝ax2﹣4x+2的开口向下，对称轴为x=2a，
要使函数f（x）在区间（﹣1，3）上单调，
则有2a≥3或2a≤−1，解得a≥23（舍）或a≥﹣2，
所以﹣2≤a＜0；
综上所述，a的取值范围为：[﹣2，23]；
（2）因为对于任意的x2总存在x1，使得f（x1）＝g（x2）成立，
即g（x）的值域为f（x）值域的子集，
因为g（x）＝ex+e﹣x﹣4＝ex+1ex−4≥2ex⋅1ex−4＝﹣2，
当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时，等号成立，
所以g（x）的值域A＝[﹣2，+∞），
当a＝0时，f（x）＝﹣4x+2，值域为R，满足A⊆R；
当a≠0时，要使g（x）的值域为f（x）值域的子集，
则必有a＞08a−164a=2−4a≤−2，解得0＜a≤1，
综上所述：a∈[0，1]．