2024维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校高三上学期1月月考试题数学含解析

这是一份2024维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校高三上学期1月月考试题数学含解析，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
1．已知复数z满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，，若，则
A．B．C．或D．或或
3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )
A．9B．18C．27D．36
4．若函数是周期为的偶函数，当时，则=( )
A．B．C．D．
5．已知椭圆C1：与双曲线C2：有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，C1恰好将线段AB三等分，则
A．B．C．D．
6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
7．若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为
B．四棱锥的体积的最大值为
C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为
D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为2
10．设抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．若线段AB中点的纵坐标为4，则直线l的斜率为2
D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
11．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的值域为
C．若函数的两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为
D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有一个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量为单位向量，向量，且，则向量、的夹角为 .
14．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为 .
15．已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦，则 ．
16．集合的子集的个数是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）
17．如图，在△中，，，点，是线段（含端点）上的动点，且点在点的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．
(1)写出的取值范围，并分别求线段，关于的函数关系式；
(2)求△面积的最小值．
18．已知数列的前项和，对于，都满足，且．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
19．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.
（2）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括分）的人数为（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望.
20．如图，在四棱台中，底面为矩形，平面⊥平面，且.
(1)证明:面
(2)若与平面所成角为，求锐二面角的余弦值.
21．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为：，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，求面积的最大值．
22．函数，.
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)若是函数的两个不同零点，求证：①；②.
月考答案解析：
1．B
【分析】根据等式化简出，即可得到，则可选出答案.
【详解】因为.
所以.
所以，其在复平面对应的点为在第二象限.
故选：B.
2．C
【详解】试题分析：∵集合，，，∴或才能满足集合的互异性.故选C.
考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.
3．B
【详解】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．
设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是
用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．
考点：分层抽样
点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过
4．B
【分析】根据函数周期性与奇偶性，将转化到范围内，再代入解析式即可.
【详解】因为函数是周期为的偶函数，
且当时，，
则，
故选:B．
5．C
【详解】由题意，C2的焦点为，一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a,∴C1的半焦距，于是得a2-b2=5 ①.
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，
由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=由题得：，
所以 ③,由②③得a2=11b2 ④,由①④得a2=5.5，b2=0.5.故选C
6．C
【详解】试题分析：由题意，知在区间上恒成立，即在区间上恒成立．因为，所以，所以，所以，故选C．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．
7．B
【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，，
所以，
，
所以，
则，
故选：B.
8．D
【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.
【详解】对于A，等比数列满足，但是，故A错误；
对于B，等比数列满足，但是，故B错误，
对于C，等比数列满足，但是，故C错误，
对于D，若，由，所以等比数列为递减数列，故正确；
若，由或，当时，等比数列为递减数列，故正确；当时，偶数项为正，奇数项为负，故正确；故D正确.
故选：D.
9．AB
【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断B,根据长度关系可得垂直以及平行，结合等面积法得即可求解C,由线线角的几何法求解，结合余弦定理即可判断D.
【详解】由题意，
在中，，，，DE是的中位线，
∴，，，
∴，，
对于A项，当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体为底面半径为，高为的半个圆锥，∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：
，故A正确；
对于B项，
设，则，设点到的距离为，则，
∴四棱锥的体积为：，
在中，，∴，
∴四棱锥的体积的最大值为，故B正确；
对于C，D项，
当三角形ACE为正三角形时，，，
取中点为,的中点，连接，，
连接，
在中，，点F为AB的中点，
由于分别是的中点，所以,,
,因此四边形为平行四边形，故
由于平面,所以平面,
平面,所以,因此四边形为矩形，则
由于,所以平面,平面,所以，
在中，，
∴，为的中点，
在中，为的中点，点F为AB的中点，，
∴，而平面，即有平面，
又平面，因此平面平面，而平面平面，
所以点F到平面ACD的距离等于点F到直线DG的距离，
则，，
在中，
在矩形中，，，
，
设点F到平面ACD的距离为，
在中，，即，解得：，故C错误，
对于D,由于,所以四边形为平行四边形，故，又，此时即为异面直线AC与BD所成的角或补角，
由于，,,
由余弦定理，解得，
则A,C两点间的距离为，故D错误；
故选：AB.
10．BD
【分析】对于A，利用抛物线的定义结合题意可求出的值，从而可得抛物线方程，对于B，过P作PE垂直于准线于E，结合图形利用抛物线的定义求解，对于C，利用点差法求解，对于D，利用抛物线的定义求解
【详解】，故，，故，A错误；
过P作PE垂直于准线于E，则，当P，E，M三点共线时等号成立，故B正确；
设，，若AB中点的纵坐标为4，则，则，，相减得到，所以直线l的斜率，故C错误；
如图所示：G为AF中点，故，故AF为直径的圆与y轴相切，故D正确．
故选：BD．
11．ACD
【分析】选项A根据抽象函数的定义域可得；选项B运用换元法可求函数的值域；
选项C根据二次函数区间根问题求参数可得；选项D根据分段函数在上增函数可得.
【详解】选项A：函数的定义域为，则函数的中，得，故A正确；
选项B：设，得，则，
对称轴为，故函数在上单调递增，故，故B错误；
选项C：若函数的两个零点都在区间为内，则
，得，故C正确；
选项D：若在上是增函数，则
，得，故D正确.
故选：ACD
12．ABD
【分析】A选项直接乘法公式计算；B选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C、D选项先计算对立事件概率.
【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，正确.
故选：ABD.
13．
【解析】对两边平方解出，代入数量积的定义式解出夹角.
【详解】向量为单位向量，向量，，，
，，即，解得.
设向量、的夹角为，则，
，因此，.
故答案为：.
14．112
【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.
【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，
所以棱台的下底面积，上底面积，高，
所以正四棱台的体积.
故答案为：112.
15．
【分析】求出直线的方程后，利用点到直线的距离求出弦心距，再根据勾股定理可得结果.
【详解】依题意可得直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即，
由圆心到直线的距离可得弦心距，
所以.
故答案为：
16．8
【分析】根据正弦函数分别给k在一个周期内的值，并求出对应的x值，即求出集合A，再由集合A中元素的个数求出它的子集的个数．
【详解】由题意的周期为6，,令k分别为0、1、2、3、4、5、6，
∴x＝sin的值对应为：0、，，0，，，0，
根据正弦函数的周期性知，A＝{，0，}，
故它的子集的个数是23＝8个，
故答案为：8．
17．(1)，，；
(2).
【分析】（1）由题设可得，在△、△中应用正弦定理即可求得线段，关于的函数关系式；
（2）由（1）及倍角正余弦公式、辅助角公式可得，结合的范围及正弦型函数的值域求最小值.
【详解】（1）由题设，，
在△中，而，
所以，
同理，，则.
（2）由（1）知：，
所以，则，
当时，△面积的最小值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先证明数列是首项为1，公差为1的等差数列，再求出即可；
（2）裂项相消求和可解.
【详解】（1）时，，，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列．
，经验证，时也成立，．
（2），
．
19．（1）分.（2）.（3）见解析.
【详解】试题分析：⑴通过各组的频率和等于，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可；分别求出，，的人数是，，，然后利用古典概型概率求解即可；⑶判断概率类型，即可写出的分布列和数学期望
解析：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：
.
直方图如图所示.
中位数是，
估计这次考试的中位数是分.
（2），，的人数是，，，所以从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：
.
（3）因为，，，
所以其分布列为：
数学期望为.
20．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）如图在梯形中，
因为，
作于，则，所以，
所以，连结，由余弦定理可求得，
因为，所以，
因为平面平面且交于，面
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，面，
所以平面.
（2）连结，由（1）可知，平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为平面，所以在平面内的射影为，
所以与平面所成的角为，即，
在△中，由余弦定理可得：，
即，解得.
在中，因为，所以，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，，故， …
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
故锐二面角的余弦值为.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出关于a，b的方程组，再求解作答.
（2）设出直线MN的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理确定直线EN过的定点，再求出面积的函数关系求解作答.
【详解】（1）椭圆上顶点，右顶点，则，离心率，
即，联立解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）知，左焦点，直线MN不垂直于y轴，设其方程为，
由消去x并整理得：，设，
，，则有，
直线m：，即有点，直线EN：，
令，则，
因此，直线EN恒过定点，而，
则，
令，有在上单调递增，则，即时 ，取最小值4，
于是当时，，
所以面积的最大值是.
22．(1)递减区间为，递增区间为，，无极大值；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，解不等式得增区间，解不等式得减区间，从而也可得到极值；
（2）①先确定函数的变化趋势，由函数式，知或时，都有，
从而函数要有两个零点，则必有，从而得．因此有两个零点，不妨设，通过构造函数，由的单调性可证，即，最后由的单调性，得证；
②令，然后证明，由，得，计算，由,结合得，再由在上的单调性可证结论．
（1）
定义域为 ，
令，则，令，则，
∴递减区间为，递增区间为，
∴，无极大值；
（2）
由（1）知时，；时，，
要使有两个不同零点，则即，
不妨设，
①证明：令，
则，
由于，，故，
在递增，而，∴，
∴即，
∵，∴，
∵且在递减，
∴，即；
②证明：令，
下面先证明，，令，
∵，，∴在递增，
∴，∴在递增，∴，
即在总成立，
∵，∴，
又，
∵，由知，则，
又，且及在递减，
∴，即.0
1
2
3
4
0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081