2023-2024学年四川省雅安市名山区第三中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省雅安市名山区第三中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程得到直线的斜率，然后可得答案.
【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为，
故选：A
2．椭圆的焦距为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题目所给椭圆方程，可求得，再由，求出，即可得解.
【详解】由椭圆方程可得：，
所以，
即，所以焦距为，
故选：B.
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，即得解.
【详解】由抛物线得，
所以抛物线的准线方程为.
故选：A
【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（ ）
A．6B．C．8D．10
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可
【详解】由，得，则，
所以，
因为点在椭圆上运动，所以，
所以的周长为，
故选：D
5．在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】是三个不共面的向量，构成空间的一个基底，利用向量的线性运算用基底表示即可.
【详解】
即：
故选：C.
6．从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】从，，，，中任取两个不同的数，记为，共有个基本事件，
分别为，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
记“成立”为事件，
若，则且，
所以事件包含个基本事件：，，，，，，
故其概率为．
故选：D
7．在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，
，，则，
所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
8．直线与椭圆（）相交于两点，线段的中点为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中点弦问题可以利用点差法解决.
【详解】设，
则有，,
得
即,
两边同时除以，得③
而直线的斜率，即
且的中点为，所以
代入③式得：所以，
所以离心率.
故选：A
二、多选题
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.
【详解】由题知，
或，
解得或.
故选：BD
10．已知点，，在平面内，则下列向量为的法向量的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题先得到平面内的两个相交向量的坐标，再通过法向量的定义得到中x、y、z的关系式，选取与选项中相同的x，即可得到答案．
【详解】由题得：，，
设平面的法向量为，
则有 ，
故平面的一个法向量可以为，.
故选：BC．
11．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．线段长度的最小值为4B．为锐角
C．A，O，三点共线D．P的坐标可能为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的性质判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线AB和点A、B的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；结合C选项可判断D.
【详解】由题意知，抛物线C的方程为，
线段长度的最小值为通径，A正确；
，轴，∴，
同理，∴，B错误；
设直线，
联立抛物线并整理，得，
设，，
则，，
∵，∴，A，O，三点共线，C正确；
设的中点，
则，，
取时，，D正确；
故选：ACD
12．已知分别是双曲线的左､右焦点，则下列正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的坐标为
D．直线与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【分析】根据解析式得，再结合双曲线的几何性质对选项逐一辨析即可.
【详解】双曲线，则，则，
，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，故B正确；
左焦点，故C错误；
直线斜率， ，
则直线与双曲线有两个公共点，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．检验一批产品，一、二、三等品出现的频率分别为0.8、0.16、0.04，若一、二等品是“优质品”，则这批产品中“优质品”的经验概率为 .
【答案】0.96
【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解.
【详解】记A=“产品为一等品”，B=“产品为二等品”，C=“产品为优质品”，则，,所以
故答案为：0.96
14．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对于方程，若表示焦点在 y 轴上的椭圆，则有，据此得出关于m的不等式，解不等式即得.
【详解】因为方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，
所以有，
解得，或.
故答案为：.
15．已知点、，若是与同向的单位向量，则 ．
【答案】
【分析】应用坐标表示出，再由单位向量的定义求的坐标.
【详解】由题设，，则，
所以.
故答案为：
16．为抛物线上任意一点，在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的性质，以及三角形的性质（两边之和大于第三边）得到，进而可求出结果.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为：直线，
则，
连结，则，
当三点共线时，可使取得最小值，
的最小值为 ，
故答案为： .
四、解答题
17．（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据平行关系设出直线方程，利用过点的坐标可得答案；
（2）先利用点斜式设出方程，利用截距的关系求出方程.
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，
解得，故所求直线的方程为．
（2）依题意可设所求直线的方程为．
令，得；令，得．
依题意可得，
解得．
18．圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交两点，且，求.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.
【详解】（1）设圆的半径为，则，
故圆的标准方程为：；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
由垂径定理得：，
即，解得：或.
19．某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在之间），将他们的身高（单位：）分成：，，，…，六组，得到如图所示的部分频率分布直方图.已知身高属于内与内的频数之和等于身高属于内的频数.
（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；
（2）求身高处于内与内的频率之差；
（3）用分层抽样的方法从身高不低于的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求解.
（2）设身高处于内的频率为，身高处于的频率为，根据题意列出方程组，解方程组即可.
（3）根据分层抽样求出身高处于为人，身高处于的为，分别进行标记，列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意知，身高区间为的小矩形的面积为：；
身高区间为的小矩形的面积为：；
身高区间为的小矩形的面积为：；
身高区间为的小矩形的面积为：；
频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为：
.
（2）设身高处于内的频率为，身高处于的频率为，
，解得，，
所以.
（3）由于身高区间为的频率与身高区间为的频率之比为：
，
需要从身高处于选取人，身高处于选取，
身高处于的人记，身高处于的人记，
从中任取3人的取法为：
，共个，
其中这3人中恰好有一人身高不低于的为：

，共个，
所以这3人中恰好有一人身高不低于的概率：
【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，属于基础题.
20．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.
(1)求证： 直线 平面；
(2)求直线 与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 证明和，利用直线与平面垂直的判定定理可得证.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量解决线面角的问题.
【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，.
而, 平面，
故 平面.
（2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.
设 ，则，
从而.
设平面 的法向量为，
，令 ， 则.
设直线 与平面所成的角为，则，
故直线 与平面的所成角的正弦值为.
21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的标准方程及实数的值；
（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.
【答案】(1) ,(2) .
【详解】试题分析：（1）由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得|NF|，结合|NF|=2，求出p的值，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O到AB的距离，利用△AOB的面积为4，求出k的值，即可求直线l的方程．
试题解析：
（Ⅰ）因为抛物线过点，
又因为， ，
，解得：
，；
（Ⅱ）的焦点，设所求的直线方程为：
由，消去得：
因为直线与抛物线交于两点，，
设，
，
所以的面积为，
解得：，所以所求直线的方程为：.
22．已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），为椭圆右焦点，点M满足（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且P为AB中点，求直线AB斜率.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据点在椭圆上，离心率及的关系，可求得，写出方程.
（2）设出的方程与椭圆方程联立，用表示，又直线与以为圆心的圆相切于点，且，得为中点，，利用向量数量积为建立方程求得.
【详解】（1）点在上，即，
又，解得：，
椭圆C的方程：.
（2）因为点，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），所以斜率一定存在.
设：，
因为，，，
直线和椭圆方程联立得,得，
，
因
，则，
因为直线与以为圆心的圆相切于点，且，即为中点，,
则，，
，,
因为，所以,得，
得（舍去），，
故.