2023-2024学年山东省青岛第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线：与直线：垂直，则实数m的值为（ ）
A．0B．或0C．0或D．
【答案】C
【分析】根据直线垂直列方程，从而求得的值.
【详解】由于，所以，
解得或.
故选：C
2．与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解.
【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为，
则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为，
由双曲线的定义可知，
所以，
所以所求双曲线的标准方程为.
故选：C.
3．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．7B．12C．15D．31
【答案】D
【分析】根据等比数列，等差中项等知识求得等比数列的首项和公比，从而求得.
【详解】设等比数列的公比为，，
依题意，则，
，，
解得，则，所以.
故选：D
4．求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先由题意可知圆心也在直线上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解.
【详解】由题意圆心也在过点且与直线垂直的直线上，而该直线方程为，即，
联立，解得，即圆心坐标为，半径为点与圆心的距离，
故所求圆的方程为.
故选：A.
5．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．240B．180C．120D．60
【答案】A
【分析】根据等差数列通项公式以及前项和公式的基本量计算来求得正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
，
.
故选：A
6．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【答案】B
【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案.
【详解】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为.
故选：B
7．细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是（ ）

A．在同一直线上B．12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C．D．弧形所在圆的半径BC变化时，存在
【答案】D
【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.
【详解】已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，
对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即在同一条直线上，A正确；
对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B正确；
对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，C正确；
对于D：由得，所以，
又，所以，
所以，所以恒成立，D错误，
故选：D
8．双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线C左支交于点P，原点O到直线的距离为，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由题意首先根据对称性得出，又，所以可依次求得，又，再由平方关系可得，又，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程，结合平方关系离心率公式运算即可求解.
【详解】如图所示：
，垂足为点，由题意，又，所以，，
又因为原点是的中点，所以，
解得，
又，
所以由余弦定理，整理得，
又，所以，即，解得，
从而所求离心率为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.
二、多选题
9．已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ）
A．若为圆，则
B．若，则离心率为2
C．离心率为
D．是双曲线且其渐近线方程为
【答案】AC
【分析】对于A，若为圆，则，求出得出结果；对于B，为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D，故曲线为双曲线，求其渐近线方程.
【详解】对于A，首项为正数的等比数列的公比为，曲线，若为圆，则，所以，所以，即曲线为圆心为，半径为的圆，故正确；
对于B，当时，，所以与互为相反数且不为0，
故为等轴双曲线，故曲线的离心率为，故B错误；
对于C，，数列为递减数列，，所以曲线焦点在轴上的椭圆，故的离心率为，故C正确；
对于D，当时，与异号，
故曲线为双曲线，其渐近线为，即，故D错误.
故选：AC.
10．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，，则（ ）
A．B．
C．对任意的正整数，有D．使得的最小正整数为4047
【答案】BD
【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
由于，所以或.
若，则，则矛盾，
所以，则，所以A选项错误.
，B选项正确.
由于，所以的最小值为，即，所以C选项错误.
，
由于，所以，所以，
所以，
由于，且，所以当时，，
综上所述，使得的最小正整数为，所以D选项正确.
故选：BD
11．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A．B．当为奇数时，
C．数列为等比数列D．数列的前项和小于
【答案】ACD
【分析】根据“欧拉函数”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.
A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，由列表分析可知，对于，“不超过正整数，且与互质的正整数”为：
不超过的奇数，则，则，
，所以 是等比数列，所以C选项正确.
D选项，有列表分析可知，对于，“不超过正整数，且与互质的正整数”为：
从到中，除掉的倍数，则，
则，，
所以是等比数列，前项和为，
所以D选项正确.
故选：ACD
12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线与交于，两点，若点在上运动，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，三点的纵坐标成等差数列
D．当时，
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义可判断A项，联立直线AB方程与抛物线方程求得、，进而可求得可判断B项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C项，设出点M坐标，计算可得，可得，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D项.
【详解】对于选项A：如图所示，

由抛物线定义可知，若，则，故选项A正确；
对于选项B：如图所示，

当时，为正三角形，
所以直线的倾斜角为，
设直线的方程为，
由可得，
，
所以，故选项B错误；
对于选项C：过点作直线垂直于，垂足分别为，作的中点N，如图所示，

由选项B可知，
又因为，
所以，
由抛物线定义可知，
所以，
所以M为的中点，
所以三点的纵坐标成等差数列，故选项正确；
对于选项D：如图所示，

设，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
由B项可知，
由选项C可知，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，且，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．在数列中，若，，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】将变为，利用累加法即可求得答案.
【详解】由题意可知数列中，，，
故，
所以
，
故答案为：
14．已知圆：，直线，直线与圆交于两点，最短弦长 .
【答案】
【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.
【详解】直线，
即，
由，解得，设，
由于，所以在圆内，
圆的圆心为，半径，
当时，最短，
，所以的最小值为.
故答案为：
15．英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为.若，则
【答案】
【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.
【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，
设第一个音频率为，所以，故，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
16．已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案.
【详解】设，依题意，设的中点为，
由于，所以，所以，，
由于，所以，
所以，所以或，
由于在双曲线的渐近线上，
所以，两式相减并化简得，，
若，则不符合题意，舍去.
若，则，所以，
所以渐近线方程为.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.
四、解答题
17．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
(1)求直线的方程：
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.
（2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积.
【详解】（1）边上的高所在直线方程为，
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
（2）边上的中线所在的直线方程为，
由解得，即.
设，则，
所以，解得，即.
，到的距离为，
所以三角形的面积为.
18．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值，并指出取何时取得最小值.
【答案】(1)
(2)的最小值为，对应或
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用，求得取得最小值时对应的值，进而求得的最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
依题意，，，解得，
所以.
（2）由，解得，
所以当或时取得最小值，
且的最小值为.
19．数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意直接由以及时，即可求解.
（2）发现数列是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.
【详解】（1）由题意，
当时，，
当时，也有成立，
综上所述，数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，所以由题意，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前项和为.
20．已知抛物线上的一点到抛物线的焦点的距离是.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与C交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，设，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程.
（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线的方程并与准线方程求得，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数的取值范围.
【详解】（1）根据抛物线的定义有，
所以抛物线的方程为.
（2），抛物线的准线为，依题意可知直线与轴不重合，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，设，
则，，
所以，由于垂直平分，
所以直线的方程为，
令得，则，
，
，所以.
21．已知数列中，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，，其中，若对任意，总有成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明详见解析，
(2)
【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列是等比数列，先求得，进而求得.
（2）利用二次函数的性质求得的最小值，利用商比较法求得的最大值，从而列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，，且，
所以，则，
所以，所以数列是首项为，
公比为的等比数列，所以.
（2），
依题意，，且对任意，总有成立，
所以，
，当时取得最小值.
，
当时，，
当时，，当时，，所以，
则，解得或（舍去），
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题的关键点在于“转化”，将不等式恒成立问题，转化为来进行求解.要求数列的最大值，可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式，可考虑利用构造法来进行求解.
22．设椭圆的上顶点，左焦点，右焦点，左、右顶点分别为、.
(1)求椭圆方程；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交y轴于点Q，若的面积是面积的倍，求直线的方程；
(3)如图过椭圆的上顶点K作动圆的切线分别交椭圆于M、N两点，是否存在圆使得为直角三角形?若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意求，进而可得方程；
（2）由题意结合面积关系分析可知：，设，可得，代入椭圆方程运算求解即可；
（3）分别设切线方程求点的坐标，进而根据垂直关系整理可得，结合直线与圆的位置关系可得，解方程分析判断即可.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由题意可得：，则，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：，
可知点到直线的距离之比，
由题意可知：，可得，
设，且，则，
可得，解得，即，
所以直线的方程，即.
（3）由题意可知切线的斜率存在且均不为0，且不是直角，
设切线，
联立方程，消去得，解得或，
当时，，即，
同理可设切线，可得，
则直线的斜率，
不妨设，则，整理得，
设圆，
若过的直线与圆相切，则，
整理得，
可知即为方程的两根，则，
可得，即，与题意相矛盾，所以不存在.
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
【详解】
不超过正整数，且与互质的正整数