2023-2024学年甘肃省数学九上期末学业水平测试试题

这是一份2023-2024学年甘肃省数学九上期末学业水平测试试题，共19页。试卷主要包含了在中，，则的正切值为，下列命题正确的是，下列计算，二次函数y=ax1+bx+c，下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．解方程，选择最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法
2．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为( )
A．(x+2)2＝3B．(x﹣2)2＝3C．(x+2)2＝5D．(x﹣2)2＝5
3．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，则的正切值为（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题正确的是( )
A．有意义的取值范围是.
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.
C．若，则的补角为.
D．布袋中有除颜色以外完全相同的个黄球和个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为
6．下列计算
① ② ③ ④ ⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2011?德州）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（ ）
A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2
C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4
8．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=1．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．aB．aC．aD．a
9．二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：（1）4a+b=0；（1）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+1c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y1；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜5＜x1．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
10．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等
11．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9︰16B．3︰4C．9︰4D．3︰16
12．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______
14．如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为________度.
15．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结，若，则的度数是____．
16．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文为：已知长方形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长为10尺，那么门的高和宽各是多少尺？设长方形门的宽为尺，则可列方程为___________.
17．在中，，，则______．
18．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝_______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．（8分）如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C ，点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标．
21．（8分）今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，点E是弧BC的中点.
(1)过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线.
(2)点F是弧AC的中点，求EF的长.
23．（10分）国家教育部提出“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.万州区某中学对九年级部分学生进行问卷调查“你最喜欢的锻炼项目是什么？”，规定从“打球”，“跑步”，“游泳”，“跳绳”，“其他”五个选项中选择自己最喜欢的项目，且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）这次问卷调查的学生总人数为 ，人数 ；
（2）扇形统计图中， ，“其他”对应的扇形的圆心角的度数为 度；
（3）若该年级有1200名学生，估计喜欢“跳绳”项目的学生大约有多少人？
24．（10分）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
26．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据方程含有公因式，即可判定最适当的方法是因式分解法.
【详解】由已知，得方程含有公因式，
∴最适当的方法是因式分解法
故选：D.
此题主要考查一元二次方程解法的选择,熟练掌握,即可解题.
2、A
【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解．
【详解】x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝3，
(x+2)2＝3，
故选：A．
本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键．
3、C
【解析】试题分析：选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误；选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，此选项错误；
选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，此选项正确；选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误.故选C.
考点：1一次函数图像；2二次函数图像.
4、B
【解析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠B的正切值为=，
故选B.
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
5、B
【分析】分别分析各选项的题设是否能推出结论，即可得到答案.
【详解】解：A. 有意义的取值范围是，故选项A命题错误；
B. 一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故选项B命题正确；
C. 若，则的补角为，故选项C命题错误；
D. 布袋中有除颜色以外完全相同的个黄球和个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为，故选项D命题错误；
故答案为B.
本题考查了命题真假的判断，掌握分析各选项的题设能否退出结论的知识点是解答本题的关键.
6、A
【解析】根据计算结果和概率公式求解即可.
【详解】运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，
故选：A．
考核知识点：求概率.熟记公式是关键.
7、B
【解析】试题解析：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3
设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a1==1≈1.818，
设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=1b，
∴正六边形的周率是a3==3，
圆的周率是a4==π，
∴a4＞a3＞a1．
故选 B．
考点：1.正多边形和圆；1.等边三角形的判定与性质；3.多边形内角与外角；4.平行四边形的判定与性质．
8、C
【详解】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=1，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选C．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．
9、B
【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以（1）正确；
由x=-3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（1）正确；
因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a﹣3b+1c=7a+11a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+1c＜0，故（3）不正确；
根据图像可知当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，可知若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y1，故（4）不正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜x1，故（5）正确．
正确的共有3个.
故选B.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax1+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b1﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10、C
【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.
【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选C．
本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．
11、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
12、B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
故选B．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、m=-1
【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，
而m-1≠0，
所以m的值为-1．
故答案是：-1．
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
14、64
【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得∠AOE=∠COA=32°，所以∠COE=∠AOE+∠COA=64°．
【详解】解：∵弧AE=弧AC，（已知）
∴∠AOE=∠COA（等弧所对的圆心角相等）；
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°．
故答案是：64°．
本题考查圆心角、弧、弦的关系．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．
15、
【分析】先根据旋转的性质得出，然后得出，进而求出的度数，再利用即可求出答案．
【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，得到


∵



故答案为：70°．
本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．
16、
【分析】先用表示出长方形门的高，然后根据勾股定理列方程即可.
【详解】解：∵长方形门的宽为尺，
∴长方形门的高为尺，
根据勾股定理可得：
故答案为：.
此题考查的是一元二次方程的应用和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键.
17、
【分析】根据题意画出图形，进而得出csB= 求出即可．
【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，
则csB==．
故答案为：．
本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．
18、
【分析】作CD⊥AB于点D，先在Rt△ACD中求得CD的长，再解Rt△BCD即得结果．
【详解】如图，作CD⊥AB于点D：
，∠A＝30°，
，得，
，∠B＝45°，
，
解得
考点：本题考查的是解直角三角形
点评：解答本题的关键是作高，构造直角三角形，正确把握公共边CD的作用．
三、解答题（共78分）
19、（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）连接推出根据切线的判定推出即可；
（2）连接求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可．
试题解析：(1)BC与相切，
理由：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴OD⊥BC，
∴BC与相切；
(2)连接OE，ED，
∴△OAE为等边三角形，
又
∴阴影部分的面积=S扇形ODE
20、（1）y＝ ；（2）P（2，2）
【分析】（1）点C在一次函数上得：m＝，点C在反比例函数上：，求出 k即可．
（2）动点P（m，），则点Q（m，﹣2），PQ=-+2，则△POQ面积=，利用-公式求即可．
【详解】解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m＝，
故点C，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝4，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）设点P（m，），则点Q（m，﹣2），
则△POQ面积＝PQ×xP＝（﹣m+2）•m＝﹣m2+m+2，
∵﹣＜0，故△POQ面积有最大值，此时m＝＝2，
故点P（2，2）．
本题考查反比例函数解析式，及面积最大值问题，关键是会利用一次函数求点C坐标，利用动点P表示Q，求出面积函数，用对称轴公式即可解决问题．
21、（1）7头；（2）会超过1500头
【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，根据“第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3天后生猪发病头数=2天后生猪发病头数×（1+7），即可求出3天后生猪发病头数，再将其与1500进行比较即可得出结论．
【详解】解：（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得，
解得：， （不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．
（2）（头，．
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接AE，由等弦对等弧可得，进而推出，可知AE为⊙O的直径，再由等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，根据DE∥BC即可得DE⊥AE，即可得证；
（2）连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，利用勾股定理求出AG，然后求直径AE，再利用垂径定理求出HF，最后用勾股定理求AF和EF.
【详解】证明：（1）如图，连接AE，
∵AB=AC
∴
又∵点E是弧BC的中点，即
∴，即
∴AE为⊙O的直径，
∵
∴∠BAE=∠CAE
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∵DE∥BC
∴DE⊥AE
∴DE是⊙O的切线.
（2）如图，连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，

∴∠ABE=∠AFE=90°，OF⊥AC
由（1）可知AG垂直平分BC，∴BG=BC=6
在Rt△ABG中，
∵cs∠BAE=cs∠BAG
∴，即
∴AE=
∴⊙O的直径为，半径为.
设HF=x，则OH=
∴在Rt△AHO中，
即，
解得
∴
∴
本题考查圆的综合问题，需要熟练掌握切线的证明方法，以及垂径定理和勾股定理的运用是关键.
23、（1）300，90；（2）10，18；（3）120人
【分析】（1）根据打球人数占总人数的40%可求出总人数，再根据比例关系求出游泳人数，再用总人数减去打球、游泳、跳绳的人数即为的值；
（2）用跳绳人数除以总人数，得到n%的值，即可求出n，求出其他所占比例，再乘以360°即可得到圆心角度数；
（3）用1200人乘以跳绳所占比例即可得出答案.
【详解】解：（1）总人数=（人）
游泳人数（人）
∴（人）
故答案为：300，90；
（2）n%=
∴n=10，
∴m%=1-40%-25%-20%-10%=5%
∴“其他”对应的扇形的圆心角的度数为360°×5%=18°
故答案为：10，18；
（3）由于在调查的300名学生中，喜欢“跳绳”项目的学生有30名，所占的比例为.
所以该年级1200名学生中估计喜欢“跳绳”项目的有人.
本题考查统计图，解题的关键是找到表格数据与扇形图中数据的对应关系.
24、（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【解析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
，解得：，
即y与x之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；
（2）设合作社每天获得的利润为w元，
w=x（﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x2+120x﹣2200=﹣0.5（x﹣120）2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
25、（1）C（m，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【详解】（1）y＝x3﹣3mx+m3﹣1＝（x﹣m）3﹣1，
∴抛物线顶点为C（m，﹣1）．
（3）把A（0，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝m3﹣1，
解得 m＝±3．
把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，
即m3﹣3m＝0，
解得m＝0 或m＝3．
结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
26、 (1)见解析；（2）=﹣．
【解析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
最喜欢的锻炼项目
人数
打球
120
跑步
游泳
跳绳
30
其他