2023-2024学年云南省曲靖市罗平县罗雄一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市罗平县罗雄一中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源.下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.把一元二次方程(x−3)2=5化为一般形式后，二次项系数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
3.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k<13B. k≤13C. k<13且k≠0D. k≤13且k≠0
4.二次函数y=(x−3)2+1的最小值是( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
5.如图，BC是⊙O的切线，点C为切点，连接BO并延长交⊙O线于点A，连接AC，OC，若∠A=32°，则∠B的度数等于( )
A. 22°
B. 26°
C. 30°
D. 64°
6.用配方法解一元二次方程x2−2x=5的过程中，配方正确的是( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−2)2=9
7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，则∠BOD的度数为( )
A. 70°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
8.关于抛物线y=3x2，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 顶点坐标为(0,3)
C. 对称轴为y轴D. 当x<0时，函数y随x的增大而增大
9.如图，AB是⊙O直径，∠AOC=60°，则∠D为( )
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
10.已知抛物线y=ax2−2ax+3(a>0)，A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大序排列是( )
A. y111.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在AE边上，且点D在CB的延长线上，连接CE，若∠ABC=110°，则下列结论一定正确的是( )
A. DE=CEB. CE⊥DEC. 旋转角是70°D. DE/​/AC
12.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.点(1,2)关于原点的对称点坐标是______ ．
14.已知m、n是关于x的方程x2+2x−1=0的两个不相等的实数根，则m+n=______．
15.如果函数y=(k−3)x2−3k+2+kx+1是二次函数，那么k的值为______ ．
16.如图，圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB的度数是为______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解下列一元二次方程：
(1)x2−4=2(2−x)；
(2)2x2+4x−3=0．
18.(本小题6分)
把一个足球垂直地面向上踢，t(秒)后该足球的高度h(米)适用公式h=20t−5t2．
(1)经多少秒后足球回到地面？
(2)试问足球的高度能否达到25米？请说明理由．
19.(本小题7分)
在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
20.(本小题7分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2.并写出B2的坐标．
21.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+2m=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
22.(本小题7分)
已知抛物线y=2x2−4x−3，请回答下列问题：
(1)写出该抛物线的顶点坐标，对称轴和开口方向；
(2)当0≤x≤4时，求出y的最大值和最小值．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若CD=BF，AE=3，求DF的长．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−m+316x2−mx+m2+2m−3经过原点O．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设k是直线y=12x−14与抛物线y=−m+316x2−mx+m2+2m−3交点的横坐标，求21k4k8−24k6−5k4−24k2+1的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】A
【解析】解：(x−3)2=5，
x2−6x+9−5=0，
x2−6x+4=0，
二次项系数为：1．
故选：A．
根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数可得答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．
3.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4k×3≥0，
解得k≤13，
∴k的取值范围是k≤13且k≠0，
故选：D．
根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：当x=3时，二次函数y=(x−3)2+1的最小值是1．
故选：A．
根据二次函数的顶点式形式写出最小值即可．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握利用顶点式解析式求最值的方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=2×32°=64°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCO=90°，
∴∠B=90°−∠BOC=90°−64°=26°，
故选：B．
根据圆周角定理求出∠BOC，根据切线的性质得到∠BCO=90°，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−2x+1=5+1，
即(x−1)2=6，
故选：B．
在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方即可．
本题考查了配方法，解题的关键是：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠A+∠C=180°，∠C=130°，
∴∠A=180°−130°=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
故选：C．
先利用圆内解四边形的性质得到∠A=50°，然后根据圆周角定理得到∠BOD的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵y=3x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,0)，
∴A、B都错误，C正确，
∵a=3>0，对称轴为直线x=0，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，
∴D错误，
故选：C．
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在y=a(x−h)2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,k).当a>0时，抛物线开口向上，xh时，y随x的增大而增大．
9.【答案】D
【解析】解：由圆周角定理得：∠D=12∠AOC=12×60°=30°，
故选：D．
观察图形发现∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠D是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理即可计算出∠D的度数．
本题主要考查了圆周角定理，应熟练掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax+3=a(x−1)2−a+3，a>0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，
∵A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是抛物线上三点，1−(−1)=2，2−1=1，4−1=3，
∴y2故选：B．
根据抛物线y=ax2−2ax+3(a>0)，可以得到该抛物线的对称轴和开口方向，再根据A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是抛物线上三点，即可得到y1，y2，y3的大小关系．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE，
∴AD=AB，DE=BC，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠ACD=∠AED，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=110°，
∴∠ABD=70°=∠ADB=∠CBE，
∴∠BAC=∠DAE=40°，即旋转角为40°，
∴∠ACD=∠AED=30°，
∴∠DEC=100°≠90°，
∵∠DEA=30°≠∠EAC=40°，
∴DE与AC不平行，
∵∠AEC=∠CBE=70°，
∴CB=CE=DE，
故选：A．
由旋转的性质可得AD=AB，DE=BC，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠ACD=∠AED，由等腰三角形的性质可求∠AEC=∠CBE=70°，可得CB=CE=DE，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质可求解．
12.【答案】D
【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a<0，x=−b2a<0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，但一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点为(−ba,0)，
二次函数y=ax2+bx的图象与x轴的交点为原点和点(−ba,0)，两个图象交x轴同一点，C不可能，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a<0，x=−b2a>0，得b>0，由直线可知，a<0，b>0，且一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点为(−ba,0)，
二次函数y=ax2+bx的图象与x轴的交点为原点和点(−ba,0)，两个图象交x轴同一点，故本选项符合题意．
故选：D．
本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比是否一致，还要判断两个函数与x轴是否有公共点．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来判定这种数形结合题是一种很好的方法
13.【答案】(−1,−2)
【解析】解：点(1,2)关于原点的对称点坐标是(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
14.【答案】−2
【解析】解：∵m、n是关于x的方程x2+2x−1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=−2．
故答案为−2．
由根与系数的关系求解即可．
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】k≠3
【解析】解：∵y=(k−3)x2−3k+2+kx+1是二次函数，
∴k−3≠0，
解得：k≠3，
∴k的值为k≠3．
故答案为：k≠3．
直接利用二次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
16.【答案】100°
【解析】解：作AB所对的圆周角∠APB，如图，
∵四边形APBC为⊙O的内接四边形，
∴∠P+∠ACB=180°，
∴∠P=180°−130°=50°，
∴∠AOB=2∠P=100°．
故答案为100°．
作AB所对的圆周角∠APB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠P=50°，然后根据圆周角定理得到∠AOB的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．作AB所对的圆周角∠APB是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−4=2(2−x)，
(x+2)(x−2)−2(2−x)=0，
(x+2)(x−2)+2(x−2)=0，
(x−2)(x+4)=0，
x−2=0或x+4=0，
x1=2，x2=−4；
(2)2x2+4x−3=0，
∵Δ=42−4×2×(−3)=16+24=40>0，
∴x=−4± 404=−4±2 104=−2± 102，
∴x1=−2+ 102，x2=−2− 102．
【解析】(1)利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解答；
(2)利用解一元二次方程−公式法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)当h=0时，20t−5t2=0，
解得t=0(舍)或t=4．
答：经4秒后足球回到地面．
(2)不能，
∵h=20t−5t2=−5(t−2)2+20，
∴由−5<0知，
当t=2时，h最大，最大值为20，不能达到25米，
故足球的高度不能达到25米．
【解析】(1)令h=0得关于t的一元二次方程，解得t的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
(2)h=20t−5t2进行配方，可知t=2时，h最大，最大值为20，不能达到25米．
本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，将生活实际转化为数学问题是解题的关键，本题难度不大．
19.【答案】解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，
∵直径是52cm，
∴OB=26cm，
∴OD=OC−CD=26−16=10(cm)，
由勾股定理知，
BD= BO2−OD2=24(cm)，
∴AB=48cm．
【解析】因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答．
此题考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题．
20.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求作．A1的坐标(−2,−4)、B1的坐标(−1,−1)、C1的坐标(−4,−3)．

(2)如图2，△A2B2C2即为所求作，B2的坐标(1,1)．

【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，连线即可，并直接写出点的坐标；
(2)分别作出A，C的对应点A2，C2，连线即可，并直接写出点的坐标．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=(m+2)2−4×2m
=(m−2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1+t=m+2①，1×t=2m②，
②−①得−1=m−2，
解得m=1，
把m=1代入②得t=2，
所以m的值为1，方程的另一个根为2．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后利用根的判别式的意义得到结论；
(2)设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t=m+2，1×t=2m，然后解方程组求出m和t即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
22.【答案】解：(1)∵y=2x2−4x−3=2(x−1)2−5，
二次项系数为2>0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标与(1,−5)，对称轴为x=1，
(2)∵抛物线开口向上，顶点坐标与(1,−5)，
∴最小值为−5，
∵对称轴为x=1，1−0<4−1，
∴当x=4时，取得最大值，最大值为2(4−1)2−5=13，
∴y的最大值为13，最小值为−5．
【解析】(1)将解析式化为顶点式，继而即可求解；
(2)根据二次函数的性质求得当x=4时取得最大值，当x=1时取得最小值，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD/​/AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵点D在⊙O上，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，
∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，即2∠3+∠3=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2，AE=3，
∴AD=2 3，
∴DF=2 3．
【解析】(1)连接OD，证出AC/​/OD，进而证出OD⊥DE，根据切线的判定定理得出即可；
(2)求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)抛物线y=−m+316x2−mx+m2+2m−3经过原点O，
∴m2+2m−3=0，且−m+316≠0，
解得m1=1，m2=−3(舍去)，
∴抛物线的解析式为y=−14x2−x；
(2)∵k是直线y=12x−14与抛物线y=−m+316x2−mx+m2+2m−3交点的横坐标，
∴−14k2−k=12k−14，
∴k2+6k−1=0，
∴k2+6k=1，k2=1−6k，
∴21k4k8−24k6−5k4−24k2+1
=21k4k8−24k6−5k4−23k2+6k
=21k3k7−24k5−5k3−23k+6
=21k3k7−24k5−5k3−23k+6k2+36k
=21k3k7−24k5−5k3+6k2+13k
=21k2k6−24k4−5k2+6k+13
=21k2k6−24k4−5k2+6k+13k2+78k
=21kk5−24k3+8k+84
=21kk5−24k3+8k+84k2+504k
=21k4−24k2+84k+512
=21(1−6k)2−24k2+84k+512
=211−12k+36k2−24k2+84k+512
=2112k2+72k+513
=2112(k2+6k)+513
=2112+513
=21525
=125．
【解析】(1)由题意得到m2+2m−3=0，且−m+316≠0，解得m=1，即可求得抛物线的解析式为y=−14x2−x；
(2)根据题意得−14k2−k=12k−14，即k2+6k−1=0，变形为k2+6k=1，k2=1−6k，利用代数式的恒等变形可得即可求出原式的值．
考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的不特征，一次函数图象上点的坐标特征，代数式恒等变形等，第(2)问难度较大，熟练运用代数式的恒等变形是解题关键．