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2023-2024学年广东省惠州市惠州中学高一上学期11月第一次月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠州中学高一上学期11月第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
2．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据同一函数的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义域为；
对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数.
故选：D.
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.
【详解】对于A：为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；
对于B：为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；
对于C：为一次函数，不是奇函数，不符合题意，故C错误；
对于D： 为奇函数；时， 为增函数，时， 为增函数，且该函数在R上为增函数，故D正确；
故选： D
4．设，下列说法中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可.
【详解】解：对于A，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于B，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确；
对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条件，故错误；
对于D，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确.
故选：C
5．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，
【详解】由题意可知恒成立．
①当时，恒成立；
②当时，，解得．
综上：．
故选：C
6．若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
7．定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的，有，则（ ）
A．f(3)C．f(3)【答案】A
【解析】已知不等关系说明函数是减函数，再由偶函数得，然后由单调性可得大小关系．
【详解】∵对任意的，有，
∴在上是减函数．
∴，
∵是偶函数，∴
∴．
故选：A．
8．若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】先利用均值不等式求解的最小值，转化存在这样的x，y使不等式有解为，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，，
当且仅当，即时等号成立.
故若存在这样的x，y使不等式有解.
即或.
故选：A
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合，由可得，
则或或或，
当时，满足即可；
当时，需满足，解得：；
当时，需满足，解得：；
因为时有且只有一个根，所以.
所以的值可以为.
故选：ABD.
10．若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）
A．0B．1C．D．3
【答案】BC
【分析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.
【详解】当时，为增函数，
所以当时，也为增函数，
所以，解得.
故选：BC
【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.
11．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
【答案】ACD
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.
【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故A、C正确，B错误；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ACD
12．已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数性质得，即得，可判断A; ，根据单调性可得，即可判断B;先根据定义以及奇函数性质得，再根据函数单调性判断C; 根据定义以及奇函数性质得，即可判断D.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，因为，
所以，故A正确；
因为为定义在上的减函数，且，，
即.所以，故B不一定成立；
因为，所以，
所以，因为是定义在上的减函数，
所以，所以，即，故C正确；
因为，所以，，
所以，选项D错误.
故选：AC
【点睛】本题考查函数奇偶性以及单调性应用，考查基本分析判断能力，属中档题.
三、填空题
13．不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】根据一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解.
【详解】由不等式，可得，
则，解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
14．已知幂函数是上的增函数，则的值为 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．
【详解】由题意，是幂函数，
，解得或，
又是R上的增函数，
.
故答案为：3.
15．已知函数，且，则 ．
【答案】1
【分析】由已知可得,从而可求,然后代入即可求解.
【详解】解：,
,
,由,
则.
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.
四、双空题
16．记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 .
【答案】 2
【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，令，解得或；
令，解得；令，解得，
由图象知：当时，或或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：2，
五、解答题
17．已知集合.
（1）若，求、；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出再与集合B取交集；（2）根据并集的结果可得，分、两种情况进行讨论求解a的取值范围.
【详解】（1），，
（2），
①若；
②若.
综上所述，.
【点睛】本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题.
18．函数是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；
（2），有，解方程即可得解.
【详解】（1）令，则，
由，此时；
（2）由，，
所以，
解得或或（舍）.
19．某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】(1)
(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式.
（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.
【详解】（1）设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
（2）平均费用，
当且仅当，即时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
20．已知二次函数，，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设，结合进而可得的解析式；
（2），对称轴为，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.
【详解】（1）由已知函数是二次函数，且，
∴函数图象的对称轴为，
又，设，
又，∴．
∴；
（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，
若，则在上是减函数，最大值；
若，即，则在上是增函数，；
若，即，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
21．已知函数，.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并用单调性定义加以证明；
【答案】(1)奇函数；证明见解析；
(2)在上是单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据求得参数，结合奇偶性的定义，即可判断和证明；
（2）根据单调性的定义，即可判断和证明.
【详解】（1）因为，则，
为奇函数，证明如下：
其定义域为，关于原点对称，且，
故为奇函数.
（2）在上是单调递增函数.
证明如下：
设任意的满足，
，
∵，∴，
∴，即.
∴在上是单调递增函数.
22．已知定义域为的函数满足下列条件：对任意的实数都有：，当时，.
（1）求；
（2）求证：在为增函数；
（3）若，关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）取，计算得到答案.
（2）任取，则，得到，得到函数的单调性.
（3）化简得到在上恒成立，计算函数的最值得到答案.
【详解】（1）由题设令，恒等式可变为，解得.
（2）任取，则，由题设时，，可得，
，
，，
即，所以是上增函数；
（3）由已知条件有
所以
故原不等式可化为： ，即
由（1）可知，故不等式可化为；
由（2）可知在上为增函数，所以.
即在上恒成立，
令，即成立即可.
由知，因为在上单调递增
则即.
综上所述：实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了抽象函数的函数值，单调性，根据单调性解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
2．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据同一函数的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义域为；
对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数.
故选：D.
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.
【详解】对于A：为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；
对于B：为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；
对于C：为一次函数，不是奇函数，不符合题意，故C错误；
对于D： 为奇函数；时， 为增函数，时， 为增函数，且该函数在R上为增函数，故D正确；
故选： D
4．设，下列说法中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可.
【详解】解：对于A，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于B，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确；
对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条件，故错误；
对于D，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确.
故选：C
5．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，
【详解】由题意可知恒成立．
①当时，恒成立；
②当时，，解得．
综上：．
故选：C
6．若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
7．定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的，有，则（ ）
A．f(3)
【解析】已知不等关系说明函数是减函数，再由偶函数得，然后由单调性可得大小关系．
【详解】∵对任意的，有，
∴在上是减函数．
∴，
∵是偶函数，∴
∴．
故选：A．
8．若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】先利用均值不等式求解的最小值，转化存在这样的x，y使不等式有解为，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，，
当且仅当，即时等号成立.
故若存在这样的x，y使不等式有解.
即或.
故选：A
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合，由可得，
则或或或，
当时，满足即可；
当时，需满足，解得：；
当时，需满足，解得：；
因为时有且只有一个根，所以.
所以的值可以为.
故选：ABD.
10．若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）
A．0B．1C．D．3
【答案】BC
【分析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.
【详解】当时，为增函数，
所以当时，也为增函数，
所以，解得.
故选：BC
【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.
11．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
【答案】ACD
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.
【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故A、C正确，B错误；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ACD
12．已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数性质得，即得，可判断A; ，根据单调性可得，即可判断B;先根据定义以及奇函数性质得，再根据函数单调性判断C; 根据定义以及奇函数性质得，即可判断D.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，因为，
所以，故A正确；
因为为定义在上的减函数，且，，
即.所以，故B不一定成立；
因为，所以，
所以，因为是定义在上的减函数，
所以，所以，即，故C正确；
因为，所以，，
所以，选项D错误.
故选：AC
【点睛】本题考查函数奇偶性以及单调性应用，考查基本分析判断能力，属中档题.
三、填空题
13．不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】根据一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解.
【详解】由不等式，可得，
则，解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
14．已知幂函数是上的增函数，则的值为 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．
【详解】由题意，是幂函数，
，解得或，
又是R上的增函数，
.
故答案为：3.
15．已知函数，且，则 ．
【答案】1
【分析】由已知可得,从而可求,然后代入即可求解.
【详解】解：,
,
,由,
则.
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.
四、双空题
16．记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 .
【答案】 2
【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，令，解得或；
令，解得；令，解得，
由图象知：当时，或或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：2，
五、解答题
17．已知集合.
（1）若，求、；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出再与集合B取交集；（2）根据并集的结果可得，分、两种情况进行讨论求解a的取值范围.
【详解】（1），，
（2），
①若；
②若.
综上所述，.
【点睛】本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题.
18．函数是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；
（2），有，解方程即可得解.
【详解】（1）令，则，
由，此时；
（2）由，，
所以，
解得或或（舍）.
19．某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】(1)
(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式.
（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.
【详解】（1）设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
（2）平均费用，
当且仅当，即时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
20．已知二次函数，，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设，结合进而可得的解析式；
（2），对称轴为，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.
【详解】（1）由已知函数是二次函数，且，
∴函数图象的对称轴为，
又，设，
又，∴．
∴；
（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，
若，则在上是减函数，最大值；
若，即，则在上是增函数，；
若，即，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
21．已知函数，.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并用单调性定义加以证明；
【答案】(1)奇函数；证明见解析；
(2)在上是单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据求得参数，结合奇偶性的定义，即可判断和证明；
（2）根据单调性的定义，即可判断和证明.
【详解】（1）因为，则，
为奇函数，证明如下：
其定义域为，关于原点对称，且，
故为奇函数.
（2）在上是单调递增函数.
证明如下：
设任意的满足，
，
∵，∴，
∴，即.
∴在上是单调递增函数.
22．已知定义域为的函数满足下列条件：对任意的实数都有：，当时，.
（1）求；
（2）求证：在为增函数；
（3）若，关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）取，计算得到答案.
（2）任取，则，得到，得到函数的单调性.
（3）化简得到在上恒成立，计算函数的最值得到答案.
【详解】（1）由题设令，恒等式可变为，解得.
（2）任取，则，由题设时，，可得，
，
，，
即，所以是上增函数；
（3）由已知条件有
所以
故原不等式可化为： ，即
由（1）可知，故不等式可化为；
由（2）可知在上为增函数，所以.
即在上恒成立，
令，即成立即可.
由知，因为在上单调递增
则即.
综上所述：实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了抽象函数的函数值，单调性，根据单调性解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
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