2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高一上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【分析】根据集合元素的互异性即可判断.

【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，

则，所以一定不是等腰三角形．

故选：D．

2．f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是（     ）

A．f(0)<f(6) B．f(3)>f(2) C．f(-1)<f(3) D．f(2)>f(0)

【答案】C

【分析】根据偶函数的性质可判断。

【详解】解：是偶函数，

，又，

故

“一定成立的”的选项为．

故选：．

【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由错误的认为在上单调递增，从而认为正确，属于中档题．

3．已知，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c.

故选A.

点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.

4．下列说法中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【解析】根据不等式的性质逐个判断可得答案.

【详解】对于A，当时，，故A不正确；

对于B，若，则，则，故B正确；

对于C，当时，不成立，故C不正确；

对于D，若，当时，有，故D不正确.

故选：B

5．函数（，且）是上增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】单调递增需要每一段函数单调递增并且在的左端点值大于等于在的右端点值，即可求出答案.

【详解】在时为增函数，若为上的增函数，

只需也是增函数且，

即进而解得．

故选：B．

6．若指数函数（且）的图象恒过定点，且点在线段上，则的最小值为（    ）

A． B． C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据指数函数恒过定点得，再代入，在巧用“一”和基本不等式，即可求出答案

【详解】由题意得：，代入直线得，

，当且仅当时取等号

故选：D．

7．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，

那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（    ）

A．（-1，2） B．（1，4）

C．（-∞，1]∪[4，+∞） D．（-∞，-1]∪[2，+∞）

【答案】D

【分析】不等式可以变形为，再根据函数

是上的增函数得，解出x的范围就即可．

【详解】不等式可变形为，

∵，是函数图象上的两点，∴，，

∴等价于不等式，

又因为函数是上的增函数，

∴等价于，

解得，

∴不等式的解集为：，

∴其补集为：．

故选：D．

8．已知函数，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据条件找出之间的关系式，然后消去一个元后运用基本不等式可得.

【详解】由题意不妨设，则，

，，．当且仅当时取等号，

故

故选：A．

二、多选题

9．指数函数①；②且满足，则它们可能的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由指数函数图像的性质即可求出答案.

【详解】据指数函数图像性质，时选A，

时选D，

时图像如图．

故选：AD.

10．若函数（，且）的图像不经过第二象限，则需同时满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】根据指数型函数的图像分布，列式可解得.

【详解】因为函数 (,且)的图像不经过第二象限，即可知图像过第 一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示：

由图像可知函数为增函数，所以，

当时，，

故选：AD.

【点睛】本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题.

11．给出下面四个推断，其中正确的为（    ）.

A．若，则；

B．若则；

C．若，，则；

D．若，，则.

【答案】AD

【分析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B，C错误.

【详解】解：对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确；

对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；

对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；

对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，

即四个推段中正确的为AD，

故答案为AD.

【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.

12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】BD

【解析】对于ABC：通过解方程可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.

【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，

对于A：当时，该方程无解，故A不满足；

对于B：当，时，解得，故B满足；

对于C：当，即时，无实数根，故C不满足；

对于D；画出与的图象显然有交点，即存在一个点，使得，故D满足；

综上，BD均满足.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.

三、填空题

13．___________．

【答案】0

【分析】利用指数与对数运算法则运算即可.

【详解】．

故答案为：0

14．函数的定义域为___________．

【答案】

【分析】由题意需满足，解出即可.

【详解】可看出，要使得有意义，需满足，即

解得且，即的定义域为．

故答案为：.

15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：

李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．

【答案】5712

【解析】先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．

【详解】解：专项扣除总额为：元，

应纳税所得额为：元，

个税税额为：元，

故答案为：5712．

四、双空题

16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知．

（1）若在上的最大值为，最小值为，则___________；

（2）若，，则函数的对称中心为___________．

【答案】         

【分析】(1)根据奇函数在对称区间内的最大值与最小值互为相反数即可求解；(2)结合的解析式和对称中心的充要条件即可求解.

【详解】（1）在上为奇函数，在上，，

；

(2)法一：由（1）知，为奇函数，所以对称中心，

所以函数的对称中心中为．

法二：

在上为奇函数，所以，

所以函数的对称中心为．

故答案为：；.

五、解答题

17．已知，．

(1)若，求；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式确定集合，然后由交集定义计算；

（2）根据并集结论得，然后由包含关系得参数范围．

【详解】（1）若则，

，

（2），

又，

，解得

的取值范围为．

18．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元．

(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））

(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？

【答案】(1)．

(2)0.6元．

【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可；

（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可.

【详解】（1）设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，

电力部门的收益为；

（2）依题意有，

整理得，

解此不等式组得．

答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．

19．设函数．

(1)求的定义域并判断的奇偶性；

(2)求的值．

【答案】(1)且，偶函数

(2)

【分析】（1）利用具体函数定义域的求法可得的定义域，再利用函数奇偶性的判断方法判断即可；

（2）根据的解析式推得，从而求得所求结果.

【详解】（1）因为，所以，即且，

所以函数的定义域为且，

所以的定义域关于原点对称，

又，

所以为偶函数.

（2）因为，

所以

故．

20．已知函数是偶函数，且当时，(，且).

（1）求当时的的解析式；

（2）在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）根据函数为偶函数，当时，由即可求出；

（2）若选①，根据复合函数的单调性可知，，由此解出的范围，再根据指数函数在上单调递减，即可求出的取值范围；

若选②，先讨论与的关系，当时，易知，所以可得，

而与都是偶函数，所以只需在上，根据单调性即可求出．

【详解】（1）当时，，又是偶函数，则，

即.

（2）选条件①的解析：由于在上单调递增，显然不合题意，

则，此时的取值范围是.

选条件②的解析：若，则，显然不合要求.

当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时即可．由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，而在上单调递增的，所以在上单调递减．

则，此时的取值范围是.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数型复合函数的单调性的应用，以及指数函数单调性的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．

知识点睛：复合函数的单调性一般遵循“同增异减”的原则，即内外函数在某区间上单调性一致，则此函数在该区间上单调递增，内外函数在某区间上单调性不一致，则此函数在该区间上单调递减．

21．已知函数是奇函数．

(1)求的值，判断的单调性并用定义证明之；

(2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，递增函数，证明见解析

(2)

【分析】(1)利用奇函数的性质以及单调性的定义即可求解、证明；(2)根据奇函数、增函数即可解不等式，再根据一元二次不等式恒成立求解.

【详解】（1）显然函数的定义域是，

据题意有，得，即，

此时满足题意．

，

由此可判断出是上的递增函数．

以下用定义证明：，且，则，

所以，

即，故是上的递增函数．

（2）是奇函数，由已知可得，

所以，则，

，故，．

实数的取值范围为．

22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．

(1)判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由；

(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；

(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．

【答案】(1)是“依赖函数”，理由见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；

（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；

（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.

【详解】（1）是“依赖函数”，对于函数的定义域内任意，若，则，

对任意，都有唯一的（的倒数）使得等式成立，故是“依赖函数”.

（2）因为在递增，

故，即，，

由，故，得，

从而在上单调递增，故.

（3）①若，则在上最小值为0，此时不满足依赖函数定义，舍去；

②若，则在上单调递减，从而，解得（舍）或，

从而，存在，使得对任意的，有不等式恒成立，即恒成立，

由，得，

由，使能成立，

又在单调递减，

故当时，，

从而，解得．

故实数的最大值为．