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2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集定义直接得结果.
【详解】，
故选：D.
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】直接根据特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知：命题“，”的否定是“，”.
故选：C
3．下列运算中计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算法则即可求解.
【详解】根据指数幂的乘法法则可知，故A选项错误；
根据指数幂的除法法则可知，故B选项错误；
根据指数幂的乘方法则可知，故C选项错误，
根据指数幂的运算，故正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了指数幂的运算法则，属于容易题.
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充要条件的定义判断即可.
【详解】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分条件；由，不能够推出，故“”是“”的不必要条件；
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．1935年美国物理学家、地震学家里克特，为了解决大尺度问题的压缩，设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，．请问9.0级地震释放的能量是3.0级地震的约多少倍？（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实际问题分别计算9.0级地震释放的能量和3.0级地震释放的能量，结合对数运算性质，作比得答案.
【详解】解：9.0级地震释放的能量为，则
3.0级地震释放的能量为，则
所以，，则.
故选：D.
6．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.
【详解】函数是上的增函数，则在上单调递增，故，
此时满足函数在上也是单调递增；
最后，只需在处满足，
综上：的取值范围是.
故选：D
7．已知，均为正数，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】将变形为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可.
【详解】，均为正数，因为，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故选：C.
8．已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设集合，，利用，若，求出，，即可求出实数的取值范围．
【详解】解：设集合，，
则由，，
，
，，
，
，
，
且，
．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、多选题
9．已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】根据已知得出.分以及讨论，即可得出答案.
【详解】由可得，.
当时，满足，此时；
当时，，
解可得，.
因为，所以或.
当时，；
当时，.
综上所述，或或.
故选：BCD.
10．已知函数，满足的的值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设，则，再分别计算即可求出参数的值；
【详解】解：设，则
若，则，解得或（舍去），所以，当时，方程无解；当时，，解得或，满足条件；
若时，，即，，方程无解，
故选：AD
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
11．下列不等式正确的有（ ）
A．当，B．当，
C．）最小值等于4D．函数最小值为.
【答案】AD
【解析】对于A，D利用基本不等式判断，对于B，举反例即可判断，对于C，利用对勾函数的性质判断即可
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以A正确；
对于B，当时，，所以B错误；
对于C，因为函数在单调递减，所以，所以C错误；
对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以D正确，
故选：AD
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”，属于基础题
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为4B．是函数的一条对称轴
C．时，D．
【答案】ABD
【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．
【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；
对于C、D，∵当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则
【答案】3
【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算．
【详解】设，则，，即，
∴．
故答案为：3.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】只需解不等式组即可.
【详解】，
，解得，且.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据不等式的解集求得和，和的关系式，由此化简不等式，进而求得不等式的解集.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，且1，3是方程的两根，
所以，所以，
所以在关于x的不等式的两边同除以a，得，
所以不等式变为，即，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．已知函数，若对任意的，且成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】不妨设，则不等式可变为，令，从而可得出函数在上的单调性，再分和两种情况讨论，结合二次函数的单调性即可得解.
【详解】解：不妨设，
则不等式，
即为，即，
令，
则，
所以函数在上递减，
当时，在上递减，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．设全集为，，．
(1)求；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据并集与补集的定义，计算即可；
（2）根据A∩C=A知A⊆C，列出不等式组求出实数a的取值范围．
【详解】（1）全集为，，，
，
；
（2），且，知，
由题意知，，解得，
实数的取值范围是．
【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
18．求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解；
（2）利用对数的运算性质求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
五、证明题
19．已知，.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)用定义证明：函数在上是增函数.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得是奇函数.
（2）根据函数单调性的定义求得，由此证得函数在上是增函数.
【详解】（1）函数是定义域上的奇函数，理由如下，
定义域关于原点对称，
又，
所以是定义域上的奇函数.
（2）设为区间上的任意两个值，且，
则，
因为，所以，，
即，，
所以函数在上是增函数.
六、解答题
20．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，由恒等式知识和函数值的定义列方程组求得，得函数解析式；
（2）不等式变形后，按两根大小分类讨论可得不等式解集．
【详解】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，，；
（2）由可知： （a>0）
，
①=2时，即a=，原不等式即为：，所以；
②<2时，即a>，原不等式解集为；
③2<时，即0，原不等式解集为．
21．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值；
(2)若，，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为即和是方程为的两个实数根，结合，即可求解；
（2）由（1）得，则，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数的值域为，可得，即，
则不等式，即为的解集为，
即和是方程为的两个实数根，
所以，解得.
（2）解：由（1）得，则，
因为且，所以且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
22．俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.
(1)若，，求函数与的“偏差”；
(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.
【答案】(1)；
(2)时，函数与的“偏差”取得最小值为
【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差；
（2）令，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”.
【详解】（1），
因为，所以，
则，
所以函数与的“偏差”为.
（2）令，
，
因为，所以，，
当，即时，此时，
则的“偏差”为，此时，
当，即时，此时，
则“偏差”为，此时，无最小值，
当，，且，
即时，则“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，且，
即时，则的“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，且，
即时，则的“偏差”为，此时，
当，，即时，
则的“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，即时，
则的“偏差”为，此时，
综上， 时，函数与的“偏差”取得最小值为.
【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，解决此类问题，一般需要结合函数的性质进行分类讨论.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集定义直接得结果.
【详解】，
故选：D.
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】直接根据特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知：命题“，”的否定是“，”.
故选：C
3．下列运算中计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算法则即可求解.
【详解】根据指数幂的乘法法则可知，故A选项错误；
根据指数幂的除法法则可知，故B选项错误；
根据指数幂的乘方法则可知，故C选项错误，
根据指数幂的运算，故正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了指数幂的运算法则，属于容易题.
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充要条件的定义判断即可.
【详解】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分条件；由，不能够推出，故“”是“”的不必要条件；
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．1935年美国物理学家、地震学家里克特，为了解决大尺度问题的压缩，设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，．请问9.0级地震释放的能量是3.0级地震的约多少倍？（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实际问题分别计算9.0级地震释放的能量和3.0级地震释放的能量，结合对数运算性质，作比得答案.
【详解】解：9.0级地震释放的能量为，则
3.0级地震释放的能量为，则
所以，，则.
故选：D.
6．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.
【详解】函数是上的增函数，则在上单调递增，故，
此时满足函数在上也是单调递增；
最后，只需在处满足，
综上：的取值范围是.
故选：D
7．已知，均为正数，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】将变形为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可.
【详解】，均为正数，因为，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故选：C.
8．已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设集合，，利用，若，求出，，即可求出实数的取值范围．
【详解】解：设集合，，
则由，，
，
，，
，
，
，
且，
．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、多选题
9．已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】根据已知得出.分以及讨论，即可得出答案.
【详解】由可得，.
当时，满足，此时；
当时，，
解可得，.
因为，所以或.
当时，；
当时，.
综上所述，或或.
故选：BCD.
10．已知函数，满足的的值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设，则，再分别计算即可求出参数的值；
【详解】解：设，则
若，则，解得或（舍去），所以，当时，方程无解；当时，，解得或，满足条件；
若时，，即，，方程无解，
故选：AD
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
11．下列不等式正确的有（ ）
A．当，B．当，
C．）最小值等于4D．函数最小值为.
【答案】AD
【解析】对于A，D利用基本不等式判断，对于B，举反例即可判断，对于C，利用对勾函数的性质判断即可
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以A正确；
对于B，当时，，所以B错误；
对于C，因为函数在单调递减，所以，所以C错误；
对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以D正确，
故选：AD
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”，属于基础题
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为4B．是函数的一条对称轴
C．时，D．
【答案】ABD
【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．
【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；
对于C、D，∵当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则
【答案】3
【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算．
【详解】设，则，，即，
∴．
故答案为：3.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】只需解不等式组即可.
【详解】，
，解得，且.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据不等式的解集求得和，和的关系式，由此化简不等式，进而求得不等式的解集.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，且1，3是方程的两根，
所以，所以，
所以在关于x的不等式的两边同除以a，得，
所以不等式变为，即，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．已知函数，若对任意的，且成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】不妨设，则不等式可变为，令，从而可得出函数在上的单调性，再分和两种情况讨论，结合二次函数的单调性即可得解.
【详解】解：不妨设，
则不等式，
即为，即，
令，
则，
所以函数在上递减，
当时，在上递减，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．设全集为，，．
(1)求；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据并集与补集的定义，计算即可；
（2）根据A∩C=A知A⊆C，列出不等式组求出实数a的取值范围．
【详解】（1）全集为，，，
，
；
（2），且，知，
由题意知，，解得，
实数的取值范围是．
【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
18．求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解；
（2）利用对数的运算性质求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
五、证明题
19．已知，.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)用定义证明：函数在上是增函数.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得是奇函数.
（2）根据函数单调性的定义求得，由此证得函数在上是增函数.
【详解】（1）函数是定义域上的奇函数，理由如下，
定义域关于原点对称，
又，
所以是定义域上的奇函数.
（2）设为区间上的任意两个值，且，
则，
因为，所以，，
即，，
所以函数在上是增函数.
六、解答题
20．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，由恒等式知识和函数值的定义列方程组求得，得函数解析式；
（2）不等式变形后，按两根大小分类讨论可得不等式解集．
【详解】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，，；
（2）由可知： （a>0）
，
①=2时，即a=，原不等式即为：，所以；
②<2时，即a>，原不等式解集为；
③2<时，即0，原不等式解集为．
21．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值；
(2)若，，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为即和是方程为的两个实数根，结合，即可求解；
（2）由（1）得，则，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数的值域为，可得，即，
则不等式，即为的解集为，
即和是方程为的两个实数根，
所以，解得.
（2）解：由（1）得，则，
因为且，所以且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
22．俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.
(1)若，，求函数与的“偏差”；
(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.
【答案】(1)；
(2)时，函数与的“偏差”取得最小值为
【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差；
（2）令，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”.
【详解】（1），
因为，所以，
则，
所以函数与的“偏差”为.
（2）令，
，
因为，所以，，
当，即时，此时，
则的“偏差”为，此时，
当，即时，此时，
则“偏差”为，此时，无最小值，
当，，且，
即时，则“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，且，
即时，则的“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，且，
即时，则的“偏差”为，此时，
当，，即时，
则的“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，即时，
则的“偏差”为，此时，
综上， 时，函数与的“偏差”取得最小值为.
【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，解决此类问题，一般需要结合函数的性质进行分类讨论.
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