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2023-2024学年福建省三明第一中学高一上学期期中质量检测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年福建省三明第一中学高一上学期期中质量检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2．函数的零点为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】利用零点的定义求解.
【详解】令，解得，
故选:C.
3．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，结合对数的运算，即可求解.
【详解】由函数，可得.
故选：B.
4．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再由函数单调性及奇偶性判断即得.
【详解】由函数的图象过点，得，而且，解得，
函数定义域为，显然是偶函数，
当时，在上单调递增，选项BCD不符合，A符合.
故选：A
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数在定义域为单调递增函数，
因为，可得，
由对数函数的性质，可得，所以.
故选：D.
6．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数型复合函数的单调性求解.
【详解】设，
因为函数在区间上单调递减，
所以根据复合函数的单调性可得，
函数在区间上单调递减，
所以，解得，
故选：C.
7．已知偶函数的定义域为，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性的定义，可得在上单调递增，再结合偶函数的性质，将原不等式转化为，解之即可．
【详解】因为对任意都有
所以函数在上单调递增，
又为偶函数，所以函数在上单调递减，
因为，
所以等价于，即或，
解得或，
所以不等式的解为．
故选：A．
8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．39分钟B．41分钟C．43分钟D．45分钟
【答案】B
【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.
【详解】由题知，，，
，
，
，
，
.
故选：B.
二、多选题
9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，.下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4D．精确到0.1的近似值为1.5
【答案】BC
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】是增函数，因为，，
所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.40625精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误.
故选：BC
10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据幂函数、对数函数的性质一一判断求解.
【详解】对A，是奇函数，在上单调递增，A正确；
对B，是奇函数，但在和上单调递减，B错误；
对C，是奇函数，在上单调递增，C正确；
对D，的定义域为，D错误；
故选：AC.
11．下列描述中，正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】对于选项A,B,利用逻辑用语的相关知识进行判断即可;
对于选项C,D,利用不等式的做差法和基本不等式判断即可.
【详解】对于选项A：命题“”的否定是“，故A错误；
对于选项B：，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，故B正确；
对于选项C：因为，所以；，所以，故C正确；
对于选项D：因为，利用基本不等式易说明：，，，所以，故D错误；
故选：BC.
12．已知函数，若方程有四个不等实根（），则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．最小值为2
【答案】AC
【分析】利用二次函数和函数的图像得出的图像，利用图像，结合条件，得到，，从而判断出选项A和B的正误；选项C，利用，得到，再利用，化简即可得到选项C正确；选项D，利用，，得到，再利用基本不等式和的范围，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为，易知，单调递减区间为和，单调递增区间为和，
其图像如图所示，因为方程有四个不等实根，
由图易知，，，
由二次函数的对称性得，
又，即，得到，所以，故选项A正确，选项B错误；
选项C，因为，，两式相加得，
即，又，得到，所以，故选项C正确；
选项D，，
当且仅当，即时取等号，又易知，所以取不到等号，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．函数(且)的图象恒过定点 .
【答案】
【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；
【详解】因为函数 (且)，
令，可得，即函数恒过点.
故答案为：
14．已知函数与函数互为反函数， .
【答案】
【分析】根据对数函数与指数函数的关系，求得，进而得到的值.
【详解】根据对数函数与指数函数的关系得：函数的反函数为，
即函数，所以.
故答案为：.
四、双空题
15．设为定义在上的奇函数，且当时，，则 ；当时， .
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，结合题意即可求解.
【详解】根据奇函数的定义；
当时，，.
故答案为：；.
五、填空题
16．已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.
对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，
是偶函数，所以.
因为，
所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，
因此将不等式整理得：
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立；
所以
所以
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
六、解答题
17．求值：
(1)
(2).
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）根据对数的运算求解；
（2）根据指数幂和根式的运算求解.
【详解】（1）.
（2）.
18．设函数的定义域为的定义域为.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式的意义列不等式即可得函数的定义域；
（2）根据对数函数的性质得集合，再根据，列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，即，
解得，
即
（2）根据题意
因为，所以，则，即，
因为，所以，解得，又，所以，
即实数的取值范围是
19．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.
【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数.
（2）由题意可得，解得，
所以.
令，解得.
故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个.
20．已知幂函数，函数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求得，得到，求得，结合函数奇偶性的定义，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：函数是定义域上的奇函数
证明：由函数，可得，解得，故，
所以，定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数是定义域上的奇函数.
（2）解：由，解得或，
当时，可得在上为单调递减函数，不符合题意；
当时，可得在上为单调递增函数，符合题意，故，
此时，可得其对称轴为，
当时，函数在单调递减，；
当时，函数在单调递减，在单调递增，；
当时，函数在单调递增，，
综上所述，当时，；
当时，；当时，.
21．已知函数.
(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)若方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明；
（2）利用函数与方程的关系，结合指数函数的性质求解.
【详解】（1）判断:函数在上单调递减,
证明：设
.
,
,
所以函数在上单调递减.
（2）依题只有一个实数解.
与函数图象只有一个交点.
令.
在单调递增.
.
.
所以实数的取值范围是；
22．已知．
(1)求函数在的最小值．
(2)对于任意，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法将表达式写成，再由对勾函数性质即可求得函数在的最小值为2；
（2）根据题意可得对于任意成立，，根据对数函数意义可限定；将不等式化简变形可得对于任意成立，即任意成立，解得.
【详解】（1）令，则，故．
由对勾函数性质可知：在上单调递增。
又由复合函数性质可知：在上单调递增。
故．
即函数在的最小值为2；
（2）由（1）知，函数在上为增函数，
当时，，
由于对于，使得成立，
所以对于任意成立，
即对于任意成立，
易知，对于任意成立，则，
由，可得，所以．
式可化为，
即对于任意成立，即成立，
即对于任意成立，
因为，所以对于任意成立，
即任意成立，所以，
又可得，
所以的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式.
2
3
4
5
6
8
4
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2．函数的零点为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】利用零点的定义求解.
【详解】令，解得，
故选:C.
3．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，结合对数的运算，即可求解.
【详解】由函数，可得.
故选：B.
4．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再由函数单调性及奇偶性判断即得.
【详解】由函数的图象过点，得，而且，解得，
函数定义域为，显然是偶函数，
当时，在上单调递增，选项BCD不符合，A符合.
故选：A
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数在定义域为单调递增函数，
因为，可得，
由对数函数的性质，可得，所以.
故选：D.
6．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数型复合函数的单调性求解.
【详解】设，
因为函数在区间上单调递减，
所以根据复合函数的单调性可得，
函数在区间上单调递减，
所以，解得，
故选：C.
7．已知偶函数的定义域为，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性的定义，可得在上单调递增，再结合偶函数的性质，将原不等式转化为，解之即可．
【详解】因为对任意都有
所以函数在上单调递增，
又为偶函数，所以函数在上单调递减，
因为，
所以等价于，即或，
解得或，
所以不等式的解为．
故选：A．
8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．39分钟B．41分钟C．43分钟D．45分钟
【答案】B
【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.
【详解】由题知，，，
，
，
，
，
.
故选：B.
二、多选题
9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，.下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4D．精确到0.1的近似值为1.5
【答案】BC
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】是增函数，因为，，
所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.40625精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误.
故选：BC
10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据幂函数、对数函数的性质一一判断求解.
【详解】对A，是奇函数，在上单调递增，A正确；
对B，是奇函数，但在和上单调递减，B错误；
对C，是奇函数，在上单调递增，C正确；
对D，的定义域为，D错误；
故选：AC.
11．下列描述中，正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】对于选项A,B,利用逻辑用语的相关知识进行判断即可;
对于选项C,D,利用不等式的做差法和基本不等式判断即可.
【详解】对于选项A：命题“”的否定是“，故A错误；
对于选项B：，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，故B正确；
对于选项C：因为，所以；，所以，故C正确；
对于选项D：因为，利用基本不等式易说明：，，，所以，故D错误；
故选：BC.
12．已知函数，若方程有四个不等实根（），则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．最小值为2
【答案】AC
【分析】利用二次函数和函数的图像得出的图像，利用图像，结合条件，得到，，从而判断出选项A和B的正误；选项C，利用，得到，再利用，化简即可得到选项C正确；选项D，利用，，得到，再利用基本不等式和的范围，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为，易知，单调递减区间为和，单调递增区间为和，
其图像如图所示，因为方程有四个不等实根，
由图易知，，，
由二次函数的对称性得，
又，即，得到，所以，故选项A正确，选项B错误；
选项C，因为，，两式相加得，
即，又，得到，所以，故选项C正确；
选项D，，
当且仅当，即时取等号，又易知，所以取不到等号，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．函数(且)的图象恒过定点 .
【答案】
【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；
【详解】因为函数 (且)，
令，可得，即函数恒过点.
故答案为：
14．已知函数与函数互为反函数， .
【答案】
【分析】根据对数函数与指数函数的关系，求得，进而得到的值.
【详解】根据对数函数与指数函数的关系得：函数的反函数为，
即函数，所以.
故答案为：.
四、双空题
15．设为定义在上的奇函数，且当时，，则 ；当时， .
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，结合题意即可求解.
【详解】根据奇函数的定义；
当时，，.
故答案为：；.
五、填空题
16．已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.
对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，
是偶函数，所以.
因为，
所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，
因此将不等式整理得：
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立；
所以
所以
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
六、解答题
17．求值：
(1)
(2).
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）根据对数的运算求解；
（2）根据指数幂和根式的运算求解.
【详解】（1）.
（2）.
18．设函数的定义域为的定义域为.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式的意义列不等式即可得函数的定义域；
（2）根据对数函数的性质得集合，再根据，列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，即，
解得，
即
（2）根据题意
因为，所以，则，即，
因为，所以，解得，又，所以，
即实数的取值范围是
19．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.
【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数.
（2）由题意可得，解得，
所以.
令，解得.
故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个.
20．已知幂函数，函数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求得，得到，求得，结合函数奇偶性的定义，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：函数是定义域上的奇函数
证明：由函数，可得，解得，故，
所以，定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数是定义域上的奇函数.
（2）解：由，解得或，
当时，可得在上为单调递减函数，不符合题意；
当时，可得在上为单调递增函数，符合题意，故，
此时，可得其对称轴为，
当时，函数在单调递减，；
当时，函数在单调递减，在单调递增，；
当时，函数在单调递增，，
综上所述，当时，；
当时，；当时，.
21．已知函数.
(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)若方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明；
（2）利用函数与方程的关系，结合指数函数的性质求解.
【详解】（1）判断:函数在上单调递减,
证明：设
.
,
,
所以函数在上单调递减.
（2）依题只有一个实数解.
与函数图象只有一个交点.
令.
在单调递增.
.
.
所以实数的取值范围是；
22．已知．
(1)求函数在的最小值．
(2)对于任意，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法将表达式写成，再由对勾函数性质即可求得函数在的最小值为2；
（2）根据题意可得对于任意成立，，根据对数函数意义可限定；将不等式化简变形可得对于任意成立，即任意成立，解得.
【详解】（1）令，则，故．
由对勾函数性质可知：在上单调递增。
又由复合函数性质可知：在上单调递增。
故．
即函数在的最小值为2；
（2）由（1）知，函数在上为增函数，
当时，，
由于对于，使得成立，
所以对于任意成立，
即对于任意成立，
易知，对于任意成立，则，
由，可得，所以．
式可化为，
即对于任意成立，即成立，
即对于任意成立，
因为，所以对于任意成立，
即任意成立，所以，
又可得，
所以的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式.
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