2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合与集合，再由交集运算求解即可.
【详解】对于集合，由得，所以，
对于集合，因为，所以，解得，
所以，所以.
故选：B.
2．化简：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】.
故选：A.
3．已知，，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-5
【答案】B
【分析】构造，得到为奇函数，求出，进而得到，求出.
【详解】设，定义域为，
则，
故为奇函数，
又，则，
所以.
故选：B
4．“”是“函数的图象与x轴只有一个公共点”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】考虑和两种情况，计算得到，根据范围大小得到答案.
【详解】当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，满足；
当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，则，解得，
综上所述：或.
故选：B
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系.
【详解】因为在R上单调递减，，
所以，故，
，故.
故选：C
6．已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质分析求解.
【详解】因为函数是上的增函数，则，
解得，即，即的取值范围是.
故选：D
7．已知实数，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题.
8．已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案.
【详解】，即，
故函数在上单调递增，是上的奇函数，
故是上的偶数，
，，.
，故.
故选：A
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，在单调递减，故A正确；
因为为奇函数，故B错误；
因为为偶函数，令，则
，
因为，则，，所以，
则，所以在上单调递增，故C正确；
因为为偶函数，由反比例函数的单调性可知在上单调递减，故D错误；
故选：AC
10．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分和三种情况讨论，结合对勾函数的单调性确定复合函数单调性判断即可.
【详解】当时，，则选项C符合；
当，故排除D；
当时，的定义域为，
当时，当且仅当时取等号，
由于在为减函数，为增函数，
则函数在上为增函数，在为减函数，
是奇函数，
则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合；
当时，的定义域为，
当，，由于在，为增函数，
则在，为减函数，
是奇函数，
则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合.
故选：ABC.
11．已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.
【详解】对于A，因为，所以，所以，
不存在正数，使得成立，故函数不是“有界函数”.
对于B，，
因为，所以，
存在正数，使得成立，故函数是“有界函数”.
对于C，，因为，所以，
所以，所以，所以，即，
存在正数，使得成立，故函数是“有界函数”.
对于D，令，则，
当即时，等号成立，即，
所以，不存在正数，使得成立，
故函数不是“有界函数”.
故选：BC.
12．定义在上的函数满足如下条件：①，②当时，；则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．在上单调递减D．不等式的解集为
【答案】AD
【分析】利用特值法可判断A选项，利用反证法可判断B选项，利用定义法判断单调性可判断C选项，再根据单调性解不等式判断D选项.
【详解】A选项：由，
令，则，
解得，A选项正确；
B选项：对于，，
令，则，
假设成立，则，
所以，
又当时，，即不恒为，
则，与矛盾，
所以假设不成立，B选项错误；
C选项：设，，且，，
则，，
又，
所以，
所以函数在上单调递增，C选项错误；
D选项：，即，
所以，
由函数的定义域可知，又函数在上单调递增，
所以，
解得或（舍），D选项正确；
故选：AD.
三、填空题
13．若幂函数在上单调递减，则 .
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意.
当时，，在上递增，不符合题意.
所以的值为.
故答案为：
14．函数的单调增区间为 .
【答案】或二选一
【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.
【详解】函数的定义域为R，
函数在上单调递增，在单调递减，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数的单调递增区间是（或二选一）.
故答案为：或二选一
15．，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分离参数得到恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解.
【详解】，不等式恒成立，即在上恒成立，
所以，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，所以当时，有最大值，
所以.即实数的取值范围为.
故答案为：
16．设函数存在最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》
【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；
②当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
若，则不存在最小值，故，解得.
此时满足题设；
④当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
因为，所以，
因此不存在最小值.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.
四、解答题
17．若，求下列各式的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将平方化简得解；
（2）利用完全平方式结合已知得，然后利用立方差公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，解得；
（2）因为，所以，
因为，所以.
所以.
18．（1）已知实数满足，求的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，，结合可加性求解；
（2）由，结合不等式的性质求解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以的取值范围是．
（2）设
则，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
即.
19．设函数，已知不等式的解集为．
(1)求不等式的解集；
(2)若定义在区间D上的函数对于区间D上任意都有不等式成立，则称函数在区间D上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：在R上是凸函数．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）转化为和2是方程的根，由韦达定理得到，从而解一元二次不等式，得到答案；
（2）在（1）的基础上得到，作差法计算出，得到结论.
【详解】（1）由题意知，和2是方程的根．
由韦达定理知，解得．
所以不等式可化为．
解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由（1）知，代入，
根据凸函数的定义，我们有
∴，
∴在R上是凸函数．
20．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
21．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值，判断的单调性并用定义证明；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，函数在定义域上单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数在上为减函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由函数的单调性与奇偶性分析可知，存在，成立，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意，得，所以，
当时，，
则，则为奇函数，合乎题意，
故．
函数在定义域上单调递减，证明如下：
任取、且，则，
所以，，
所以，，故函数在定义域上单调递减.
（2）解：由，得．
因为是奇函数，所以，
由（1）知在上为减函数，所以，
即存在，成立，
令，其图象对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，故，即．
22．定义：对于函数，当时，值域为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“倒值映射区间”；
(3)求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）利用奇函数的性质求得在上的解析式，结合，从而求解函数的解析式；
（2）根据函数在上的单调性建立方程组求解即可；
（3）根据区间的定义知，分和讨论，分析函数的单调性，建立方程组求解即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，
当时，则，
又是奇函数，则，
所以.
（2）设，函数，
因为在上递减，且在上的值域为，
所以，解得，
所以函数在内的“倒值映射区间”为.
（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，所以，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，
则，由（2）知，此时的“倒值映射区间”为；
②当时，可知因为函数在上单调递减，上单调递增，
故当时，，则，所以，，
当在上递减，
且在上的值域为，所以，解得，
所以的“倒值映射区间”为；
综上，函数在定义域内的“倒值映射区间”为和.