长治市上党区第一中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份长治市上党区第一中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知数列满足,,则( )
A.B.C.D.
2、已知函数,则( )
A.B.C.D.
3、《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说,中国古典四大名著之一,《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社.诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭;醉飞吟盏於帘杏溪桃,作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉.”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨,若这8人排成一排进入大观园,且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻,则不同的排法种数有( )
A.1440B.2400C.14400D.86400
4、有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛,则在甲的名次比乙高的条件下,甲、乙两人名次相邻的概率为( )
A.B.C.D.
5、若角的终边经过点,则( )
A.B.C.D.
6、某班开展阅读比赛,老师选择了5本不同的课外书,要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书,每天至少选一本阅读,选择的课外书当天需阅读完,则不同的选择方式有( )
A.540种B.300种C.210种D.150种
7、已知数列满足,,设数列的前n项和为,若,则k的最小值是( )
A.16B.17C.18D.19
8、已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
9、已知直线l与直线平行,且与圆相切,则直线l的方程是( )
A.B.
C.D.
10、若,则( )
A.B.
C.D.
11、已知是数列的前n项和,,,,则( )
A.
B.数列等比数列
C.
D.
12、已知函数的两个极值点分别是,,则( )
A.或
B.
C.存在实数a,使得
D.
二、填空题
13、有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%,现从这批产品中任取一件,则取到次品的概率为______.
14、如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,DC边上,且,,若,,,则______.
15、若曲线与曲线在公共点处有相同的切线,则实数_________.
16、过抛物线的焦点F作直线PQ,MN分别与抛物线C交于P,Q和M,N,若直线PQ,MN的斜率分别为,,且满足,则的最小值为______.
三、解答题
17、在的展开式中,第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
（1）求n的值;
（2）求的展开式中的常数项.
18、如图,在直四棱柱中,底面ABCD是正方形,,E为的中点.
（1）证明：CE平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19、为丰富师生的课余文化生活,倡导“每天健身一小时,健康生活一辈子”,深入开展健身运动,增强学生的身体素质和团队的凝聚力,某中学将举行趣味运动会.某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏,其中男同学4名,女同学4名.按照游戏规则,每班只能选4名同学参加这个游戏,因此要从这8名报名的同学中随机选出4名.
（1）求选出的4名同学中有男生的概率;
（2）记选出的4名同学中女同学的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
20、在数列中,,,
（1）证明：是等比数列;
（2）若数列的前n项和,,求数列的前n项和.
21、在平面直角坐标系xOy中,,,M为平面xOy内的一个动点,且,线段AM的垂直平分线交BM于点N,设点N的轨迹是曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）设动直线与曲线C有且只有一个公共点P,且与直线相交于点Q,问是否存在定点H,使得以PQ为直径的圆恒过点H?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
22、已知函数,（,e为自然对数的底数）.
（1）求函数的极值;
（2）若对,恒成立,求的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：,,.
故选:C.
2、答案：A
解析：.
故选：A.
3、答案：C
解析：不相邻问题用插空法,先将其他5人排好,有种不同的排法,再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中,有种不同的排法,所以有（种）不同的排法.
故选：C.
4、答案：A
解析：甲的名次比乙高,
当甲第一名时,乙有5种位置,其中甲乙相邻有1种情况,
当甲第二名时,乙有4种位置,其中甲乙相邻有1种情况,
当甲第三名时,乙有3种位置,其中甲乙相邻有1种情况,
当甲第四名时,乙有2种位置,其中甲乙相邻有1种情况,
当甲第五名时,乙有1种位置,其中甲乙相邻有1种情况,
所以甲的名次比乙高共有种情况,
甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况,
所以在甲的名次比乙高的条件下,甲、乙两人名次相邻的概率为.
故选：A.
5、答案：C
解析：根据角的终边经过点,得,
又,
故选:C.
另解：根据三角函数的定义,得,,
所以,
所以,
故选：C.
6、答案：D
解析：先将每天读书的本数分组,有1,2,2和3,1,1两种分组方案,
当按1,2,2分组时,有种方法,
当按按3,1,1分组时,有种方法,所以不同的选择方式有种.
故选：D.
7、答案：B
解析：,,数列是以1为首项,3为公差的等差数列,
,则,
,
,
由得：,解得：,又,.
故选：B.
8、答案：C
解析：因为函数与的图像上恰有两对关于x轴对称的点,
所以,即有两解,所以有两解,
令,则,
所以当时,,此时函数在上单调递增;
当时,,函数在上单调递减,
所以在处取得极大值,,
且时,的值域为,时,的值域为,
因此有两解时,实数a的取值范围为,
故选：C.
9、答案：AC
解析：由圆的方程可知：圆心,半径;设直线,
则圆心C到直线l的距离,解得：或,
直线l的方程为：或.
故选：AC.
10、答案：BD
解析：令时,,故A错误;
时,;
时,;
所以,,B正确;
,C错误;
令,可得,
故,故D正确.
故选：BD.
11、答案：ABD
解析：对于A,,,,
,,,
,A正确;
对于B,由得：,
又,数列是以3为首项,2为公比的等比数列,B正确;
对于C,由B知：,
当时,,
又满足,,C错误;
对于D,,D正确.
故选：ABD.
12、答案：BD
解析：由有两个极值点,得在上有2个不等的实根,
即在上有2个不等的实根,则解得,A错误;
由韦达定理,得,,,当时,,B正确;
,
令,,则,
所以在上单调递减,所以,
所以恒成立,C错误;
,
令,,
令,,
所以在上单调递减,
所以,即,
所以在上单调递减,.
所以,D正确.
故选：BD.
13、答案：0.053
解析：设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件,则彼此互斥,且,
,,,
设任取一件产品,取到的是次品为事件B,则
故答案为：0.053.
14、答案：-24
解析：因为,,
所以,,,
因为,,,
所以.
故答案为：-24.
15、答案：
解析：令,,则,;
设与的公共点为,与在公动点处有相同的切线,
,即,,解得：,
,解得：.
故答案为：.
16、答案：88
解析：抛物线的焦点,则直线PQ的方程为,
联立,消y得,设,,
则,,则,
所以,同理可得,
所以,由,
得,
当且仅当,即,时,取等号,
所以的最小值为.
故答案为：88.
17、答案：（1）9
（2）-672
解析：（1）由二项展开式通项公式可知,,
所以由题意知,解得.
（2）由（1）知二项展开式的通项公式为,
令,解得,
故展开式中的常数项为.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）四边形为矩形,,E为中点,
,又,,;
平面,CE平面,;
,,平面,CE平面.
（2）以A为坐标原点,,,正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
,,;设平面的法向量,
则,令,解得：,,;
由（1）知：CE平面,平面的一个法向量为,
,
即平面与平面夹角的余弦值为.
19、答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）选出的4名同学中有男生的概率为;
（2）随机变量X可取0,1,2,3,4,
,,,,,
则分布列为
期望.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为,所以,
又,所以,所以.所以是首项为1,公比为的等比数列.
（2）由（1）知,因为数列的前n项和,
所以当时,,当时,,满足上式,
所以,.所以.
,①
由①,得,②
①②相减得所以.
21、答案：（1）
（2）存在,定点
解析：（1）由垂直平分线的性质可知,
所以.
又,所以点N的轨迹C是以,为焦点,长轴长为4的椭圆.
设曲线C的方程为,则,,所以,
所以曲线C的方程为.
（2）由,消去y并整理,得,
因为直线与椭圆C有且只有一个公共点P,
所以,即,所以,
此时,,
所以,由得,
假设存在定点,使得以PQ为直径的圆恒过点H,则,
又,,
所以,
整理得对任意实数,
k恒成立.所以,解得,
故存在定点,使得以PQ为直径的圆恒过点H.
22、答案：（1）极大值为,无极小值
（2）
解析：（1）定义域为,,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
的极大值为,无极小值.
（2）由得：,在上恒成立;
令,则;
令,则,
在上单调递增,又,,
,使得,则,
当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,;
由得：,,
,,
则实数m的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P